鄞中物理奥赛培训教材第二版知识框架第11-20讲.doc

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第十一讲功和功率

【赛点知识】

一、功

物体（可看成质点）在恒力的作用下产生了位移，则力对物体所做的功为：

式中，是力与位移之间的夹角，功是标量，但有正、负之分，正功和负功的物理意义则须从与做功相联系的能量转化角度去理解。

说明：

（1）功是描述力的空间累积效果的物理量，由于位移总是与一个过程相联系的，所以功是过程量。

（2）功在不同的参照条件中，可以有不同数值。

但一般都取地面作为参照系。

而一对作用力与反作用力做功之和却与参照系的选择无关，如一对滑动摩擦力做的总功是（式中是相对位移），一对静摩擦力做的总功为零。

（3）当不能把物体当作质点处理时，物体的位移与力的作用点的位移可能是不相等的，这时公式中的应理解为力的作用点的位移。

如在半径为的圆柱体上缠绕着一根轻绳，当施一恒定的水平力拉绳子，使圆柱体无滑滚动一周过程中，力所做的功应为，而不是。

（4）功的定义式中力应为恒力。

如为变力，中学阶段常用如下几种处理方法：

a．微元法。

即把变力做功转化为恒力做功。

b．图像法。

即作出力与位移变化的图像，求出图线与位移轴之间所围的面积。

c．等效法。

即用机械能的增量或等效代换变为功。

（5）几个特殊力做的功

a．重力做的功：

只与始末位置的高度差有关，与运动的路径无关。

表达式：

b．弹簧弹力做的功

据胡克定律，作出图线。

当弹簧从形变变化到形变时，弹簧弹力所做的功相当于图中阴影部分的“面积”，即。

弹簧弹性力的功与路径无关，只与弹簧初、末状态两点的形变有关。

c．万有引力的功。

质量分别为和的两个质点，相对从初始位置A（相距），沿任意路径运动到终止位置B（相距），质点所受的万有引力的功为：

万有引力做的功与两质点初态的相对位置和终态的相对位置有关，而与运动的路径无关。

二、功率

力所做的功与所用时间的比值，称为该力在这段时间内的平均功率，记为。

若将代入上式得

式中，若为平均速度，求得的为平均功率，若是即时速度，求得的为即时功率，式中为与之间的夹角。

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第十二讲动能定理

【赛点知识】

一、动能

动能是描述质点机械运动状态的一个物理量。

表达式：

特点：

动能是标量且恒为正值，它的大小跟参照系的选择有关。

二、动能定理

1．内容：

作用在质点上合外力所做的功等于质点动能的改变量。

2．表达式：

3．说明：

（1）质点动能定理只能在惯性系中运动，其中位移和速度必须是同一惯性系的。

（2）动能和功是完全不同的两个物理量，动能是描述质点机械运动状态的物理量；功是和运动过程相联系，是描述力的空间累积效应的物理量，但动能和功又是密切联系的，体现在动能定理中，做功的本质是使物体的动能变化。

