高考数学复习精品资料专题十三 直线与圆的方程文档格式.docx

高考数学复习精品资料专题十三 直线与圆的方程文档格式.docx

《高考数学复习精品资料专题十三 直线与圆的方程文档格式.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《高考数学复习精品资料专题十三 直线与圆的方程文档格式.docx（36页珍藏版）》请在冰豆网上搜索。

|PB|≤＝5.

【答案】　5

4．（2011·

安徽，15，难）在平面直角坐标系中，如果x与y都是整数，就称点（x，y）为整点，下列命题中正确的是________（写出所有正确命题的编号）．

①存在这样的直线，既不与坐标轴平行又不经过任何整点；

②如果k与b都是无理数，则直线y＝kx＋b不经过任何整点；

③直线l经过无穷多个整点，当且仅当l经过两个不同的整点；

④直线y＝kx＋b经过无穷多个整点的充分必要条件是：

k与b都是有理数；

⑤存在恰经过一个整点的直线．

【解析】　若x，y为整数，则x＋y也为整数，故直线x＋y＝既不平行于坐标轴，也不经过任何整点，即①正确．

直线y＝x－过整点（1，0），故②错误．若直线l经过无穷多个整点，则一定过两个不同的整点．反之，若直线l经过两个不同的整点M（m1，n1），N（m2，n2），其中m1，m2，n1，n2均为整数．当m1＝m2或n1＝n2时，直线l的方程为x＝m1或y＝n1，显然过无穷多个整点．当m1≠m2且n1≠n2时，直线l的方程为y－n1＝（x－m1），则直线l过点（（k＋1）m1－km2，（k＋1）n1－kn2），其中k∈Z.这些点均为整点且有无穷多个，即直线l总过无穷多个整点，故③正确．

当x，y为整数时，y－x还是整数，故直线y＝x＋不经过任何整点，即当k，b为有理数时，并不能保证直线l：

y＝kx＋b过无穷多个整点，故④错误．

直线y＝x－恰经过一个整点（1，0），故⑤正确．

【答案】　①③⑤

考向1　直线及其方程

1．表示直线方向的两个量

（1）直线的倾斜角

①定义：

在平面直角坐标系中，当直线l与x轴相交时（取x轴作为基准），x轴正方向与直线l向上方向之间所成的角．

②范围：

当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角α为0°

，故直线的倾斜角α的取值范围为0°

≤α<

180°

.

（2）直线的斜率

当α≠90°

时，tanα表示直线l的斜率，用k表示，即k＝tanα；

当α＝90°

时，直线l的斜率k不存在．

每条直线都有唯一的倾斜角，但并不是每条直线都存在斜率；

倾斜角和斜率都是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度．

②计算公式：

给定两点P1（x1，y1），P2（x2，y2）（x1≠x2），经过P1，P2两点的直线的斜率公式为k＝.

2．直线方程的形式及适用条件

名称

几何条件

方　程

局限性

点斜式

过点（x0，y0），斜率为k

y－y0＝k（x－x0）

不含垂直于x轴的直线

斜截式

斜率为k，纵截距为b

y＝kx＋b

两点式

过两点（x1，y1），（x2，y2）（x1≠x2，y1≠y2）

＝

不含垂直于坐标轴的直线

截距式

在x轴、y轴上的截距分别为a，b（a，b≠0）

＋＝1

不含垂直于坐标轴和过原点的直线

一般式

Ax＋By＋C＝0

（A2＋B2≠0）

平面直角坐标系内的直线均适用

（1）（2015·

河南开封调研，6）设A（－1，2），B（3，1），若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则k的取值范围是（　　）

A．（－∞，－2）∪

B.∪（2，＋∞）

C.

D.

（2）（2015·

江西南昌质检，18，12分）若点P是函数f（x）＝ex－e－x－3x图象上任意一点．

①设在点P处切线的倾斜角为α，求α的取值范围；

②求在点P（ln2，f（ln2））处的切线方程．

【解析】　

（1）如图所示，直线y＝kx过定点O（0，0），kOA＝－2，kOB＝.

若直线y＝kx与线段AB没有公共点，则直线OA逆时针旋转（斜率增大）到OB都是满足条件的直线．数形结合得k∈.故选C.

