高考数学复习精品资料专题十三 直线与圆的方程文档格式.docx
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|PB|≤=5.
【答案】 5
4.(2011·
安徽,15,难)在平面直角坐标系中,如果x与y都是整数,就称点(x,y)为整点,下列命题中正确的是________(写出所有正确命题的编号).
①存在这样的直线,既不与坐标轴平行又不经过任何整点;
②如果k与b都是无理数,则直线y=kx+b不经过任何整点;
③直线l经过无穷多个整点,当且仅当l经过两个不同的整点;
④直线y=kx+b经过无穷多个整点的充分必要条件是:
k与b都是有理数;
⑤存在恰经过一个整点的直线.
【解析】 若x,y为整数,则x+y也为整数,故直线x+y=既不平行于坐标轴,也不经过任何整点,即①正确.
直线y=x-过整点(1,0),故②错误.若直线l经过无穷多个整点,则一定过两个不同的整点.反之,若直线l经过两个不同的整点M(m1,n1),N(m2,n2),其中m1,m2,n1,n2均为整数.当m1=m2或n1=n2时,直线l的方程为x=m1或y=n1,显然过无穷多个整点.当m1≠m2且n1≠n2时,直线l的方程为y-n1=(x-m1),则直线l过点((k+1)m1-km2,(k+1)n1-kn2),其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个,即直线l总过无穷多个整点,故③正确.
当x,y为整数时,y-x还是整数,故直线y=x+不经过任何整点,即当k,b为有理数时,并不能保证直线l:
y=kx+b过无穷多个整点,故④错误.
直线y=x-恰经过一个整点(1,0),故⑤正确.
【答案】 ①③⑤
考向1 直线及其方程
1.表示直线方向的两个量
(1)直线的倾斜角
①定义:
在平面直角坐标系中,当直线l与x轴相交时(取x轴作为基准),x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角.
②范围:
当直线l与x轴平行或重合时,规定它的倾斜角α为0°
,故直线的倾斜角α的取值范围为0°
≤α<
180°
.
(2)直线的斜率
当α≠90°
时,tanα表示直线l的斜率,用k表示,即k=tanα;
当α=90°
时,直线l的斜率k不存在.
每条直线都有唯一的倾斜角,但并不是每条直线都存在斜率;
倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度.
②计算公式:
给定两点P1(x1,y1),P2(x2,y2)(x1≠x2),经过P1,P2两点的直线的斜率公式为k=.
2.直线方程的形式及适用条件
名称
几何条件
方 程
局限性
点斜式
过点(x0,y0),斜率为k
y-y0=k(x-x0)
不含垂直于x轴的直线
斜截式
斜率为k,纵截距为b
y=kx+b
两点式
过两点(x1,y1),(x2,y2)(x1≠x2,y1≠y2)
=
不含垂直于坐标轴的直线
截距式
在x轴、y轴上的截距分别为a,b(a,b≠0)
+=1
不含垂直于坐标轴和过原点的直线
一般式
Ax+By+C=0
(A2+B2≠0)
平面直角坐标系内的直线均适用
(1)(2015·
河南开封调研,6)设A(-1,2),B(3,1),若直线y=kx与线段AB没有公共点,则k的取值范围是( )
A.(-∞,-2)∪
B.∪(2,+∞)
C.
D.
(2)(2015·
江西南昌质检,18,12分)若点P是函数f(x)=ex-e-x-3x图象上任意一点.
①设在点P处切线的倾斜角为α,求α的取值范围;
②求在点P(ln2,f(ln2))处的切线方程.
【解析】
(1)如图所示,直线y=kx过定点O(0,0),kOA=-2,kOB=.
若直线y=kx与线段AB没有公共点,则直线OA逆时针旋转(斜率增大)到OB都是满足条件的直线.数形结合得k∈.故选C.
(2)①由导数的几何意义可知,函数y=f(x)=ex-e-x-3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值,而
y′=ex+e-x-3≥2-3=-1,当且仅当x=0时等号成立,
即tanα≥-1.因为α∈[0,π),
所以倾斜角α的范围为∪.