4．质点组动能定理

（1）内容：

对于质点组，外力做功与内力做功之和等于质点组动能的改变量。

（2）表达式：

第十三讲势能和机械能守恒定律

【赛点知识】

一、保守力和非保守力

保守力：

凡做功只依赖于质点组（或物体系）的初态和终态的相对位置的力，即与路径无关的力，如重力、万有引力等。

非保守力：

凡做功与路径有关的力，又称耗散力，如滑动摩擦力等。

二、势能

（一）概念

在保守力场中，有一种仅由物体系内的相对位置决定的能量，称之为势能。

物体系具有势能的条件是受保守力作用。

（二）物体系的势能和保守力的关系

势能的改变量等于保守力做功的负值：

。

（三）特点

（1）势能是标量。

（2）势能是状态量，由于势能的概念只确定了其改变量，为确定某状态下物体系的势能值。

必先规定某一状态势能为零，这状态称之为势能零点。

（3）势能是物体系共有的。

（4）若物体系同时受几种保守力作用。

则同时存在相应的几种势能。

（四）力学中常见的势能

（1）重力势能：

在物体跟地球组成的系统中，由物体跟地球之间相互作用的重力及相对位置决定的势能。

表达式：

。

（式中为与选定的零势能面位置的高度差）

（2）万有引力势能

a．产生：

两个质点组成的系统中，由两质点相互作用的万有引力及相对位置决定的势能。

b．势能零点的规定：

一般规定两质点相距无限远处为势能零点。

c．大小：

。

式中为两质点间距。

讨论：

①质点及均匀球体组成的物体系，其引力势能为。

式中为质点到球心的距离。

②质点及均匀球壳组成的物体系：

a．质点在均匀球壳内，其引力势能为：

。

式中为球壳半径。

b．质点在均匀球壳外，其引力势能为：

。

式中为质点到球壳球心的距离。

（3）弹性势能

①产生在物体和弹簧组成的系统中，在弹簧弹性限度内，由物体跟弹簧相互作用的弹性力及相对位置决定的势能。

②势能零点的规定：

一般规定弹簧处于原长的位置为势能零点。

③大小：

。

三、机械能够守恒定律

（一）机械能

物体系动能和势能的总和，其中势能包括重力势能和弹性势能。

（二）机械能守恒定律

1．内容：

一个物体系在某一过程中，外力不做功，内部非保守内力不做功，系统的机械能守恒。

2．说明：

（1）定律只适用于惯性系，应用时必须选同一惯性系。

（2）必须注意定律成立的条件：

①外力对系统不做功，表明系统与外界没有没有能量交换。

②非保守力不做功，表明系统内部不发生机械能与其它形式能的转化。

第十四讲天体运动

【赛点知识】

一、开普勒三定律

第一定律：

行星沿椭圆轨迹绕日运动，太阳在椭圆轨道的一个焦点上。

第二定律：

行星与太阳的连线（称矢径）在相等的时间内扫过相等的面积。

即：

式中，为从太阳中心引向行星的矢径的长度，为行星速度与矢径之间的夹角。

第三定律：

行星公转周期的平方与轨道半长轴的立方成正比。

即：

式中，为太阳质量，为引力恒量。

实际上，凡在中心天体的引力作用下，绕中心天体作周期运动的物体。

如人造地球卫星，都遵循以上三定律，只需把“太阳”改成“中心天体”即可。

二、万有引力定律

任何两质点间都存在着相互吸引力，其大小与两质点的质量的乘积成正比，与两质点间的距离平方成反比，力的方向沿着两质点的连线。

表达式：

式中，为引力恒量，大小N.m2.kg-2。

注意：

（1）此式仅适用于两质点之间。

（2）假如两物体不能看做质点，要求它们之间的引入，须把两物体分割成许多小块，然后再用上式计算，再矢量合成。

（3）质量分布是球对称的球体产生的万有引力，等效于把球体质量集中于球心的质点所产生的万有引力。

对均匀球面对球外质点的引力也等同于把球面的质量集中在球心处而成的质点与球外质点间的引力。

对均匀球壳对位于球壳内的质点的引力等于零。

三、天体运动

天体运动的轨道一般是圆或椭圆，它做曲线运动的向心力是靠万有引力提供的，因天体本身的大小与它们之间的距离比较起来很小，因此可以把它们当成质点来处理。

当一颗质量为的行星以速度绕着质量为的恒星做半径为的圆周运动时，如以无穷远处作为零势能，则它的动能和势能分别为：

，

而

故

行星的总能量

由上可知，卫星飞得越高，其速度越慢，但它的总能量却越大，它是发射高轨卫星较困难的原因之一。

在解决实际问题时，常把天体的能量问题与开普勒三定律结合起来解题。

第十五讲动量定理与动量守恒定律

【赛点知识】

一、动量和动量定理

在牛顿定律建立以前，人们为了量度物体做机械运动的“运动量”，引入了动量的概念。

当时在研究碰撞和打击问题时认识到：

物体的质量和速度越大，其“运动量”就越大。

物体的质量和速度的乘积遵从一定的规律，例如在两物体的碰撞过程中，它们的改变量必然是数值相等、方向相反。

在这些事实基础上，人们引入来量度物体的“运动量”，称之为动量。

人们又发现：

要使原来静止的物体获得某一速度，可用较大的力作用较短的时间或用较小的力作用较长的时间，只要力和力的作用时间的乘积相同，所产生的改变这个物体的速度效果就一样，在物理学中把叫做冲量。

