新苏科版八年级数学下册专题讲解训练特殊平行四边形课后练习及详解docxWord下载.docx

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b．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是菱形．

c．原四边形ABCD的对角线AC、BD满足________时，四边形EFGH是正方形．

题四：

如图所示，在△ABC中，分别以AB、AC、BC为边在BC的同侧作等边△ABD，

等边△ACE、等边△BCF．

（1）求证：

四边形DAEF是平行四边形；

（2）探究下列问题：

（只填满足的条件，不需证明）

①当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是矩形；

②当△ABC满足_________条件时，四边形DAEF是菱形；

③当△ABC满足_________条件时，以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

题五：

如图所示，在四边形ABCD中，点E、F是对角线BD上的两点，且BE=FD．

（1）若四边形AECF是平行四边形，求证：

四边形ABCD是平行四边形；

（2）若四边形AECF是菱形，那么四边形ABCD也是菱形吗？

为什么？

（3）若四边形AECF是矩形，试判断四边形ABCD是否为矩形，不必写理由．

题六：

如图，任意四边形ABCD，对角线AC、BD交于O点，过各顶点分别作对角线AC、BD的平行线，四条平行线围成一个四边形EFGH．试想当四边形ABCD的形状发生改变时，四边形EFGH的形状会有哪些变化？

完成以下题目：

（1）①当ABCD为任意四边形时，EFGH为___________；

②当ABCD为矩形时，EFGH为___________；

③当ABCD为菱形时，EFGH为___________；

④当ABCD为正方形时，EFGH为___________；

（2）请对

（1）中①②你所写的结论进行证明．

（3）反之，当用上述方法所围成的平行四边形EFGH分别是矩形、菱形时，相应的原四边形ABCD必须满足怎样的条件？

题七：

如图，在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，P、Q分别是BM、DN的中点．

△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是什么样的特殊四边形？

请说明理由．

题八：

在折纸这种传统手工艺术中，蕴含许多数学思想，我们可以通过折纸得到一些特殊图形．把一张正方形纸片按照图①～④的过程折叠后展开．

（1）猜想四边形ABCD是什么四边形；

（2）请证明你所得到的数学猜想．

题九：

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD=5cm，BC=8cm，M是CD的中点，P是BC边上的一动点（P与B，C不重合），连接PM并延长交AD的延长线于Q．

（1）试说明△PCM≌△QDM；

（2）当P在B、C之间运动到什么位置时，四边形ABPQ是平行四边形？

并说明理由．

题一十：

如图，矩形ABCD中，AB=5cm，BC=10cm，动点M从点D出发，按折线DCB方向以2cm/s的速度运动，动点N从点D出发，沿DA方向以1cm/s的速度向点A运动．动点M、N同时出发，当一个点到达终点时，另一个点也随即停止运动．