②由①知y′=ex+e-x-3,
所以在点P(ln2,f(ln2))处的切线斜率为
k=eln2+e-ln2-3=-.
又f(ln2)=eln2-e-ln2-3ln2
=-3ln2=(1-2ln2),
由点斜式得在点P处的切线方程为
y-(1-2ln2)=-(x-ln2),
即x+2y-3+5ln2=0.
【点拨】 题
(1)为斜率范围的求解,求边界的斜率是关键,注意倾斜角为90°
时,直线无斜率;
题
(2)求直线倾斜角的取值范围时,一定要注意正切函数y=tanx在x∈[0,π)上的图象,借助正切函数的单调性求解,这里特别要注意,正切函数在[0,π)上并不是单调的;
在求直线方程时,应根据条件选择适当的直线方程形式,并注意各种形式的适用条件.
1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤
(1)求出斜率k=tanα的取值范围;
(2)利用正切函数的单调性,借助图象,数形结合,确定倾斜角α的取值范围.
2.求斜率的常用方法
(1)已知直线上两点时,由斜率公式k=(x1≠x2)来求斜率.
(2)已知倾斜角α或α的三角函数值时,由k=tanα(α≠90°
)来求斜率.
(3)方程为Ax+By+C=0(B≠0)的直线的斜率为k=-.
3.求直线方程的两种方法
(1)直接法:
根据已知条件,选择适当的直线方程形式,直接写出直线方程,选择时,应注意各种形式的方程的适用范围,必要时要分类讨论.
(2)待定系数法,具体步骤为:
①设所求直线方程的某种形式;
②由条件建立所求参数的方程(组);
③解这个方程(组)求出参数;
④把参数的值代入所设直线方程.
在设直线的斜率为k时,就是默认了直线的斜率存在.注意检验当斜率不存在时是否符合题意.
(1)(2014·
江苏苏州调研,6)经过P(0,-1)作直线l,若直线l与连接A(1,-2),B(2,1)的线段总有公共点,则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________,________.
(2)(2014·
河北沧州期末,18,12分)根据所给条件求直线的方程:
①直线过点(-4,0),倾斜角的正弦值为;
②直线过点(-3,4),且在两坐标轴上的截距之和为12;
③直线过点(5,10),且到原点的距离为5.
(1)
【解析】 如图所示,为使l与线段AB总有公共点,则kPA≤k≤kPB,而kPB>
0,kPA<
0,故k<
0时,倾斜角α为钝角,k=0时,α=0,k>
0时,α为锐角.
又kPA==-1,
kPB==1,故k∈[-1,1].
又当0≤k≤1时,0≤α≤;
当-1≤k<
0时,≤α<
π.
故倾斜角α的取值范围为
∪.
【答案】 ∪
(2)解:
①由题设知,该直线的斜率存在,故可采用点斜式.
设倾斜角为α,则sinα=(0<
α<
π),
k=tanα=±
故所求直线方程为y=±
(x+4).
即x+3y+4=0或x-3y+4=0.
②由题设知截距不为0,设直线方程为+=1,
又直线过点(-3,4),
从而+=1,解得a=-4或a=9.
故所求直线方程为4x-y+16=0或x+3y-9=0.
③当斜率不存在时,所求直线方程为x-5=0,符合题意;
当斜率存在时,设斜率为k,
则所求直线方程为y-10=k(x-5),
即kx-y+(10-5k)=0.
由点到直线的距离公式,得=5,解得k=.
故所求直线方程为3x-4y+25=0.
综上知,所求直线方程为x-5=0或3x-4y+25=0.
易错点拨:
题
(1)在已知斜率的取值范围,求倾斜角的范围时,误认为tanα在[0,π)上为增函数,而得到α∈的错误结果.