（2）①由导数的几何意义可知，函数y＝f（x）＝ex－e－x－3x图象上任意一点P处切线的斜率等于该点的导函数值，而

y′＝ex＋e－x－3≥2－3＝－1，当且仅当x＝0时等号成立，

即tanα≥－1.因为α∈[0，π），

所以倾斜角α的范围为∪.

②由①知y′＝ex＋e－x－3，

所以在点P（ln2，f（ln2））处的切线斜率为

k＝eln2＋e－ln2－3＝－.

又f（ln2）＝eln2－e－ln2－3ln2

＝－3ln2＝（1－2ln2），

由点斜式得在点P处的切线方程为

y－（1－2ln2）＝－（x－ln2），

即x＋2y－3＋5ln2＝0.

【点拨】　题

（1）为斜率范围的求解，求边界的斜率是关键，注意倾斜角为90°

时，直线无斜率；

题

（2）求直线倾斜角的取值范围时，一定要注意正切函数y＝tanx在x∈[0，π）上的图象，借助正切函数的单调性求解，这里特别要注意，正切函数在[0，π）上并不是单调的；

在求直线方程时，应根据条件选择适当的直线方程形式，并注意各种形式的适用条件．

1.求倾斜角α的取值范围的一般步骤

（1）求出斜率k＝tanα的取值范围；

（2）利用正切函数的单调性，借助图象，数形结合，确定倾斜角α的取值范围．

2．求斜率的常用方法

（1）已知直线上两点时，由斜率公式k＝（x1≠x2）来求斜率．

（2）已知倾斜角α或α的三角函数值时，由k＝tanα（α≠90°

）来求斜率．

（3）方程为Ax＋By＋C＝0（B≠0）的直线的斜率为k＝－.

3．求直线方程的两种方法

（1）直接法：

根据已知条件，选择适当的直线方程形式，直接写出直线方程，选择时，应注意各种形式的方程的适用范围，必要时要分类讨论．

（2）待定系数法，具体步骤为：

①设所求直线方程的某种形式；

②由条件建立所求参数的方程（组）；

③解这个方程（组）求出参数；

④把参数的值代入所设直线方程．

在设直线的斜率为k时，就是默认了直线的斜率存在．注意检验当斜率不存在时是否符合题意．

（1）（2014·

江苏苏州调研，6）经过P（0，－1）作直线l，若直线l与连接A（1，－2），B（2，1）的线段总有公共点，则直线l的斜率k和倾斜角α的取值范围分别为________，________.

（2）（2014·

河北沧州期末，18，12分）根据所给条件求直线的方程：

①直线过点（－4，0），倾斜角的正弦值为；

②直线过点（－3，4），且在两坐标轴上的截距之和为12；

③直线过点（5，10），且到原点的距离为5.

（1）

【解析】　如图所示，为使l与线段AB总有公共点，则kPA≤k≤kPB，而kPB>

0，kPA<

0，故k<

0时，倾斜角α为钝角，k＝0时，α＝0，k>

0时，α为锐角．

又kPA＝＝－1，

kPB＝＝1，故k∈[－1，1]．

又当0≤k≤1时，0≤α≤；

当－1≤k<

0时，≤α<

π.

故倾斜角α的取值范围为

∪.

【答案】　∪

（2）解：

①由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．

设倾斜角为α，则sinα＝（0<

α<

π），

k＝tanα＝±

故所求直线方程为y＝±

（x＋4）．

即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.

②由题设知截距不为0，设直线方程为＋＝1，

又直线过点（－3，4），

从而＋＝1，解得a＝－4或a＝9.

故所求直线方程为4x－y＋16＝0或x＋3y－9＝0.

③当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0，符合题意；

当斜率存在时，设斜率为k，

则所求直线方程为y－10＝k（x－5），

即kx－y＋（10－5k）＝0.

由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.

故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.

综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.

