九年级数学上册 圆的教学结构与反思 人教新课标版教案.docx

九年级数学上册 圆的教学结构与反思 人教新课标版教案.docx

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九年级数学上册圆的教学结构与反思人教新课标版教案

圆的教学回顾与思考

（1）

教学目标

（一）教学知识点

1．掌握本章的知识结构图．

2．探索圆及其相关结论．

3．掌握并理解垂径定理．

4．认识圆心角、弧、弦之间相等关系的定理．

5．掌握圆心角和圆周角的关系定理．

（二）能力训练要求

1．通过探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力．

2．用折叠、旋转的方法探索圆的对称性，以及圆心角、弧、弦之间关系的定理，发展学生的动手操作能力．

3．用推理证明的方法研究圆周角和圆心角的关系，发展学生的推理能力．

4．让学生自己总结交流所学内容，发展学生的语言表达能力和合作交流能力．

（三）情感与价值观要求

通过学生自己归纳总结本章内容，使他们在动手操作方面，探索研究方面，语言表达方面，分类讨论、归纳等方面都有所发展．

教学重点

掌握圆的定义，圆的对称性，垂径定理，圆心角、弧、弦之间的关系，圆心角和圆周角的关系．对这些内容不仅仅是知道结论，要注重它们的推导过程和运用．

教学难点

上面这些内容的推导及应用．

教学过程

Ⅰ．回顾本章内容

[师]本章的内容已全部学完，大家能总结一下我们都学过哪些内容吗？

[生]首先，我们学习了圆的定义；知道圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，并且有旋转不变性的特点；利用轴对称变换的方法探索出垂径定理及逆定理；用旋转变换的方法探索圆心角、弧、弦之间相等关系的定理；用推理证明的方法研究了圆心角和圆周角的关系；又研究了确定圆的条件；点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系；圆的切线的性质和判断；探究了圆弧长和扇形面积公式，圆锥的侧面积．

[师]很好，大家对所学知识掌握得不错．本章的内容可归纳为三大部分，第一部分由圆引出了圆的概念、对称性，圆周角与圆心角的关系，弧长、扇形面积，圆锥的侧面积，在对称性方面又学习了垂径定理，圆心角、孤、弦之间的关系定理；第二部分讨论直线与圆的位置关系，其中包括切线的性质与判定，切线的作图；第三部分是圆和圆的位置关系．这三部分构成了全章内容，结构如下：

（投影片A）

Ⅱ．具体内容巩固

[师]上面我们大致梳理了一下本章内容，现在我们具体地进行回顾．

一、圆的有关概念及性质

[生]圆是平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形．定点为圆心，定长为半径．

圆既是轴对称图形，又是中心对称图形，对称轴是任意一条过圆心的直线，对称中心是圆心，圆还具有旋转不变性．

[师]圆的这些性质在日常生活中有哪些应用呢？

你能举出例子吗？

[生]车轮做成圆形的就是利用了圆的旋转不变性．车轮在平坦的地面上行驶时，它与地面线相切，当它向前滚动时，轮子的中心与地面的距离总是不变的，这个距离就是半径．把车厢装在过轮子中心的车轴上，则车辆在平坦的公路上行驶时，人坐在车厢里会感觉非常平稳．如果车轮不是圆形，坐在车上的人会觉得非常颠．

二、垂径定理及其逆定理

[生]垂径定理：

垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

逆定理：

平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

[师]这两个定理大家一定要弄清楚、不能混淆，所以我们应先对他们进行区分．每个定理都是一个命题，每个命题都有条件和结论．在垂径定理中，条件是：

一条直径垂直于一条弦，结论是：

这条直径平分这条弦，且平分弦所对的弧（有两对弧相等）．在逆定理中，条件是：

一条直径平分一条弦（不是直径），结论是：

这条直径垂直于这条弦，并且平分弦所对的弧（也有两对弧相等）．从上面的分析可知，垂径定理中的条件是逆定理中的结论，垂径定理中的一个结论是逆定理中的条件，在具体的运用中，是根据已知条件提供的信息来决定用垂径定理还是其逆定理，若已知直径垂直于弦，则用垂径定理；若已知直径平分弦，则用逆定理．下面我们就用一些具体例子来区别它们．

