中考代数综合题Word文档格式.docx

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）是抛物线

与

轴的两个交点

的横坐标，且此抛物线过点A（3，6）．

（1）求此二次函数的解析式；

（2）设此抛物线的顶点为P，对称轴与线段AC相交于点Q，求点P和点Q的坐标；

　　（3）在x轴上有一动点M，当MQ+MA取得最小值时，求M点的坐标．

答案与解析

　　【答案】

（1）解方程

，得

=-3，

=1.

抛物线与x轴的两个交点坐标为：

C（-3，0），B（1，0）.

　　　　将A（3，6），B（1，0），C（-3，0）代入抛物线的解析式，得

　解这个方程组，得

抛物线解析式为

.

（2）由

，得抛物线顶点P的坐标为（-1，-2），对称轴为直线x=-1.

　　　　设直线AC的函数关系式为y=kx+b,将A（3，6），C（-3，0）代入,得

解这个方程组，得

直线AC的函数关系式为y=x+3.

　　　　由于Q点是抛物线的对称轴与直线AC的交点，

　　　　故解方程组

得

点Q坐标为（-1，2）.

　　（3）作A点关于x轴的对称点

，连接

轴交点

即为所求的点.

　　　　设直线

的函数关系式为y=kx+b.

　解这个方程组，得

直线

的函数关系式为y=-2x.

　　　　令x=0，则y=0.　

点M的坐标为（0，0）.

类型二、函数与方程综合

　　2．已知关于x的二次函数

，这两个二次函数的图象中的一条与x轴交于A，B两个不同的点．

（1）试判断哪个二次函数的图象经过A，B两点；

（2）若A点坐标为（-1，0），试求B点坐标；

　　（3）在

（2）的条件下，对于经过A，B两点的二次函数，当x取何值时，y的值随x值的增大而减小?

　　本题是二次函数与一元二次方程的综合题．本题考查了利用一元二次方程根的判别式判断二次函数图象，与x轴的交点个数及二次函数的性质．

（1）对于关于x的二次函数

　　　　由于△＝（-m）2－4×

1×

　　　　所以此函数的图象与x轴没有交点．

　　　　对于关于x的二次函数

　　　　由于△＝

　　　　所以此函数的图象与x轴有两个不同的交点．

　　　　故图象经过A，B两点的二次函数为

（2）将A（-1，0）代入

　　　　整理，得

　　　　解之，得m＝0，或m＝2．

　　　　①当m＝0时，

．令y＝0，得

　　　　解这个方程，得

　　　　此时，B点的坐标是B（1，0）．

　　　　②当m＝2时，

　　　　解这个方程，得x3＝-1，x4＝3．

　　　　此时，B点的坐标是B（3，0）．

　　（3）当m＝0时，二次函数为

，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝0，

　　　　所以当x＜0时，函数值y随x的增大而减小．

　　　　当m＝2时，二次函数为

，此函数的图象开口向上，对称轴为x＝1，

　　　　所以当x＜1时，函数值y随x的增大而减小．

　　从题目的结构来看，二次函数与一元二次方程有着密切的联系，函数思想是变量思想，变量也可用常量来求解

【变式】已知：

关于x的一元二次方程：

（1）求证：

这个方程有两个不相等的实数根；

（2）当抛物线

与x轴的交点位于原点的两侧,且到原点的距离相等时,求此抛物线的解析式；

　　（3）将

（2）中的抛物线在x轴下方的部分沿x轴翻折，其余部分保持不变，得到图形C1,将图形C1向右平移一个单位,得到图形C2，当直线

（b＜0）与图形C2恰有两个公共点时，写出b的取值范围.

（1）证明:

∵

　　　　　　∴该方程总有两个不相等的实数根．

（2）由题意可知y轴是抛物线的对称轴，　∴

，解得

　　　　∴此抛物线的解析式为

　　（3）-3＜b＜0．

类型三、以代数为主的综合题

　　3．如图所示，在直角坐标系中，点A的坐标为（-2，0），将线段OA绕原点O顺时针旋转120°

得到线段OB．

（1）求点B的坐标；

（2）求经过A，O，B三点的抛物线的解析式；

　　（3）在

（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C，使△BOC的周长最小？

若存在，求出点C的坐标；

若不存在，请说明理由．

　　（4）如果点P是

（2）中的抛物线上的动点，且在x轴的下方，那么△PAB是否有最大面积？

若有，求出此时P点的坐标及△PAB的最大面积；

若没有，请说明理由．

（1）由∠AOB＝120°

可得OB与x轴正半轴的夹角为60°

，利用OB＝2及三角函数可求得点B的坐标；

（2）利用待定系数法可求出解析式；

　　（3）OB为定值，即求BC+CO最小．利用二次函数的对称性可知点C为直线AB与对称轴的交点；

　　（4）利用转化的方法列出

关于点P的横坐标x的函数关系式求解．

　　　解：

（1）B（1，

）．

（2）设抛物线的解析式为

，代入点B（1，

），得

．所以

　　（3）如图所示，抛物线的对称轴是直线x＝-1，因为A，O关于抛物线的对称轴对称，所以当点C位于对称轴与

　　　　线段AB的交点时，△BOC的周长最小．

　　　　设直线AB的解析式为

，则

　　　　因此直线AB的解析式为

　　　　当

时，

　　　　因此点C的坐标为

　　（4）如图所示，过P作y轴的平行线交AB于D，设其交x轴于E，交过点B与x轴平行的直线于F．

　　　　设点P的横坐标为x．

　　　　则

时，△PAB的面积的最大值为

，此时

　　本题为二次函数的综合题，综合程度较高，要掌握利用点的坐标表示坐标轴上线段的方法．因为线段的长度为正数，所以在用点的坐标表示线段长度时，我们用“右边点的横坐标减左边点的横坐标，上边点的纵坐标减下边点的纵坐标”，从而不用加绝对值号，本题中线段PD的长为

就是利用了这一规律．

4．如图所示，已知抛物线C1与坐标轴的交点依次是A（-4，0），B（-2，0），E（0，8）．

（1）求抛物线C1关于原点对称的抛物线C2的解析式；

（2）设抛物线C1的顶点为M，抛物线C2与x轴分别交于C，D两点（点C在点D的左侧），顶点为N，四边形MDNA的面积为S．若点A，D同时以每秒1个单位的速度沿水平方向分别向右、向左运动；

此时，点M，N同时以每秒2个单位的速度沿竖直方向分别向下、向上运动，直到点A与点D重合为止．求出四边形MDNA的面积S与运动时间t之间的关系式，并写出自变量t的取值范围；

　　（3）当t为何值时，四边形MDNA的面积S有最大值，并求出此最大值；

　　（4）在运动过程中，四边形MDNA能否形成矩形？

若能，求出此时t的值；

若不能，请说明理由．

　　此题一题多问，分别考查对抛物线性质、直角坐标系中点的坐标与线段之间的关系、代数式或者函数最值的求解方法的理解，并考查应用方程思想解决问题的意识和能力．

（1）点A（-4，0），点B（-2，0），点E（0，8）．

　　　　关于原点的对称点分别为D（4，0），C（2，0），F（0，-8）．

　　　　设抛物线C2的解析式是

　　　　∴所求抛物线的解析式是

（2）由

（1）可计算得点M（-3，-1），N（3，1）．

　　　　过点N作NH⊥AD，垂足为H．

　　　　当运动到时刻t时，AD＝2OD＝8-2t，NH＝1+2t．

　　　　根据中心对称的性质OA＝OD，OM＝ON，

　　　　∴四边形MDNA是平行四边形．

　　　　∴

　　　　∴四边形MDNA的面积

　　　　∵运动至点A与点D重合为止，据题意可知0≤t＜4，

　　　　∴所求关系式是

（0≤t＜4）．

　　（3）

（0≤t＜4）

时，S有最大值

　　（4）在运动过程中四边形MDNA能形成矩形．

　　　　由

（1）知四边形MDNA是平行四边形，对角线是AD、MN，

　　　　∴当AD＝MN时四边形MDNA是矩形．

　　　　∴OD＝ON．

　　　　∴OD2＝ON2＝OH2+NH2．

　　　　解得

（不合题意，舍去）．

　　　　∴在运动过程中四边形MDNA可以形成矩形，此时

　　直角坐标系中，坐标与线段长的关系；

用等量关系列方程．以形为背景给出的题干信息中有等腰梯形，等腰三角形，等边三角形，某线段是某线段的几倍，或者隐含着这些条件存在，都是利用方程思想解决问题的有效信息．

