连续与一致连续典型例题.docx

连续与一致连续典型例题.docx

《连续与一致连续典型例题.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《连续与一致连续典型例题.docx（14页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

连续与一致连续典型例题

第三讲连续与一致连续

一内容提要

1.函数在一点的连续性

若函数在处的邻域内有定义，在点连续使得，有．

注1若，则称函数在右连续；若，则称函数在左连续．

在点连续．

注2设定义于区间，，则在连续的充要条件是

，有

称之为连续的海涅归结原则．

注3初等函数在有定义的地方处处连续．

2．间断点的分类

若函数在处的某个空心邻域内有定义，在点处无定义，或在点有定义而不连续，则称点为函数的间断点．

第一类间断点

（1）可去间断点：

，在点处无定义，或有定义但．

（2）跳跃间断点：

．

第二类间断点

，中至少有一个不存在．

3．连续函数的局部性质

（1）若函数在点连续，则，使得，有．

（2）若函数在点连续，且，则，使得，有．

（3）四则运算：

若函数，均在点连续，则

，，（）在点连续．

（4）若函数在点连续，在点连续，且，则

即函数在点连续．（会证明）

4闭区间上连续函数的整体性质

（1）有界性定理：

若在上连续，则在上有界．

（2）最值定理：

若在上连续，则在上能取得最大值和最小值．

（3）介值定理：

若在上连续，则，可取介于与之间的一切值．

（4）零点定理：

若在上连续，且，则在区间内至少存在一点，使得．

注1闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性．

注2介值定理和零点定理是讨论方程的根的重要工具．

5一致连续性

设函数在区间上有定义，若对使得，只要，就有，则称在上一致连续．

注1在区间上一致连续使得，只要，就有．

注2一致连续定义中的是对整个区间适用的，即只信赖于，而于的位置无关，不论在的什么位置，只要与接近到同一程度，其函数值与就能接近到要求的程度，这表明函数在的“连续程度”是一致的、均匀的．

注3在区间上非一致连续总存在，使得，但．

注4在区间上一致连续对任何数列，若

，则有．

称之为函数一致连续的Heine归结原则．

注5在上连续，则函数必定是一致连续的．

注6若在上均一致连续，则函数在上一致连续，特别的，若为有限区间，则，在上一致连续．

注7有关一致连续的几个重要结论：

（1）满足Lipschitz条件的函数在上一定一致连续．

（2），且单调有界，则在区间上一致连续．

（3），且存在，则在区间上一致连续．

（4）若在区间上有界，则在区间上一致连续．

（5），在上一致连续与存在．

二、典型例题

例用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性：

（1），；

（2），（ⅰ）,（ⅱ）；

（3），（ⅰ），（ⅱ）；

（4），（ⅰ），（ⅱ）；

（5），；

（6），．

例设函数只有可去间断点，定义，证明：

为连续函数．

例设在连续，且对，有．

证明：

（1）在上连续；

（2）；（3）在上一致连续．

例证明在整数点处处连续，在其他点处间断．

证明：

且为整数时，有（）．

例讨论的间断点类型．

例设在上连续，存在且为，证明：

（1）在内有界；

（2）在上能取到最大（小）值；

（3）在上一致连续．

例设在上一致连续，则存在正数，使，有

．

例设Lipschitz条件，即

，

试证明：

（1）

（2）

例设在内一致连续，，有，（）．

证明：

．

例设，且有唯一最值点，若有数列，且．证明：

．

例证明：

若函数在区间连续且有界，则对任意正数，存在数列，且（），有．