（投影片B）

1．如图

（1），在⊙O中，AB、AC为互相垂直的两条相等的弦，OD⊥AB，OE⊥AC，D、E为垂足，则四边形ADOE是正方形吗？

请说明理由．

2．如图

（2），在⊙O中，半径为50mm，有长50mm的弦AB，C为AB的中点，则OC垂直于AB吗？

OC的长度是多少？

[师]在上面的两个题中，大家能分析一下应该用垂径定理呢，还是用逆定理呢？

[生]在第1题中，OD、OE都是过圆心的，又OD⊥AB、OE⊥AC，所以已知条件是直径垂直于弦，应用垂径定理；在第2题中，C是弦AB的中点，因此已知条件是平分弦（不是直径）的直径，应用逆定理．

[师]很好，在家能用这两个定理完成这两个题吗？

[生]1．解：

∵OD⊥AB，OE⊥AC，AB⊥AC，

∴四边形ADOE是矩形．

∵AC＝AB，∴AE＝AD．

∴四边形ADOE是正方形．

2．解：

∵C为AB的中点，

∴OC⊥AB，

在Rt△OAC中，AC＝AB＝25mm，OA＝50mm．

∴由勾股定理得OC＝（mm）．

三、圆心角、弧、弦之间关系定理

[师]大家先回忆一下本部分内容．

[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．

在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．

[师]下面我们进行有关练习

（投影片C）

1．如图在⊙O中，弦AB所对的劣弧为圆的，圆的半径为2cm，求AB的长．

[生]解：

由题意可知的度数为120°，

∴∠AOB＝120°．

作OC⊥AB，垂足为C，则

∠AOC＝60°，AC＝BC．

在Rt△ABC中，

AC＝OAsin60°＝2×sin60°＝2×．

∴AB＝2AC＝2（cm）．

四、圆心角与圆周角的关系

[生]一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等．

直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

五、弧长，扇形面积，圆锥的侧面积和全面积

[师]我们经过探索，归纳出弧长、扇形面积、圆锥的侧面积公式，大家不仅要牢记公式，而且要把它的由来表述清楚，由于时间关系，我们在这里不推导公式的由来，只是让学生掌握公式并能运用．

[生]弧长公式l＝，π是圆心角，R为半径．

扇形面积公式S＝或S＝lR．n为圆心角，R为扇形的半径，l为扇形弧长．

圆锥的侧面积S侧＝πrl，其中l为圆锥的母线长，r为底面圆的半径．

S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2．

Ⅲ．课时小结

本节课我们复习巩固了圆的概念及对称性；垂径定理及其逆定理；圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系；圆心角和圆周角的关系；弧长、扇形面积、圆锥的侧面积和全面积．