由牛顿定律，容易得出它们的联系。

对单个物体：

；

即冲量等于动量的增量，这就是动量定理。

在应用动量定理时要注意它是矢量式，速度的变化前后的方向可以在一条直线上，也可以不在一条直线上。

当不在一直线上时，可将矢量投影到某方向上，分量式为：

对于多个物体组成的物体系，按照力的施力物体划分成内力和外力。

对各个质点用动量定理：

第1个

第2个

…… ……

第个

由牛顿第三定律：

因此得到：

即

质点系所有外力的冲量等于物体系总动量的增量。

二、动量守恒定律

动量守恒定律是人们在长期实践的基础上建立的，首先在碰撞问题的研究中发现了它，随着实践范围的扩大，逐步认识到它具有普遍意义。

对于相互作用的系统，在合外力为零的情况下，由牛顿第二定律和牛顿第三定律可得出物体的总动量保持不变。

即

上式就是动量守恒定律的数学表达式。

应用动量守恒定律应注意以下几点：

（1）动量是矢量，相互作用的物体组成的系统的总动量是指组成物体系的所有物体的动量的矢量和，而不是代数和，在具体计算时，经常采用正交分解法，写出动量守恒定律的分量方程，这样就可以把矢量运算转化为代数运算。

（2）在合外力为零时，尽管系统的总动量保持不变，但组成系统的各个物体的动量却可能不断变化。

系统内力只能改变系统内物体的动量，却不能改变系统的总动量。

在合外力不为零时，系统的总动量要发生改变，但垂直于合外力方向上系统的动量应保持不变，即合外力的分量在某一方向上为零，则系统在该方向上动量分量守恒。

（3）动量守恒定律成立的条件是合外力为零，但在处理实际问题时，当系统受到的合外力不为零，若内力远大于外力时，我们仍可以把它当做合外力为零处理，动量守恒定律成立。

如遇到碰撞、爆炸等时间极短的问题时，可忽略外力的冲量，系统动量近似认为守恒。

（4）动量守恒定律是由牛顿定律推导出的，牛顿定律对于分子、原子等微观粒子一般不适用，而动量守恒定律却仍适用。

因此，动量守恒定律是一条基本规律，它比牛顿定律具有更大的普遍性。

第十六讲碰撞

【赛点知识】

一、碰撞

质量和质量的两个物块在直线上发生对心碰撞，碰撞前后速度分别为，及，，碰撞前后速度在一条直线上，由动量守恒定律得到：

根据两物块碰撞过程中的恢复情况，碰撞又可分为下列几种：

（一）弹性碰撞

在碰撞过程中没有机械能损失的碰撞称为弹性碰撞，由机械能守恒定律有：

结合动量守恒定律解得：

对于上述结果可作如下讨论：

（1）时，则，，即、交换速度。

（2）若，且有，则，，即大物体速度几乎不变，而小物体以二倍于大物体速度运动。

（3）若，且有，则，，则大物体几乎不动，而小物体原速率反弹。

（二）完全非弹性碰撞

两物体相碰后粘合在一起或具有相同的速度，被称为完全非弹性碰撞，在完全非弹性碰撞中，系统动量守恒，机械能损失最大。

碰撞过程中损失的机械能为：

（三）一般非弹性碰撞，恢复系数

一般非弹性碰撞是指碰撞后两物体分开，速度，且碰撞过程中有机械能损失，但比完全非弹性碰撞损失机械能要小。

物理学中用恢复系数来表示碰撞性质。

恢复系数定义为：

（1）弹性碰撞，；

（2）完全非弹性碰撞，，；

（3）一般非弹性碰撞，。

（四）斜碰

两物体碰撞前后不在一条直线上，属于斜碰，设两物体间的恢复系数为，设碰撞前、的速度为，，其法向分量分别为，，碰后速度为，，法向分量为，，则有

若两物体接触处光滑，则应有、切向分量不变，，。

若两物体接触处有切向