1、连续与一致连续典型例题第三讲 连续与一致连续一 内容提要1.函数在一点的连续性若函数在处的邻域内有定义,在点连续使得,有注1 若,则称函数在右连续;若,则称函数在左连续在点连续注2 设定义于区间,则在连续的充要条件是,有称之为连续的海涅归结原则注3 初等函数在有定义的地方处处连续2间断点的分类若函数在处的某个空心邻域内有定义,在点处无定义,或在点有定义而不连续,则称点为函数的间断点第一类间断点(1)可去间断点:,在点处无定义,或有定义但(2)跳跃间断点:第二类间断点,中至少有一个不存在3连续函数的局部性质(1)若函数在点连续,则,使得,有(2)若函数在点连续,且,则,使得,有(3)四则运算:若
2、函数,均在点连续,则 ,()在点连续(4)若函数在点连续,在点连续,且,则 即函数在点连续(会证明)4 闭区间上连续函数的整体性质(1)有界性定理:若在上连续,则在上有界(2)最值定理:若在上连续,则在上能取得最大值和最小值(3)介值定理:若在上连续,则,可取介于与之间的一切值(4)零点定理:若在上连续,且,则在区间内至少存在一点,使得注1 闭区间上连续函数的整体性质在整个分析理论中具有重要性注2 介值定理和零点定理是讨论方程的根的重要工具5 一致连续性设函数在区间上有定义,若对使得,只要,就有,则称在上一致连续注1 在区间上一致连续使得,只要,就有注2 一致连续定义中的是对整个区间适用的,即
3、只信赖于,而于的位置无关,不论在的什么位置,只要与接近到同一程度,其函数值与就能接近到要求的程度,这表明函数在的“连续程度”是一致的、均匀的注3 在区间上非一致连续总存在,使得,但注4 在区间上一致连续对任何数列,若 ,则有称之为函数一致连续的Heine归结原则注5 在上连续,则函数必定是一致连续的注6 若在上均一致连续,则函数在上一致连续,特别的,若为有限区间,则,在上一致连续注7 有关一致连续的几个重要结论:(1)满足Lipschitz条件的函数在上一定一致连续(2),且单调有界,则在区间上一致连续(3),且存在,则在区间上一致连续(4)若在区间上有界,则在区间上一致连续(5),在上一致连
4、续与存在二、典型例题例 用定义讨论下面函数在所给区间的连续、一致连续性:(1),;(2),(),();(3),(),();(4),(),();(5),;(6),例 设函数只有可去间断点,定义,证明:为连续函数例 设在连续,且对,有证明:(1)在上连续;(2);(3)在上一致连续例 证明在整数点处处连续,在其他点处间断证明:且为整数时,有()例 讨论的间断点类型例 设在上连续,存在且为,证明:(1)在内有界;(2)在上能取到最大(小)值;(3)在上一致连续例 设在上一致连续,则存在正数,使,有例 设Lipschitz 条件,即,试证明:(1)(2)例 设在内一致连续,有,()证明:例 设,且有唯一最值点,若有数列,且证明:例 证明:若函数在区间连续且有界,则对任意正数,存在数列,且(),有