专题81空间几何体的结构三视图和直观图讲解析版Word文件下载.docx

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三角形

梯形

（2）旋转体的结构特征

圆柱

圆锥

圆台

球

母线

互相平行且相等，垂直于底面

相交于一点

轴截面

全等的矩形

全等的等腰三角形

全等的等腰梯形

圆

侧面展开图

矩形

扇形

扇环

知识点二直观图

空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴、y′轴的夹角为45°

（或135°

），z′轴与x′轴、y′轴所在平面垂直.

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍分别平行于坐标轴.平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段长度在直观图中变为原来的一半.

知识点三空间几何体的三视图

（1）几何体的三视图包括：

正视图、侧视图、俯视图．

（2）三视图的画法

①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线．

②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图．

知识点四水平放置的平面图形的直观图的斜二测画法的规则

（1）原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°

或135°

，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直．

（2）原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；

平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；

平行于y轴的线段在直观图中长度变为原来的一半．

【知识必备】

1．特殊的四棱柱

上述四棱柱有以下集合关系：

{正方体}{正四棱柱}{长方体}{直平行六面体}{平行六面体}{四棱柱}．

2．球的截面的性质

（1）球的截面是圆面；

（2）球心和截面（不过球心）圆心的连线垂直于截面；

（3）球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r的关系为r＝

.

3．常见几何体的三视图类型及其几何体的结构特征

（1）三视图为三个三角形，一般对应三棱锥；

（2）三视图为两个三角形，一个四边形，一般对应四棱锥；

（3）三视图为两个三角形，一个圆，一般对应圆锥；

（4）三视图为一个三角形，两个四边形，一般对应三棱柱；

（5）三视图为两个四边形，一个圆，一般对应圆柱．

考点一空间几何体的结构特征

【典例1】

（湖南师大附中2019届高三模拟）给出下列几个命题：

①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；

②底面为正多边形，且有相邻两个侧面与底面垂直的棱柱是正棱柱；

③棱台的上、下底面可以不相似，但侧棱长一定相等．其中正确命题的个数是（　　）

A．0B.1

C．2D．3

【答案】B　

【解析】①错误，只有这两点的连线平行于轴时才是母线；

②正确；

③错误，棱台的上、下底面是相似且对应边平行的多边形，各侧棱延长线交于一点，但是侧棱长不一定相等．故正确命题的个数是1.

【方法技巧】辨别空间几何体的两种方法

定义法

紧扣定义，由已知构建几何模型，在条件不变的情况下，变换模型中的线面关系或增加线、面等基本要素，根据定义进行判定

反例法

通过反例对结构特征进行辨析，要说明一个结论是错误的，只需举出一个反例即可

【变式1】

（北京四中2019届高三模拟）下列命题正确的是（　　）

A．两个面平行，其余各面都是梯形的多面体是棱台

B．两个面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台

C．直角梯形以一条直角腰所在的直线为旋转轴，其余三边旋转形成的面所围成的旋转体是圆台

D．用平面截圆柱得到的截面只能是圆和矩形

【答案】C　

【解析】如图所示，可排除A、B选项．对于D选项，只有截面与圆柱的母线平行或垂直时，截得的截面为矩形或圆，否则截面为椭圆或椭圆的一部分．故选C.

考点二空间几何体的三视图

【典例2】【2019年高考浙江卷】祖暅是我国南北朝时代的伟大科学家，他提出的“幂势既同，则积不容异”称为祖暅原理，利用该原理可以得到柱体的体积公式V柱体=Sh，其中S是柱体的底面积，h是柱体的高．若某柱体的三视图如图所示（单位：

cm），则该柱体的体积（单位：

cm3）是（　　）

A．158B．162

C．182D．324

【答案】B

【解析】由三视图得该棱柱的高为6，底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4，下底为6，高为3，另一个的上底为2，下底为6，高为3，则该棱柱的体积为

故选B.

【举一反三】

（2018·

全国卷Ⅲ）中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来．构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是（　　）

【答案】A

【解析】由题意可知带卯眼的木构件的直观图如图所示，由直观图可知其俯视图应选A.

【方法技巧】识别三视图的步骤

（1）弄清几何体的结构特征及具体形状、明确几何体的摆放位置；

（2）根据三视图的有关定义和规则先确定正视图，再确定俯视图，最后确定侧视图；

（3）被遮住的轮廓线应为虚线，若相邻两个物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线；

对于简单的组合体，要注意它们的组合方式，特别是它们的交线位置．　　

【举一反三】

北京卷）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（　　）

A．1　　　　　　　　B．2

C．3D．4

【答案】C

【解析】由三视图得到空间几何体的直观图如图所示，

则PA⊥平面ABCD，四边形ABCD为直角梯形，PA＝AB＝AD＝2，BC＝1，

所以PA⊥AD，PA⊥AB，PA⊥BC.