【变式】如图所示，抛物线

与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，

（2）求抛物线的解析式及顶点坐标；

　　（3）若E点在x轴上，F点在抛物线上，如果A，C，E，F构成平行四边形，直接写出点E的坐标．

（1）∵

，∴C（0，3）．

　　　　又∵

，∴A（1，0）．

　　　　∴AB＝4。

　　　　∴B（-3，0）．

（2）把A（1，0），B（-3，0）代入

得：

　　　　∴a＝-1，b＝-2，

　　　　∵

　　　　∴顶点坐标（-1，4）．

　　（3）如图1和图2．

　　　　当AC为平行四边形的一边时，

　（-1，0），E2（

，0），E3（

，0）．

　　　　当AC为平行四边形的对角线时，E4（3，0）．

5．已知函数y1＝x，y2＝x2+bx+c，α，β为方程

的两个根，点M（t，T）在函数y2的图象上．

（1）若

，求函数y2的解析式；

（2）在

（1）的条件下，若函数y1与y2的图象的两个交点为A，B，当△ABM的面积为

时，求t的值；

　　（3）若0＜α＜β＜1，当0＜t＜l时，试确定T，α，β三者之间的大小关系，并说明理由．

　　第

（1）问由

的两根为α，β，利用根的定义代入得到b，c的方程组可求出b，c值；

　　第

（2）问分别求出A，B两点坐标，利用直线y＝x与x轴夹角为45°

得到关于t的方程；

　　第（3）问利用求差法比较T，α，β的大小，注意对t的范围进行分类讨论来的确定相应T，α，β的大小关系

　　解:

（1）∵y1＝x，y2＝x2+bx+c，y1－y2＝0，

　　　　将

分别代入

　　　　解得

　　　　∴函数y2的解析式为

（2）由已知，y1与y2的图象的两个交点的坐标分别为

．得

　　　　设ABM中AB边上的高为h，

　　　　则

，即

　　　　由直线y1＝x与x轴的夹角为45°

可得

　　　　由

　　　　当

时，解得

；

　　　　∴t的值为

　　（3）由已知，得

　　　　化简得

　　　　∵

　　　　有a+b＝1－β＞0，β+b＝1－α＞0．

　　　　又0＜t＜1时，∴t+α+b＞0，t+β+b＞0．

　　　　∴当0＜t≤α时，T＜α≤β；

　　　　当α＜t≤β时，α＜T≤β；

　　　　当β＜1时，α＜β＜T．

　　本题是关于函数、方程、不等式的综合题，涉及知识面较广．

巩固练习

　　一、选择题

　　1.如图，已知在直角梯形AOBC中，AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9，对角线OC、AB交于点D，点E、F、G分别是CD、BD、BC的中点，以O为原点，直线OB为x轴建立平面直角坐标系，则G、E、D、F四个点中与点A在同一反比例函数图象上的是（　）

　　A．点G　　B．点E　　C．点D　　D．点F

　　2．已知函数y=

，若使y=k成立的x值恰好有三个，则k的值为（　）　　　　　　　　　

　　A．0　　　B．1　　　C．2　　　D．3

　　3.如图，过y轴上任意一点P，作x轴的平行线，分别与反比例函数y=

和y=

的图象交于A点和B点，若C为x轴上任意一点，连接AC，BC，则△ABC的面积为（　　）

　　A．3　　　B．4　　　C．5　　　D．6

　　二、填空题

　　4．若a+b-2

-4

=3

-

c-5，则a+b+c的值为______.

　　5．已知关于x的方程x2+（k-5）x+9=0在1＜x＜2内有一实数根，则实数k的取值范围是______．

　　6.关于x的方程，2kx2-4x-3k=0的两根一个小于1，一个大于1，则实数k的的取值范围是______.

　　三、解答题

　　7．已知：

关于x的一元二次方程

有两个整数根，m<

5且m为整数．

（1）求m的值；

（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数

的图象沿x轴向左平移4个单位长度，求平移后的二次函数图象的解析式；

　　（3）当直线y=x+b与

（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，求b的值．

　　8.已知关于

的一元二次方程

不论

取何值时，方程总有两个不相等的实数根．

（2）若直线

与函数

的图象

的一个交点的横坐标为2，求关于

的解．

　　（3）在

（2）的条件下，将抛物线

绕原点旋转

，得到图象

，点

为

轴上的一个动点，过点

作

轴的垂线，分别与图象

、

交于

两点，当线段

的长度最小时，求点

的坐标

　　9.抛物线

，a＞0，c＜0，

（2）抛物线经过点

，Q

　　①判断

的符号；

　　②若抛物线与x轴的两个交点分别为点A

，点B

（点A在点B左侧），

　　请说明

　　10.已知：

二次函数y=

此二次函数与x轴有交点；

（2）若m-1=0,求证方程

有一个实数根为1；

　　（3）在

（2）的条件下，设方程

的另一根为a,当x=2时，关于n的函数

的图象交于点A、B（点A在点B的左侧），平行于y轴的直线L与

的图象分别交于点C、D，若CD=6，求点C、D的坐标.