考向2 两直线的位置关系
1.两条直线的位置关系
斜截式
一般式
方程
y=k1x+b1,
y=k2x+b2
A1x+B1y+C1=0,
A2x+B2y+C2=0
相交
k1≠k2
A1B2-A2B1≠0
垂直
k1k2=-1
A1A2+B1B2=0
平行
k1=k2且b1≠b2
或
重合
k1=k2且b1=b2
A1B2-A2B1=B1C2-B2C1=A1C2-A2C1=0
两条不重合直线平行时,不要忘记两直线的斜率都不存在的情况;
判定两条直线垂直时,不要忘记一条直线斜率不存在,同时另一条直线斜率等于零的情况.
2.距离
距离类型
公式
点P1(x1,y1),P2(x2,y2)之间的距离
|P1P2|=
点P0(x0,y0)到直线l:
Ax+By+C=0的距离
d=
两条平行直线Ax+By+C1=0与Ax+By+C2=0间的距离
使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式;
使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x,y的系数化成分别相等的.
山东菏泽期末,12)已知两直线l1:
x+ysinα-1=0和l2:
2xsinα+y+1=0,若l1⊥l2,则α=________;
若l1∥l2,则α=________.
广东中山检测,20,14分)已知点A(2,-1),
①求过点A且与原点距离为2的直线l的方程;
②求过点A且与原点距离最大的直线l的方程,并求最大距离;
③是否存在过点A且与原点距离为6的直线?
若存在,求出方程;
若不存在,请说明理由.
【解析】
(1)因为A1A2+B1B2=0是l1⊥l2的充要条件,
所以2sinα+sinα=0,即sinα=0,所以α=kπ,k∈Z.
故当α=kπ,k∈Z时,l1⊥l2.
因为A1B2-A2B1=0是l1∥l2的充要条件,所以2sin2α-1=0,所以sinα=±
又B1C2-B2C1≠0,所以1+sinα≠0,
即sinα≠-1.所以α=kπ±
,k∈Z.
故当α=kπ±
,k∈Z时,l1∥l2.
(2)①过点A的直线l与原点距离为2,而点A的坐标为(2,-1),当斜率不存在时,直线l的方程为x=2,此时,原点到直线l的距离为2,符合题意;
当斜率存在时,设直线l的方程为y+1=k(x-2),
即kx-y-2k-1=0.
由已知得=2,解得k=,
此时直线l的方程为3x-4y-10=0.
综上可知,直线l的方程为x=2或3x-4y-10=0.
②过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与OA垂直的直线,由l⊥OA,得klkOA=-1,所以kl=-=2,
由直线的点斜式方程得y+1=2(x-2),
|OA|==.
即2x-y-5=0,即直线2x-y-5=0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程,且最大距离为.
③不存在,由②可知,过点A不存在到原点距离超过的直线,因此不存在过点A且与原点距离为6的直线.
【点拨】 解题
(1)的关键是根据两直线的位置关系构建三角方程求解,但应注意角α的不唯一性及k∈Z;
题
(2)①的易错点在于忽略斜率不存在的情况.
两直线的位置关系问题的解题策略
(1)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时,主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件,即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”.若出现斜率不存在的情况,可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断.
(2)符合特定条件的某些直线构成一个直线系,常见的直线系有:
①与Ax+By+C=0平行的直线系:
Ax+By+m=0(m≠C);
②与Ax+By+C=0垂直的直线系:
Bx-Ay+m=0;
③过A1x+B1y+C1=0和A2x+B2y+C2=0交点的直线系:
A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(λ为参数)或A2x+B2y+C2=0.
(2014·
山西太原检测,17,12分)解答下列问题:
(1)求平行于直线3x+4y-2=0,且与它的距离是1的直线方程;
(2)求垂直于直线x+3y-5=0且与点P(-1,0)的距离是的直线方程.
解:
(1)设所求直线方程为3x+4y+c=0(c≠-2),
则d==1,
∴c=3或c=-7.
即所求直线方程为3x+4y+3=0或3x+4y-7=0.
(2)设所求直线方程为3x-y+c=0,
则=,
∴c=-3或c=9.
即所求直线方程为:
3x-y-3=0或3x-y+9=0.