又BC⊥AB，AB∩PA＝A，

所以BC⊥平面PAB，

所以BC⊥PB.

在△PCD中，PD＝2

，PC＝3，CD＝

，

所以△PCD为锐角三角形．

所以侧面中的直角三角形为△PAB，△PAD，△PBC，共3个．

【变式2】

全国卷Ⅰ）某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图所示．圆柱表面上的点M在正视图上的对应点为A，圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为B，则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为（　　）

A．2

B．2

C．3D．2

【解析】先画出圆柱的直观图，根据题图的三视图可知点M，N的位置如图①所示．

圆柱的侧面展开图及M，N的位置（N位于OP的四等分点）如图②所示，连接MN，则图中MN即为M到N的最短路径．又ON＝

×

16＝4，OM＝2，所以MN＝

＝

＝2

，故选B。

【方法技巧】

由几何体的部分视图确定剩余的视图，应先根据已知的一部分视图，还原、推测直观图的可能形式，然后再找其剩下部分视图的可能形式．当然作为选择题，也可将选项逐项代入，再看看给出的部分三视图是否符合题意．　　　　

考点三空间几何体的直观图

【典例3】

（天津南开中学2019届高三调研）

（1）如图，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝6，O′C′＝2，则原图形是（　　）

A．正方形　　　　　　　B．矩形

C．菱形D．一般的平行四边形

（2）有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形（如图所示），∠ABC＝45°

，AB＝AD＝1，DC⊥BC，则这块菜地的面积为________．

【答案】

（1）C　

（2）2＋

【解析】

（1）如图，在原图形OABC中，应有OD＝2O′D′＝2×

2

＝4

，CD＝C′D′＝2，OA＝O′A′＝6.

∴OC＝

＝6，∴OA＝OC，故四边形OABC是菱形．

（2）如图①，在直观图中，

过点A作AE⊥BC，垂足为E，

∵在Rt△ABE中，AB＝1，∠ABE＝45°

∴BE＝

∵四边形AECD为矩形，AD＝1，

∴EC＝AD＝1，∴BC＝BE＋EC＝

＋1.

由此可还原原图形如图②.

在原图形中，A′D′＝1，A′B′＝2，B′C′＝

＋1，且A′D′∥B′C′，A′B′⊥B′C′，

∴这块菜地的面积S＝

（A′D′＋B′C′）·

A′B′＝

2＝2＋

1．用斜二测画法画直观图的技巧

在原图形中与x轴或y轴平行的线段在直观图中与x′轴或y′轴平行，原图中不与坐标轴平行的直线段可以先画出线段的端点再连线，原图中的曲线段可以通过取一些关键点，在直观图中作出相应的点后，用平滑的曲线连接而画出．

2．平面图形直观图与原图形面积间的关系

对于几何体的直观图，除掌握斜二测画法外，记住原图形面积S与直观图面积S′之间的关系S′＝

S，能更快捷地进行相关问题的计算．

【变式3】

（河北石家庄二中2019届高三质检）已知△ABC的边长为a，那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为（　　）

A.

a2B.

a2

C.

a2D.

【答案】D

【解析】法一：

△ABC的实际图形和直观图如图①②所示，

由②可知，A′B′＝AB＝a，O′C′＝

OC＝

a，在图②中作C′D′⊥A′B′于D′，则C′D′＝

O′C′＝

a.所以S△A′B′C′＝

A′B′·

C′D′＝

a×

a＝

a2.

法二：

由S直观图＝

S原图形的关系，得S直观图＝

考点四综合考查

【典例4】

（山西太原五中2019届高三模拟）某几何体是直三棱柱与圆锥的组合体，其直观图和三视图如图所示，正视图为正方形，其中俯视图中椭圆的离心率为（　　）

B.

D.

【解析】依题意得，题中的直三棱柱的底面是等腰直角三角形，设其直角边长为a，则斜边长为

a，圆锥的底面半径为

a、母线长为a，因此其俯视图中椭圆的长轴长为

a、短轴长为a，其离心率e＝

【变式4】

（辽宁东北育才中学2019届高三调研）已知直三棱柱ABCA1B1C1的侧棱长为6，且底面是边长为2的正三角形，用一平面截此棱柱，与侧棱AA1，BB1，CC1分别交于三点M，N，Q，若△MNQ为直角三角形，则该直角三角形斜边长的最小值为（　　）

　　　B．3　　　　

C．2

　　　　D．4

【解析】如图，不妨设N在B处，设AM＝h，CQ＝m，则MB2＝h2＋4，BQ2＝m2＋4，MQ2＝（h－m）2＋4，由MB2＝BQ2＋MQ2，得m2－hm＋2＝0.Δ＝h2－8≥0⇒h2≥8，该直角三角形斜边MB＝

≥2

，故该直角三角形斜边长的最小值为2