（1）若点E在线段BC上，且BE=4cm，经过几秒钟，点A、E、M、N组成平行四边形？

（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN是否经过矩形ABCD的两条对角线的交点？

如果线段MN过此交点，请求出运动的时间；

如果线段MN不过此交点，请说明理由．

题一十一：

如图，已知，在四边形ABCD中，AD∥BC，BD平分∠ABC，∠A=120°

，CD=4，∠ABC=∠DCB，求BC的长．

题一十二：

已知：

如图，四边形ABCD中，AD∥BC，AB=4，BC=6，CD=5，AD=3．求：

四边形ABCD的面积．

特殊平行四边形

课后练习参考答案

C．

详解：

A．对角线互相垂直且相等的四边形不能判定正方形，故本选项错误；

B．对角线互相平分的四边形是平行四边形，故本选项错误；

C．四边相等的四边形是菱形，故本选项正确；

D．矩形的对角线互相平分且相等，不一定垂直，故本选项错误；

故选C．

选项A的结论正确，AB=CD可判定为平行四边形，AO=DO可判定对角线相等，故是矩形；

选项B的结论正确，AB=AD可判定△ABD为等边三角形，AO=CO可判定△CDB也为等边三角形，故是菱形；

选项C的结论错误，判定结果为矩形，不一定是正方形；

选项D的结论正确，对角线相等的梯形是等腰梯形；

见详解．

①连接AC，BD，

∵四边形ABCD中，E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，

∴EH∥BD，FG∥BD，∴EH∥FG，同理：

GH∥EF，∴四边形EFGH是平行四边形．

②a．当AC⊥BD时，四边形EFGH是矩形．∵由①得：

四边形MONH是平行四边形，

∴当AC⊥BD时，四边形MONH是矩形，∴∠EHG=90°

，∴四边形EFGH是矩形．

b．当AC=BD时，四边形EFGH是菱形．∵HG=

AC，EH=

BD，

∴EH=GH，∴四边形EFGH是菱形；

c．由a与b可得：

原四边形ABCD的对角线AC、BD满足AC⊥BD且AC=BD时，

四边形EFGH是正方形．

故答案为：

a．AC⊥BD，b．AC=BD，c．AC⊥BD且AC=BD．

（1）∵△ABD和△FBC都是等边三角形，∴BD=BA，BF=BC，∠DBA=∠FBC=60°

，

∴∠DBA∠FBA=∠FBC∠FBA，∴∠DBF=∠ABC．

在△ABC和△DBF中，BA=BD，∠ABC=∠DBF，BC=BF，

∴△ABC≌△DBF．∴AC=DF=AE．同理△ABC≌△EFC．∴AB=EF=AD．

∴四边形ADFE是平行四边形．

（2）当∠BAC=150°

，∠DAE=360°

60°

150°

=90°

，∴平行四边形DAEF是矩形．

当AB=AC≠BC，有AD=AE，∴平行四边形DAEF是菱形．

当∠BAC=60°

，△FBC与△ABC重合，故以D、A、E、F为顶点的四边形不存在．

连AC，设AC、BD相交于点O，

（1）∵四边形AECF是平行四边形，∴OE=OF，OA=OC，

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是平行四边形；

（2）∵四边形AECF是菱形，∴OE=OF，OA=OC，AC⊥BD．

∵BE=FD，∴OB=OD．∴四边形ABCD是菱形；

（3）四边形ABCD不是矩形．

（1）平行四边形；

菱形；

矩形；

正方形；

（2）结合图形，联想特殊四边形的特征及识别很容易发现，其中的桥梁为AC、BD．

①当ABCD为任意四边形时，EFGH为平行四边形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH，∴四边形EFGH为平行四边形．

②若ABCD为矩形，则EFGH为菱形．

∵EH∥AC∥FG，EF∥BD∥GH．

∴四边形EACH，ACGF，EFBD，BDHG，EFGH均为平行四边形．

∴EH=AC=FG，EF=BD=GH．

∵四边形ABCD为矩形．∴AC=BD．∴EH=AC=FG=EF=BD=GH．

∴四边形EFGH为菱形．

（3）当平行四边形EFGH是矩形时，四边形ABCD必须满足：

对角线互相垂直．

当平行四边形EFGH是菱形时，四边形ABCD必须满足：

对角线相等．

（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD，AD=BC，∠A=∠C=90°

∵在矩形ABCD中，M、N分别是AD、BC的中点，∴AM=

AD，CN=

BC，∴AM=CN，

在△MAB和△NDC中，∵AB=CD，∠A=∠C=90°

，AM=CN，∴△MBA≌△NDC；

（2）四边形MPNQ是菱形．

理由如下：

连接AP，MN，则四边形ABNM是矩形，

∴AN和BM互相平分，则A，P，N在同一条直线上，

易证：

△ABN≌△BAM，∴AN=BM，

∵△MAB≌△NDC，∴BM=DN，

∵P、Q分别是BM、DN的中点，∴PM=NQ，

∵DM=BN，DQ=BP，∠MDQ=∠NBP，

∴△MQD≌△NPB，∴四边形MPNQ是平行四边形，

∵M是AD中点，Q是DN中点，∴MQ=

AN，∴MQ=

BM，

∵MP=

BM，∴MP=MQ，∴平行四边形MQNP是菱形．

（1）四边形ABCD是菱形；

（2）∵△AMG沿AG折叠，使AM落在AC上，

∴∠MAD=∠DAC=

∠MAC，同理可得∠CAB=∠NAB=

∠CAN，

∠DCA=∠MCD=

∠ACM，∠ACB=∠NCB=

∠ACN，

∵四边形AMCN是正方形，∴∠MAC=∠MCA=∠NAC=∠NCA，

∴∠DAC=∠BAC=∠BCA=∠DCA，

∴AD∥BC，AB∥DC，∴四边形ABCD为平行四边形，

∵∠DAC=∠DCA，∴AD=CD，∴四边形ABCD为菱形．

（1）∵AD∥BC，∴∠QDM=∠PCM，

∵M是CD的中点，∴DM=CM，

∵∠DMQ=∠CMP，∴△PCM≌△QDM；

（2）当四边形ABPQ是平行四边形时，PB=AQ，

∵BCCP=AD+QD，∴8CP=5+CP，∴CP=（85）÷

2=1.5，

∴当PC=1.5时，四边形ABPQ是平行四边形．

（1）∵点N只在AD上运动，

∴当点M运动到BC边上的时候，点A、E、M、N才可能组成平行四边形，

即2.5＜t＜7.5，

设经过t秒，四点可组成平行四边形．分两种情形：

①当M点在E点右侧，

如图：

此时AN=EM，则四边形AEMN是平行四边形，

∵DN=t，CM=2t5，∴AN=10t，EM=104（2t5），

∴10t=104（2t5），解得：

t=1，

∵2.5＜t＜7.5，∴t=1舍去；

②当M点在B点与E点之间，如图，则MC=2t5，BM=10（2t5）=152t，

∴ME=4（152t）=2t11，2t11=10t，解得t=7，此时符合，

∴当t=7秒时，点A、E、M、N组成平行四边形；

（2）动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时M在BC上，如图，∵四边形ABCD是矩形，∴OA=OC，AD∥BC，∴∠NAO=∠MCO，

在△ANO和△CMO中，∠NAO=∠MCO，AO=OC，∠AON=∠COM，

∴△ANO≌△CMO（ASA），∴AN=CM，

设N运动的时间是t秒，则10t=2t5，解得：

t=5，即动点M、N在运动的过程中，线段MN能经过矩形ABCD的两条对角线的交点，此时运动的时间是5秒．

8．

∵AD∥BC，∠A=120°

，∴∠ABC=180°

120°

=60°

∵BD平分∠ABC，∴∠DBC=

∠ABC=

×

60°

=30°

又∵∠ABC=∠DCB=60°

，∴∠BDC=180°

30°

∴BC=2CD=2×

4=8．

18．

过D作DE∥AB，交CB于E点，

又∵AD∥CB，∴四边形ABED是平行四边形，

∴EB=AD=3，DE=AB=4，

∵CB=6，∴EC=BCBE=63=3，

∵CD=5，∴CD2=DE2+CE2，

∴△DEC是直角三角形，∴∠DEC=90°

∴四边形ABCD的面积是：

（AD+CB）•DE=

（3+6）×

4=18．