易错点拨：

题

（1）在已知斜率的取值范围，求倾斜角的范围时，误认为tanα在[0，π）上为增函数，而得到α∈的错误结果．

考向2　两直线的位置关系

1．两条直线的位置关系

斜截式

一般式

方程

y＝k1x＋b1，

y＝k2x＋b2

A1x＋B1y＋C1＝0，

A2x＋B2y＋C2＝0

相交

k1≠k2

A1B2－A2B1≠0

垂直

k1k2＝－1

A1A2＋B1B2＝0

平行

k1＝k2且b1≠b2

或

重合

k1＝k2且b1＝b2

A1B2－A2B1＝B1C2－B2C1＝A1C2－A2C1＝0

两条不重合直线平行时，不要忘记两直线的斜率都不存在的情况；

判定两条直线垂直时，不要忘记一条直线斜率不存在，同时另一条直线斜率等于零的情况．

2．距离

距离类型

公式

点P1（x1，y1），P2（x2，y2）之间的距离

|P1P2|＝

点P0（x0，y0）到直线l：

Ax＋By＋C＝0的距离

d＝

两条平行直线Ax＋By＋C1＝0与Ax＋By＋C2＝0间的距离

使用点到直线的距离公式前必须将直线方程化为一般式；

使用两平行线间的距离公式前一定要把两直线中x，y的系数化成分别相等的．

山东菏泽期末，12）已知两直线l1：

x＋ysinα－1＝0和l2：

2xsinα＋y＋1＝0，若l1⊥l2，则α＝________；

若l1∥l2，则α＝________.

广东中山检测，20，14分）已知点A（2，－1），

①求过点A且与原点距离为2的直线l的方程；

②求过点A且与原点距离最大的直线l的方程，并求最大距离；

③是否存在过点A且与原点距离为6的直线？

若存在，求出方程；

若不存在，请说明理由．

【解析】　

（1）因为A1A2＋B1B2＝0是l1⊥l2的充要条件，

所以2sinα＋sinα＝0，即sinα＝0，所以α＝kπ，k∈Z.

故当α＝kπ，k∈Z时，l1⊥l2.

因为A1B2－A2B1＝0是l1∥l2的充要条件，所以2sin2α－1＝0，所以sinα＝±

又B1C2－B2C1≠0，所以1＋sinα≠0，

即sinα≠－1.所以α＝kπ±

，k∈Z.

故当α＝kπ±

，k∈Z时，l1∥l2.

（2）①过点A的直线l与原点距离为2，而点A的坐标为（2，－1），当斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，此时，原点到直线l的距离为2，符合题意；

当斜率存在时，设直线l的方程为y＋1＝k（x－2），

即kx－y－2k－1＝0.

由已知得＝2，解得k＝，

此时直线l的方程为3x－4y－10＝0.

综上可知，直线l的方程为x＝2或3x－4y－10＝0.

②过点A且与原点O距离最大的直线是过点A与OA垂直的直线，由l⊥OA，得klkOA＝－1，所以kl＝－＝2，

由直线的点斜式方程得y＋1＝2（x－2），

|OA|＝＝.

即2x－y－5＝0，即直线2x－y－5＝0是过点A且与原点距离最大的直线l的方程，且最大距离为.

③不存在，由②可知，过点A不存在到原点距离超过的直线，因此不存在过点A且与原点距离为6的直线．

【点拨】　解题

（1）的关键是根据两直线的位置关系构建三角方程求解，但应注意角α的不唯一性及k∈Z；

题

（2）①的易错点在于忽略斜率不存在的情况．

两直线的位置关系问题的解题策略

（1）求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等且纵截距不相等”、“互为负倒数”．若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究或直接用直线的一般式判断．

（2）符合特定条件的某些直线构成一个直线系，常见的直线系有：

①与Ax＋By＋C＝0平行的直线系：

Ax＋By＋m＝0（m≠C）；

②与Ax＋By＋C＝0垂直的直线系：

Bx－Ay＋m＝0；

③过A1x＋B1y＋C1＝0和A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线系：

A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（λ为参数）或A2x＋B2y＋C2＝0.

（2014·

山西太原检测，17，12分）解答下列问题：

（1）求平行于直线3x＋4y－2＝0，且与它的距离是1的直线方程；

（2）求垂直于直线x＋3y－5＝0且与点P（－1，0）的距离是的直线方程．

解：

（1）设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0（c≠－2），

则d＝＝1，

∴c＝3或c＝－7.

即所求直线方程为3x＋4y＋3＝0或3x＋4y－7＝0.

（2）设所求直线方程为3x－y＋c＝0，

则＝，

∴c＝－3或c＝9.

即所求直线方程为：

3x－y－3＝0或3x－y＋9＝0.

河北石家庄调研，3）已知点P（3，2）与点Q（1，4）关于直线l对称，则直线l的方程为（　　）

A．x－y＋1＝0B．x－y＝0

C．x＋y＋1＝0D．x＋y＝0

【答案】　A　由题意知直线l与直线PQ垂直，直线PQ的斜率kPQ＝－1，所以直线l的斜率k＝－＝1.又直线l经过PQ的中点（2，3），所以直线l的方程为y－3＝x－2，即x－y＋1＝0.

