高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义学案苏教版选修1.docx

高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义学案苏教版选修1.docx

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高中数学第3章数系的扩充与复数的引入33复数的几何意义学案苏教版选修1

3.3复数的几何意义

学习目标　1.了解复数的几何意义，会用复平面上的点表示复数.2.了解复数的加减运算的几何意义.3.掌握用向量的模来表示复数的模的方法．

知识点一　复数的几何意义

思考1　复数z＝a＋bi（a，b∈R）与有序数对（a，b）有怎样的对应关系？

思考2　有序实数对与直角坐标平面内的点有怎样的对应关系？

思考3　复数集与平面直角坐标系中的点集之间能一一对应吗？

思考4　复数z＝a＋bi、复平面内的点Z（a，b）、向量三者有何关系？

1．复平面

建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做__________，x轴叫做________，y轴叫做________．

2．复数的几何意义

复数z＝a＋bi（a，b∈R）复平面内的点Z（a，b）向量.

知识点二　复数的模及意义

1．定义：

向量的模叫做复数z＝a＋bi的模，记为|z|.

2．公式：

|z|＝.

3．几何意义：

复数z对应点Z到原点O的距离．

知识点三　复数加减法的几何意义

思考1　复数与复平面内的向量一一对应，你能从向量加法的几何意义出发讨论复数加法的几何意义吗？

思考2　怎样作出与复数z1－z2对应的向量？

思考3　类比绝对值|x－x0|的几何意义，说明|z－z0|（z，z0∈C）的几何意义．

1.如图所示，设向量，分别与复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di对应，且和不共线，以，为邻边画平行四边形OZ1ZZ2.则向量与复数__________________相对应；向量与复数________________相对应．

2．|z1－z2|＝，即两个复数的差的模就是复平面内与这两个复数对应的两点间的距离．

类型一　复数与复平面内点的对应

例1　在复平面内，若复数z＝（m2－m－2）＋（m2－3m＋2）i对应的点

（1）在虚轴上；

（2）在第二象限；（3）在直线y＝x上，分别求实数m的取值范围．

反思与感悟　按照复数和复平面内所有点所成的集合之间的一一对应关系，每一个复数都对应着一个有序实数对，只要在复平面内找出这个有序实数对所表示的点，就可根据点的位置判断复数实部、虚部的取值．

跟踪训练1　设复数z＝（m∈R）在复平面内对应的点为Z.

（1）若点Z在虚轴上，求m的值；

（2）若点Z位于第一象限，求m的取值范围．

类型二　复数的模及其几何意义

例2　已知复数z1＝－i，z2＝－＋i.

（1）求|z1|及|z2|的值并比较大小；

（2）设z∈C，满足|z2|≤|z|≤|z1|的点Z的集合是什么图形？

反思与感悟　

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模即向量的模，复数的模可以比较大小．

（2）复数的模的意义是表示复数对应的点到原点的距离，这可以类比实数的绝对值，也可类比以原点为起点的向量的模来加深理解．

跟踪训练2　

（1）已知0

（2）若|z|的取值范围是

（1）中所求，则复数z对应的点Z的集合是什么图形．

类型三　复数加减法的几何意义

例3　在复平面内，A，B，C分别对应复数z1＝1＋i，z2＝5＋i，z3＝3＋3i，以AB、AC为邻边作一个平行四边形ABDC，求点D对应的复数z4及AD的长．

反思与感悟　

（1）根据复数加减运算的几何意义可以把复数的加减运算转化为向量的坐标运算，同样满足三角形和平行四边形法则．

（2）复数加减运算的几何意义为应用数形结合思想解决复数问题提供了可靠．

跟踪训练3　已知|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，求|z1＋z2|.