河北石家庄调研,3)已知点P(3,2)与点Q(1,4)关于直线l对称,则直线l的方程为( )
A.x-y+1=0B.x-y=0
C.x+y+1=0D.x+y=0
【答案】 A 由题意知直线l与直线PQ垂直,直线PQ的斜率kPQ=-1,所以直线l的斜率k=-=1.又直线l经过PQ的中点(2,3),所以直线l的方程为y-3=x-2,即x-y+1=0.
2.(2014·
山东济南三模,6)“m=3”是“直线l1:
2(m+1)x+(m-3)y+7-5m=0与直线l2:
(m-3)x+2y-5=0垂直”的( )
【答案】 A 由l1⊥l2得2(m+1)(m-3)+2(m-3)=0,
∴m=3或m=-2.
∴m=3是l1⊥l2的充分不必要条件.
3.(2015·
湖北武汉一模,5)已知M=,N={(x,y)|ax+2y+a=0},且M∩N=∅,则a等于( )
A.-6或-2B.-6
C.2或-6D.-2
【答案】 A 集合M表示去掉一点A(2,3)的直线3x-y-3=0,集合N表示恒过定点B(-1,0)的直线ax+2y+a=0.因为M∩N=∅,所以两直线平行,或直线ax+2y+a=0过点A(2,3),因此=3或2a+6+a=0,即a=-6或a=-2.
思路点拨:
解答本题的关键是将M∩N=∅转化为两直线的位置关系,进而构建方程求解,注意考虑要全面.
4.(2015·
安徽合肥期末,8)设两条直线的方程分别为x+y+a=0,x+y+b=0,已知a,b是方程x2+x+c=0的两个实根,且0≤c≤,则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是( )
A.,B.,
C.,D.,
【答案】 D 由题意,a+b=-1,ab=c,两条直线之间的距离为d===,又0≤c≤,故≤d≤.
5.(2014·
福建泉州一模,5)若点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,则m2+n2的最小值是( )
A.2B.2
C.4D.2
【答案】 C 方法一:
∵点(m,n)在直线4x+3y-10=0上,∴4m+3n-10=0.
欲求m2+n2的最小值可先求的最小值,而表示4m+3n-10=0上的点(m,n)到原点的距离,如图.
当过原点的直线与直线4m+3n-10=0垂直时,原点到点(m,n)的距离的最小值为2.
∴m2+n2的最小值为4.
方法二:
由题意知点(m,n)为直线上到原点最近的点,
直线与两坐标轴交于A,B,
直角三角形OAB中,OA=,OB=,斜边AB==,
斜边上的高h即为所求m2+n2的算术平方根.
∵S△OAB=OA·
OB=AB·
h,
∴h===2,
∴m2+n2的最小值为h2=4.
6.(2015·
福建厦门一模,12)已知a>0,b>0,若直线l1:
x+a2y+2=0与直线l2:
(a2+1)x-by+3=0互相垂直,则ab的最小值是________.
【解析】 依题意可得,1×
(a2+1)+a2·
(-b)=0,a2-a2b+1=0,∴b=,
∴ab==a+≥2.
当且仅当a=,
即a=1,b=2时,ab取到最小值2.
【答案】 2
7.(2014·
河北秦皇岛检测,14)直线l1:
y=2x+3关于直线l:
y=x+1对称的直线l2的方程为________.
【解析】 由解得直线l1与l的交点坐标为(-2,-1),
∴可设直线l2的方程为y+1=k(x+2),即kx-y+2k-1=0.
在直线l上任取一点(1,2),由题设知点(1,2)到直线l1,l2的距离相等,由点到直线的距离公式得
=,解得k=(k=2舍去),
∴直线l2的方程为x-2y=0.
【答案】 x-2y=0
8.(2015·
北京东城期末,13)如图所示,已知A(-2,0),B(2,0),C(0,2),E(-1,0),F(1,0),一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后,再经AC反射,落到线段AE上(不含端点),则直线FD的斜率的取值范围是________.
