八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版.docx
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八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球教师版
八个有趣模型搞定
空间几何体的外接球与
切球（教师版）
-CAL-FENGHAI.NetworkInformationTechnologyCompany.2020YEAR
八个有趣模型——搞定空间几何体的外接球与内切球
一、有关定义
1.球的定义：
空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.
2.外接球的定义：
若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上，则称这个多面体是这个球的内接多面体，这个球是这个多面体的外接球.
3.内切球的定义：
若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球.
二、外接球的有关知识与方法
:
过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；
:
经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；
:
过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆所在的平面（类比：
圆的垂径定理）；
:
球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；
:
在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类Lt：
在同圆中，两相交弦的中垂线交点是圆心）.
2.结论：
结论长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论2：
若山长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论3：
长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆
心，换言之，就是：
底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；
结论4：
圆柱体的外接球球心在上下两底面圆的圆心连一段中点处；结论5：
圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论6：
直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论7：
圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；
结论8：
圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论9：
侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.
3.终极利器：
勾股定理、正定理及余弦定理（解三角形求线段长度）
三、内切球的有关知识与方法
1•若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直.（与直线切圆的结论有一致性）•
2.内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等.（类
比：
与多边形的内切圆）•
3.正多面体的内切球和外接球的球心重合.
4.正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.
5•基本方法：
（1）构造三角形利用相似比和勾股定理；
（2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法）•
四、与台体相关的，此略.
五、八大模型
第一讲柱体背景的模型
方法：
找三条两两垂直的线段，直接用公式（2R）2=a2+b2+c2,即2R=yla2+b2+c2,求出
R
例1
（1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4,体积为16,则这个球的表面积
是（C）
A.16兀B.20龙C.24zrD.32龙
解：
y=6f2/?
=i61a=2、4/?
2=«2+^/2+/?
2=4+4+16=24?
S=24”，选C；
（2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为不，则其外接球的表面积是
9冗
解：
4/?
2=3+3+3=9,S=4冰》=9兀；
⑶在正三棱锥S-A8C中，M、W分别是棱SC、的中点,
SA=2羽,则正三棱锥S-ABC外接球的表面积
是.36兀
解：
引理：
正三棱锥的对棱互相垂直•证明如下：
如图（3）-
1,
取AB、BC的中点D,E,连接AE、CD、AE、CD交于H,连接
SH,
则H是底面正三角形A3C的中心，
SH丄平面A3C,SH丄A3,
AC=BC,AD=BD,/.CD丄AB.:
.43丄平面SC£>,
AB丄SC,同理：
BC丄54,AC丄S3,即正三棱锥的对棱
互垂直，
本题图如图⑶-2,vAM丄MN,SB//MN,
:
.AM丄SB,VAC丄SB,/.SB丄平面SAC,
:
.SB丄SA,SBISC、•/SB丄SA,BC丄SA,
且AM丄MN,若侧棱
「.SA丄平面SBC,「.SA丄SC,
故三棱锥S-ABC的三棱条侧棱两两互相垂直，
（2R）2=（2V3）2+（2^3）2+（2V3）2=36,即4疋=36,二正三棱锥S-ABC外接球的表面积是36兀・
（4）在四面体S-ABC中，S4丄平面ABC,ABAC=\20\SA=AC=2.AB=L则该四面体的外接球的表面积为（D）
1040
Al\7t3.7龙C.—7tD.—兀
33
解：
在SABC中，BC2=AC2+AB2-2AB-BCcosl20°=7,BC=ft、AABC的外接球直径
为2r=€1花€召」-（2R）1=⑵F+曲=（等
T
（5）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、4、3,那么它的外接球的表面积是解：
由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为ubc,则
ab=\2
be=8,abc=24,・・.a=3,b=4,c=2,（27?
）'=/+b‘+c，=29t
ac=6
S=4衣=29龙,
（6）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为1的正方形，则该几
何体外接球的体积为
类型二.对棱相等模型（补形为长方体）
题设：
三棱锥（即四面体）中，已知三组对棱分别相等，求外接球半径（43=CQ,
AD=BC,AC=BD]
第一步：
画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱；
第二步：
设出长方体的长宽高分别为ubc,AD=BC=x,
AB=CD=y,AC=BD=z,歹lj方程组，
a2+b2=x222
'b~+c2=y2=>（27?