2．（2014·

山东济南三模，6）“m＝3”是“直线l1：

2（m＋1）x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：

（m－3）x＋2y－5＝0垂直”的（　　）

【答案】　A　由l1⊥l2得2（m＋1）（m－3）＋2（m－3）＝0，

∴m＝3或m＝－2.

∴m＝3是l1⊥l2的充分不必要条件．

3．（2015·

湖北武汉一模，5）已知M＝，N＝{（x，y）|ax＋2y＋a＝0}，且M∩N＝∅，则a等于（　　）

A．－6或－2B．－6

C．2或－6D．－2

【答案】　A　集合M表示去掉一点A（2，3）的直线3x－y－3＝0，集合N表示恒过定点B（－1，0）的直线ax＋2y＋a＝0.因为M∩N＝∅，所以两直线平行，或直线ax＋2y＋a＝0过点A（2，3），因此＝3或2a＋6＋a＝0，即a＝－6或a＝－2.

思路点拨：

解答本题的关键是将M∩N＝∅转化为两直线的位置关系，进而构建方程求解，注意考虑要全面．

4．（2015·

安徽合肥期末，8）设两条直线的方程分别为x＋y＋a＝0，x＋y＋b＝0，已知a，b是方程x2＋x＋c＝0的两个实根，且0≤c≤，则这两条直线之间的距离的最大值和最小值分别是（　　）

A.，B.，

C.，D.，

【答案】　D　由题意，a＋b＝－1，ab＝c，两条直线之间的距离为d＝＝＝，又0≤c≤，故≤d≤.

5．（2014·

福建泉州一模，5）若点（m，n）在直线4x＋3y－10＝0上，则m2＋n2的最小值是（　　）

A．2B．2

C．4D．2

【答案】　C　方法一：

∵点（m，n）在直线4x＋3y－10＝0上，∴4m＋3n－10＝0.

欲求m2＋n2的最小值可先求的最小值，而表示4m＋3n－10＝0上的点（m，n）到原点的距离，如图．

当过原点的直线与直线4m＋3n－10＝0垂直时，原点到点（m，n）的距离的最小值为2.

∴m2＋n2的最小值为4.

方法二：

由题意知点（m，n）为直线上到原点最近的点，

直线与两坐标轴交于A，B，

直角三角形OAB中，OA＝，OB＝，斜边AB＝＝，

斜边上的高h即为所求m2＋n2的算术平方根．

∵S△OAB＝OA·

OB＝AB·

h，

∴h＝＝＝2，

∴m2＋n2的最小值为h2＝4.

6．（2015·

福建厦门一模，12）已知a＞0，b＞0，若直线l1：

x＋a2y＋2＝0与直线l2：

（a2＋1）x－by＋3＝0互相垂直，则ab的最小值是________．

【解析】　依题意可得，1×

（a2＋1）＋a2·

（－b）＝0，a2－a2b＋1＝0，∴b＝，

∴ab＝＝a＋≥2.

当且仅当a＝，

即a＝1，b＝2时，ab取到最小值2.

【答案】　2

7．（2014·

河北秦皇岛检测，14）直线l1：

y＝2x＋3关于直线l：

y＝x＋1对称的直线l2的方程为________．

【解析】　由解得直线l1与l的交点坐标为（－2，－1），

∴可设直线l2的方程为y＋1＝k（x＋2），即kx－y＋2k－1＝0.

在直线l上任取一点（1，2），由题设知点（1，2）到直线l1，l2的距离相等，由点到直线的距离公式得

＝，解得k＝（k＝2舍去），

∴直线l2的方程为x－2y＝0.