答案与解析】　　一、选择题

　　1.【答案】A；

　　　【解析】

　　　在直角梯形AOBC中

　　　∵AC∥OB，CB⊥OB，OB=18，BC=12，AC=9

　　　∴点A的坐标为（9，12）

　　　∵点G是BC的中点

　　　∴点G的坐标是（18，6）

　　　∵9×

12=18×

6=108

　　　∴点G与点A在同一反比例函数图象上，故选A．

　　2.【答案】D；

　　　函数y=

的图象如图：

　　　根据图象知道当y=3时，对应成立的x有恰好有三个，∴k=3．故选D．

　　3.【答案】A；

　　　【解析】先设P（0，b），由直线APB∥x轴，则A，B两点的纵坐标都为b，而A，B分别在反比例函数y=

　　　和y=

的图象上，可得到A点坐标为（﹣

，b），B点坐标为（

，b），从而求出AB的长，然后根据三角形的面积公式计算即可．

　　4.【答案】20；

　　　整理得：

（a-1-2

+1）+（b-2-4

+4）+

（c-3-6

+9）=0

　　　（

-1）2+（

-2）2+

-3）2=0，

　　　∴

=1，

=2，

=3，

　　　∵a≥1，b≥2，c≥3，

　　　∴a=2，b=6，c=12，

　　　∴a+b+c=20．

　　　故答案为：

20．

　　5.【答案】

　　　【解析】利用数形结合的方法将问题转化成二次函数y=x2+（k-5）x+9图象开口向上，与x轴的一个交点的

　　　横坐标在1＜x＜2内，故有两种情况，分析得出结论.

　　6.【答案】

或

　　7.【答案与解析】

（1）∵方程

有两个整数根，

　　　　∴△=

0，且为完全平方数．　　

　　　　∵m<

5且m为整数，

　　　　∴m=0或4．　　　　　　　　　　　　　　　

（2）当m=0时，方程的根为x1=0，x2=2；

当m=4时，方程的根为x3=8，x4=2．

　　　　∵方程有两个非零的整数根，

　　　　∴m=4．　　　　　　　　　　　　　　　　

　　　　∴二次函数

的解析式是

．　　

的图象沿x轴向左平移4个单位长度得到：

　　　　∴平移后的二次函数图象的解析式为

．　　　　

　　（3）当直线y=x+b与

（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，可知直线与平移后的抛物线只有一个交点或者过两条抛物线的交点（3，-5）．　　　　　　　

　　　　①当直线y=x+b与平移后抛物线只有一个交点时，由

得方程

　　　　即

．∴△=41+4b=0,∴

　　　　②当直线y=x+b过点（3，-5）时，b=-8．

　　　　综上所述，当直线y=x+b与

（2）中的两条抛物线有且只有三个交点时，

或b=-8．

　　8.【答案与解析】

（1）证明：

　　　　　　　∵不论

取何值时，

　　　　　　　∴

　　　　　　　∴不论

代入方程

　　　　再将

代入，原方程化为

．　

　　（3）将

代入得抛物线：

，将抛物线

得到的图象

的解析式

　　　　为：

　　　　设

　　　　∴当

的长度最小，

　　　　此时点

的坐标为

　　9.【答案与解析】

∵

　　　　　　　∴

　　　　　　　∵a＞0，c＜0，

（2）解：

∵抛物线经过点P

，点Q

　　　　　　　∴

　　　　　　　①∵

＜0．

＞0．

　　　　　　　②由a＞0知抛物线

开口向上．

　　　　　　　∵

　　　　　　　∴点P

和点Q

分别位于x轴下方和x轴上方．

　　　　　　　∵点A，B的坐标分别为A

，B

　　　　　　　∴由抛物线

的示意图可知，对称轴右侧的点B的横坐标

满足

　　　　　　　（如图所示）

　　　　　　　∵抛物线的对称轴为直线

，由抛物线的对称性可

，由

（1）知

　　10.【答案与解析】

令

，则有

　　　　　　　△=

　　　　　　　∵

，∴△≥0　　　　　　　　

　　　　　　　∴二次函数y=

与x轴有交点　

（2）解：

解法一：