【解析】 如图所示,从特殊位置考虑.∵点A(-2,0)关于直线BC:
x+y=2的对称点为A1(2,4),∴直线A1F的斜率kA1F=4.∵点E(-1,0)关于直线AC:
y=x+2的对称点为E1(-2,1),点E1(-2,1)关于直线BC:
x+y=2的对称点为E2(1,4),此时直线E2F的斜率不存在,∴kA1F<kFD,即kFD∈(4,+∞).
【答案】 (4,+∞)
解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式,而解决轴对称问题,一般是转化为求对称点的问题,在求对称点时,关键是抓住两点:
一是两对称点的连线与对称轴垂直;
二是两对称点的中心在对称轴上,即抓住“垂直平分”,由“垂直”列出一个方程,由“平分”列出一个方程,联立求解.
课标Ⅱ,7,中)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M,N两点,则|MN|=( )
A.2B.8C.4D.10
【答案】 C ∵kAB==-,kBC==3,∴kAB·
kBC=-1.
∴AB⊥BC.
∴△ABC为直角三角形且AC为圆的直径,
∴圆心坐标为(1,-2),半径r=5,
∴圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=25,令x=0,得y2+4y-20=0,
∴y1+y2=-4,y1y2=-20,
∴|MN|=|y1-y2|=
==4.
湖南,8,中)已知点A,B,C在圆x2+y2=1上运动,且AB⊥BC.若点P的坐标为(2,0),则|++|的最大值为( )
A.6B.7C.8D.9
【答案】 B 由题意AB⊥BC,则AC为圆直径,
则+=2(O为圆心),
∴|++|=|2+|,
显然当P,O,B共线时模最大,
∴|++|max=7,故选B.
课标Ⅰ,14,易)一个圆经过椭圆+=1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.
【解析】 如图所示,
设圆心M(a,0)(a>0),
则|MB2|=|A1M|=4-a.
在Rt△MOB2中,
|OB2|2+|OM|2=|MB2|2,
即4+a2=(4-a)2,
解得a=,4-a=.
故所求圆的标准方程为
+y2=.
【答案】 +y2=
江苏,10,中)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx-y-2m-1=0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.
【解析】 设圆的半径为r,根据圆与直线相切的关系得,
r===,
当m<
0时,1+无最大值,且1+<
1;
当m=0时,r=1;
当m>
0时,m2+1≥2m(当且仅当m=1时取“=”),所以r≤=.
所以半径最大的圆的标准方程为(x-1)2+y2=2.
【答案】 (x-1)2+y2=2
陕西,4,易)已知圆C:
x2+y2-4x=0,l是过点P(3,0)的直线,则( )
A.l与C相交B.l与C相切
C.l与C相离D.以上三个选项均有可能
【答案】 A 圆的标准方程为(x-2)2+y2=4,显然点P(3,0)在圆内,故直线l与圆C相交.
2.(2012·
天津,8,中)设m,n∈R,若直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,则m+n的取值范围是( )
A.[1-,1+]
B.(-∞,1-]∪[1+,+∞)
C.[2-2,2+]
D.(-∞,2-2]∪[2+2,+∞)
【答案】 D ∵直线(m+1)x+(n+1)y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1相切,
∴圆心(1,1)到直线的距离为
d==1,
∴mn=m+n+1≤.
设t=m+n,则t2≥t+1,
解得t∈(-∞,2-2]∪[2+2,+∞).
3.(2013·
山东,9,中)过点(3,1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线,切点分别为A,B,则直线AB的方程为( )
A.2x+y-3=0B.2x-y-3=0
C.4x-y-3=0D.4x+y-3=0
【答案】 A 方法一:
如图,
圆心坐标为C(1,0),易知A(1,1).
又kAB·
kPC=-1,且kPC==,
∴kAB=-2.
故直线AB的方程y-1=-2(x-1),即2x+y-3=0,故选A.
直线AB是以PC为直径的圆(x-2)2+=与圆(x-1)2+y2=1的公共弦所在直线,