）2=a~+b2+c2=；一一'
补充：
图2-1中，V^BCD=Clbe--abc%4=-abc.o3
第三步：
根据墙角模型，2R=J/+b2+F=/「+；+◎,F=h+；+Z
思考：
如何求棱长为“的正四面体体积，如何求其外接球体积？
例2
（1）如下图所示三棱锥A-BCD.其中AB=CD=5,AC=BD=6,AD=BC=7.则该三
棱锥外接球的表面积为.
解：
对棱相等，补形为长方体，如图2-1,设长宽高分别为abc,
2（a2+Z?
2+c2）=25+36+49=110?
«2+/?
2+c2=55,4/?
2=55fS=55”
⑴J8图
（2）在三棱锥A—3CD中，AB=CD=2、AD=BC=3lAC=BD=4,贝lj三棱锥A—3CQ
29
外接球的表面积为•寸
解：
如图2-1,设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a,b,c,
则/+b2=9,
b2+c2=4fc2+a2=162（/+，+c?
）=9+4+16=29,2（（r+b2+c2）=9+4+16=29,
6/2+/r+c2=—t47?
2=—,S=
22
（3）
29—7t
2
正四面体的各条棱长都为血，则该正面体外接球的体积为
解：
正四面体对棱相等的模式，放入正方体中，2/?
=V3,2琴,扌厂学=容
23o2
（4）棱长为2的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下
图，则图中三
角形（正四面体的截面）的面积是.
解：
如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为△PCO-面积是佢・
类型三.汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）
题设：
如图3-1,图3-2,图3-3,直三棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：
确定球心O的位置，是AABC的外心，则OQ丄平面ABC；第二步：
算出小圆0］的半径AO{=r,OOi=—AAi=—h（A4,=//圆柱的咼）第三步：
勾股定理：
闪+002=疋=（£）2+厂2二＞/?
==十2+（彳）2
例3
（1）—个正六棱柱的底面上正六边形‘其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在o
同一个球面上，且该六棱柱的体积为底面周长为3,则这个球的体积为
O
解：
设正六边形边长为-正六棱柱的高为❻底面外接圆的半径为匚则
正六棱柱的底面积为S=6£.（；）2=竽，V严Sh=dh=\羽,
42888
4R2=卩+（71）2=4
也可/?
2=（y）2+（|）2=D,R=l,球的体积为匕厂¥；
（2）直三棱柱ABC-A^C,的各顶点都在同一球面上，若
AB=AC=AA}=2,ZBAC=120°,则此球的表面积等于・
解：
BC=2馆，2r=-^-=4,r=2,R=、0
sin120。
S=20k；
（3）已知AEAB所在的平面与矩形ABCD所在的平面互相垂
直，EA=EB=3,AD=2.Z.AEB=60°,则多面体E—ABCD
的外接球的表面积为・16兀
解：
折叠型，
法一的外接圆半径为屁0^=1,/?
=V1T3=2;
法二：
OXM=耳，ri=02D=,R=—+—=4,R=2,S农=16/r；
22
法三：
补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略•换一种方式通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：
（2/?
）2=（2門）2+22=16,S厂16兀；
（4）在直三棱柱ABC-A.B.G中，AB=4MC=6,A=^，M=4,则直三棱柱ABC-A^C,
解:
法―+36»6・戸，心2疗”警劣
2
宀宀（刍虫+4』,S严型厂
233人3
法二：
求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略.
第二讲锥体背景的模型
类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径——正弦定理求大圆直径是通
法）第三步：
勾股定理：
（h-R）2+r2,解出/?
；
事实上，AACP的外接圆就是大圆，直接用正弦定理也可求解出/?
•
2.如图4-2,平面PAC丄平面ABC,且A3丄EC（即AC为小圆的直径）,且PA丄AC,则
利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：
①（2"=p"+⑵y02/?
=存才+（2川；
②疋=r2+OOj。
只=J2+OO；
3•如图4-3,平面PAC丄平面ABC,且AB丄EC（即AC为小圆的直径）
OC2=O}C2+O.O2R2=r2+Ofi2AC=2yjR1-O.O2
4•题设：
如图4-4,平面PAC丄平面ABC,且AB丄BC（即AC为小圆的直径）
第一步：
易知球心O必是APAC的外心，即APAC的外接圆是大圆，先求出小圆的直径
AC=2r；
第二步：
在APAC中，可根据正弦定理-^-=-^-=-^-=2/?
求出乩
sinAsmBsinC
例4
（1）正四棱锥的顶点都在同一球面上，若该棱锥的高为1,底面边长为2^3,则该球
的表面积为■
解：
法一：
由正弦定理（用大圆求外接球直径）；法二
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