Ⅳ．课后作业：

复习题A组

Ⅴ．活动与深究

弓形面积

如图，把扇形OAmB的面积以及△OAB的面积计算出来，就可以得到弓形AmB的面积．如图

（1）中，弓形AmB的面积小于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形－S△OAB；图

（2）中，弓形AmB的面积大于半圆的面积，这时S弓形＝S扇形＋S△OAB；图（3）中，弓形AmB的面积等于半圆的面积，这时S弓形＝S圆．

例题：

水平放着的圆柱形排水管的截面半径是0.6m，其中水面高是0.3m，求截面上有水的弓形的面积（精确到0.01m2）．

解：

如图，在⊙O中，连接OA、OB，作弦AB的垂直平分线，垂足为D，交于点C．

∵OA＝0.6，DC＝0.3，

∴OD＝0.6－0.3＝0.3，∠AOD＝60°，AD＝0.3．

∵S弓形ACB＝S扇形OACB－S△OAB，

∴S扇形OACB＝·0.62＝0.12π（m2），

S△OAB＝AB·OD＝×0.6×0.3＝0.09（m2）

∴S弓形ACB＝0.12π－0.09≈0.22（m2）．

圆的教学回顾与思考

（2）

教学目标

（一）教学知识点

1．了解点与圆，直线与圆以及圆和圆的位置关系．

2．了解切线的概念，切线的性质及判定．

3．会过圆上一点画圆的切线．

（二）能力训练要求

1．通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．

2．通过探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式，发展学生的探索能力．

3．通过画圆的切线，训练学生的作图能力．

4．通过全章内容的归纳总结，训练学生各方面的能力．

（三）情感与价值观要求

1．通过探索有关公式，让学生懂得数学活动充满探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．

2．经历观察、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．

教学重点

1．探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系．

2．探索切线的性质；能判断一条直线是否为圆的切线；会过圆上一点画圆的切线．

教学难点：

探索各种位置关系及切线的性质．

教学过程

Ⅰ．回顾本章内容

[师]上节课我们对本章的所有知识进行了回顾，并讨论了这些知识间的关系，绘制了本章知识结构图，还对一部分内容进行了回顾，本节课继续进行有关知识的巩固．

Ⅱ．具体内容巩固

一、确定圆的条件

[师]作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题，确定了圆心和半径，圆就随之确定．我们在探索这一问题时，与作直线类比，研究了经过一个点、两个点、三个点可以作几个圆，圆心的分布和半径的大小有什么特点．下面请大家自己总结．

[生]经过一个点可以作无数个圆．因为以这个点以外的任意一点为圆心，以这两点所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的，因此这样的圆有无数个．

经过两点也可以作无数个圆．

设这两点为A、B，经过A、B两点的圆，其圆心到A、B两点的距离一定相等，所以圆心应在线段AB的垂直平分线上，在AB的垂直平分线上任意取一点为圆心，这一点到A或B的距离为半径都可以作一个经过A、B两点的圆．因此这样的圆也有无数个．

经过在同一直线上的三点不能作圆．

经过不在同一直线上的三点只能作一个圆．要作一个圆经过A、B、C三点，就要确定一个点作为圆心，使它到三点A、B、C的距离相等，到A、B两点距离相等的点在线段AB的垂直平分线上，到B、C两点距离相等的点应在线段B、C的垂直平分线上，那么同时满足到A、B、C三点距离相等的点应既在AB的垂直平分线上，又在BC的垂直平分线上，既两条直线的交点，因为交点只有一个，即确定了圆心．这个交点到A点的距离为半径，所以这样的圆只能作出一个．

[师]经过不在同一条直线上的四个点A、B、C、D能确定一个圆吗？

[生]不一定，过不在同一条直线上的三点，我们可以确定一个圆，如果另外一个点到圆心的距离等于半径，则说明四个点在同一个圆上，如果另外一个点到圆心的距离不等于半径，说明四个点不在同一个圆上．

例题讲解（投影片A）

矩形的四个顶点在以对角线的交点为圆心的同一个圆上吗？

为什么？

[师]请大家互相交流．

[生]解：

如图，矩形ABCD的对角线AC和BD相交于点O．

∵四边形ABCD为矩形，

∴OA＝OC＝OB＝OD．

∴A、B、C、D四点到定点O的距离都等于矩形对角线的一半．

∴A、B、C、D四点在以O为圆心，OA为半径的圆上．

二、三种位置关系

[师]我们在本章学习了三种位置关系，即点和圆的位置关系；直线和圆的位置关系；圆和圆的位置关系．下面我们逐一来回顾．

1．点和圆的位置关系

[生]点和圆的位置关系有三种，即点在圆外；点在圆上；点在圆内．判断一个点是在圆的什么部位，就是看这一点与圆心的距离和半径的大小关系，如果这个距离大于半径，说明这个点在圆外；如果这个距离等于半径，说明这个点在圆上；如果这个距离小于半径，说明这个点在圆内．

[师]总结得不错，下面看具体的例子．

（投影片B）

1．⊙O的半径r＝5cm，圆心O到直线l的距离d＝OD＝3m．在直线l上有P、Q、R三点，且有PD＝4cm，QD＞4cm，RD＜4cm，P、Q、R三点对于⊙O的位置各是怎样的？

2．菱形各边的中点在同一个圆上