【答案】　x－2y＝0

8．（2015·

北京东城期末，13）如图所示，已知A（－2，0），B（2，0），C（0，2），E（－1，0），F（1，0），一束光线从F点出发射到BC上的D点经BC反射后，再经AC反射，落到线段AE上（不含端点），则直线FD的斜率的取值范围是________．

【解析】　如图所示，从特殊位置考虑．∵点A（－2，0）关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为A1（2，4），∴直线A1F的斜率kA1F＝4.∵点E（－1，0）关于直线AC：

y＝x＋2的对称点为E1（－2，1），点E1（－2，1）关于直线BC：

x＋y＝2的对称点为E2（1，4），此时直线E2F的斜率不存在，∴kA1F＜kFD，即kFD∈（4，＋∞）．

【答案】　（4，＋∞）

解决中心对称问题的关键在于运用中点坐标公式，而解决轴对称问题，一般是转化为求对称点的问题，在求对称点时，关键是抓住两点：

一是两对称点的连线与对称轴垂直；

二是两对称点的中心在对称轴上，即抓住“垂直平分”，由“垂直”列出一个方程，由“平分”列出一个方程，联立求解．

课标Ⅱ，7，中）过三点A（1，3），B（4，2），C（1，－7）的圆交y轴于M，N两点，则|MN|＝（　　）

A．2B．8C．4D．10

【答案】　C　∵kAB＝＝－，kBC＝＝3，∴kAB·

kBC＝－1.

∴AB⊥BC.

∴△ABC为直角三角形且AC为圆的直径，

∴圆心坐标为（1，－2），半径r＝5，

∴圆的方程为（x－1）2＋（y＋2）2＝25，令x＝0，得y2＋4y－20＝0，

∴y1＋y2＝－4，y1y2＝－20，

∴|MN|＝|y1－y2|＝

＝＝4.

湖南，8，中）已知点A，B，C在圆x2＋y2＝1上运动，且AB⊥BC.若点P的坐标为（2，0），则|＋＋|的最大值为（　　）

A．6B．7C．8D．9

【答案】　B　由题意AB⊥BC，则AC为圆直径，

则＋＝2（O为圆心），

∴|＋＋|＝|2＋|，

显然当P，O，B共线时模最大，

∴|＋＋|max＝7，故选B.

课标Ⅰ，14，易）一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点，且圆心在x轴的正半轴上，则该圆的标准方程为________．

【解析】　如图所示，

设圆心M（a，0）（a＞0），

则|MB2|＝|A1M|＝4－a.

在Rt△MOB2中，

|OB2|2＋|OM|2＝|MB2|2，

即4＋a2＝（4－a）2，

解得a＝，4－a＝.

故所求圆的标准方程为

＋y2＝.

【答案】　＋y2＝

江苏，10，中）在平面直角坐标系xOy中，以点（1，0）为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0（m∈R）相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________．

【解析】　设圆的半径为r，根据圆与直线相切的关系得，

r＝＝＝，

当m<

0时，1＋无最大值，且1＋<

1；

当m＝0时，r＝1；

当m>

0时，m2＋1≥2m（当且仅当m＝1时取“＝”），所以r≤＝.

所以半径最大的圆的标准方程为（x－1）2＋y2＝2.

【答案】　（x－1）2＋y2＝2

陕西，4，易）已知圆C：

x2＋y2－4x＝0，l是过点P（3，0）的直线，则（　　）

A．l与C相交B．l与C相切

C．l与C相离D．以上三个选项均有可能

【答案】　A　圆的标准方程为（x－2）2＋y2＝4，显然点P（3，0）在圆内，故直线l与圆C相交．

2．（2012·

天津，8，中）设m，n∈R，若直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，则m＋n的取值范围是（　　）

A．[1－，1＋]

B．（－∞，1－]∪[1＋，＋∞）

C．[2－2，2＋]

D．（－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞）

【答案】　D　∵直线（m＋1）x＋（n＋1）y－2＝0与圆（x－1）2＋（y－1）2＝1相切，

∴圆心（1，1）到直线的距离为

d＝＝1，

∴mn＝m＋n＋1≤.

设t＝m＋n，则t2≥t＋1，

解得t∈（－∞，2－2]∪[2＋2，＋∞）．

3．（2013·

山东，9，中）过点（3，1）作圆（x－1）2＋y2＝1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为（　　）

A．2x＋y－3＝0B．2x－y－3＝0

C．4x－y－3＝0D．4x＋y－3＝0

【答案】　A　方法一：

如图，

圆心坐标为C（1，0），易知A（1，1）．

又kAB·

kPC＝－1，且kPC＝＝，

∴kAB＝－2.

故直线AB的方程y－1＝－2（x－1），即2x＋y－3＝0，故选A.

直线AB是以PC为直径的圆（x－2）2＋＝与圆（x－1）2＋y2＝1的公共弦所在直线，