1．设z＝（2－i）2（i为虚数单位），则复数z的模为________．

2．复数z＝－1在复平面内，则z所对应的点在第________象限．

3．复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，则向量表示的复数是____________．

4．在复平面内表示复数z＝（m－3）＋2i的点在直线y＝x上，则实数m的值为________．

1．复数的几何意义

这种对应关系架起了复数与解析几何之间的桥梁，使得复数问题可以用几何方法解决．复数几何意义的应用，关键是抓住复数与点的一一对应．

2．复数的模

（1）复数z＝a＋bi（a，b∈R）的模|z|＝；

（2）从几何意义上理解，表示点Z和原点间的距离，类比向量的模可进一步引申：

|z1－z2|表示点Z1和点Z2之间的距离．

答案精析

问题导学

知识点一

思考1　一一对应．

思考2　一一对应．

思考3　能一一对应．

思考4　复数z＝a＋bi可以用复平面内的点Z（a，b）来表示，也可以用向量来表示，三者的关系是一一对应的．

1．复平面　实轴　虚轴

知识点三

思考1　

如图，设，分别与复数a＋bi，c＋di对应，则有＝（a，b），＝（c，d），由向量加法的几何意义＋＝（a＋c，b＋d），所以＋与复数（a＋c）＋（b＋d）i对应，复数的加法可以按照向量的加法来进行．

思考2　

z1－z2可以看作z1＋（－z2）．因为复数的加法可以按照向量的加法来进行，所以可以按照平行四边形法则或三角形法则作出与z1－z2对应的向量（如图）．图中对应复数z1，对应复数z2，则对应复数z1－z2.

思考3　|z－z0|（z，z0∈C）的几何意义是复平面内点Z到点Z0的距离．

1．z1＋z2　z1－z2

题型探究

例1　解　复数z＝（m2－m－2）＋（m2－3m＋2）i的实部为m2－m－2，虚部为m2－3m＋2.

（1）由题意得m2－m－2＝0.

解得m＝2或m＝－1.

（2）由题意得

∴

∴－1

（3）由已知得m2－m－2＝m2－3m＋2，

故m＝2.

跟踪训练1　解　z＝＝＝＋i，

（1）∵点Z在虚轴上，

∴＝0，则m＝－2.

（2）点Z位于第一象限，则m＋2>0且1－2m>0，

解得－2

例2　解　

（1）由复数模的定义：

|z1|＝|－i|＝2，|z2|＝|－＋i|＝1.

∴|z1|>|z2|.

（2）设z＝x＋yi（x，y∈R），则1≤|z|≤2.

∴1≤x2＋y2≤4.

因为x2＋y2≥1表示圆x2＋y2＝1及其外部所有点组成的集合，x2＋y2≤4表示圆x2＋y2＝4及其内部所有点组成的集合．

∴满足条件的点Z（x，y）的集合是以O为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环，如图所示．

跟踪训练2　解　

（1）由题意得z＝a＋i，根据复数的模的定义可得|z|＝.

因为0

故1<|z|＝<.

（2）由

（1）知1<|z|<，易得满足条件1<|z|<的点Z的集合是以原点为圆心、分别以1和为半径的两个圆所夹的圆环，但不包括圆环的边界，如图：

例3　解　由复数加减法几何意义：

对应复数z3－z1，对应复数z2－z1，对应复数z4－z1，根据向量的平行四边形法则，得＝＋.

∴z4－z1＝（z2－z1）＋（z3－z1），

∴z4＝z2＋z3－z1＝（5＋i）＋（3＋3i）－（1＋i）＝7＋3i，

∴AD的长为||＝|z4－z1|＝|（7＋3i）－（1＋i）|

＝|6＋2i|＝2.

跟踪训练3　解　方法一　设z1＝a＋bi，z2＝c＋di（a，b，c，d∈R），

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴a2＋b2＝c2＋d2＝1，①

（a－c）2＋（b－d）2＝1.②

由①②得2ac＋2bd＝1，

∴|z1＋z2|＝

＝＝.

方法二　设O为坐标原点，

z1、z2、z1＋z2在复平面内对应的点分别为A、B、C.

∵|z1|＝|z2|＝|z1－z2|＝1，

∴△OAB是边长为1的正三角形，

∴四边形OACB是一个内角为60°，边长为1的菱形，且|z1＋z2|是菱形的较长的对角线OC的长，

∴|z1＋z2|＝|OC|

＝＝.

达标检测

1．5

解析　z＝（2－i）2＝3－4i，所以|z|＝|3－4i|＝＝5.

2．二

解析　∵z＝－1＝i－1，

∴复数z对应的点为（－1,1）在第二象限．

3．－6－8i

解析　因为复数4＋3i与－2－5i分别表示向量与，所以＝（4,3），＝（－2，－5），又＝－＝（－2，－5）－（4,3）＝（－6，－8），所以向量表示的复数是－6－8i.

4．9

解析　∵z＝（m－3）＋2i表示的点在直线y＝x上，

∴m－3＝2，解得m＝9.