复化梯形公式和复化Simpson公式Word文档格式.docx

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复化梯形公式和复化Simpson公式Word文档格式.docx

2*exp(x)+x*exp(x)

程序2:

clc

clear

symsx%定义自变量x

f=inline('

x*exp(x)'

'

x'

)%定义函数f(x)=x*exp(x),换函数时只需换该函数表达式即可

f2=inline('

(2*exp(x)+x*exp(x))'

)%定义f(x)的二阶导数,输入程序1里求出的f2即可。

f3='

-(2*exp(x)+x*exp(x))'

%因fminbnd()函数求的是表达式的最小值,且要求表达式带引号,故取负号,以便求最大值

e=5*10^(-8)%精度要求值

a=1%积分下限

b=2%积分上限

x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的二阶导数的最小值点,也就是求二阶导数的最大值点对应的x值

forn=2:

1000000%求等分数n

Rn=-(b-a)/12*((b-a)/n)^2*f2(x1)%计算余项

ifabs(Rn)<

e%用余项进行判断

break%符合要求时结束

end

end

h=(b-a)/n%求h

Tn1=0

fork=1:

n-1%求连加和

xk=a+k*h

Tn1=Tn1+f(xk)

Tn=h/2*((f(a)+2*Tn1+f(b)))

z=exp

(2)

R=Tn-z%求已知值与计算值的差

fprintf('

用复化梯形算法计算的结果Tn='

disp(Tn)

等分数n='

disp(n)%输出等分数

已知值与计算值的误差R='

disp(R)

输出结果显示:

用复化梯形算法计算的结果Tn=7.3891

等分数n=7019

已知值与计算值的误差R=2.8300e-008

2.Simpson公式

程序1:

(求f(x)的n阶导数):

输入n=4

4*exp(x)+x*exp(x)

(4*exp(x)+x*exp(x))'

)%定义f(x)的四阶导数,输入程序1里求出的f2即可

-(4*exp(x)+x*exp(x))'

%因fminbnd()函数求的是表达式的最小值,且要求表达式带引号,故取负号,一边求最大值

e=5*10^(-8)%精度要求值

x1=fminbnd(f3,1,2)%求负的四阶导数的最小值点,也就是求四阶导数的最大值点对应的x值

Rn=-(b-a)/180*((b-a)/(2*n))^4*f2(x1)%计算余项

Sn1=0

Sn2=0

fork=0:

n-1%求两组连加和

xk1=xk+h/2

Sn1=Sn1+f(xk1)

Sn2=Sn2+f(xk)

end

Sn=h/6*(f(a)+4*Sn1+2*(Sn2-f(a))+f(b))%因Sn2多加了k=0时的值,故减去f(a)

R=Sn-z%求已知值与计算值的差

用Simpson公式计算的结果Sn='

disp(Sn)

disp(n)

用Simpson公式计算的结果Sn=7.3891

等分数n=24

已知值与计算值的误差R=2.7284e-008

用复化梯形公式计算的结果为:

7.3891,与精确解的误差为:

2.8300e-008。

等分数n=7019

用复化Simpson公式计算的结果为:

2.7284e-008。

等分数n=24

3、柯斯特公式求积分:

程序代码:

(1)function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)

ifnargin==1

[mm,nn]=size(fun);

ifmm>

=8

error('

为了保证NewtonCotes积分的稳定性,最多只能有9个等距节点!

elseifnn~=2

fun构成应为:

第一列为x,第二列为y,并且个数为小于10的等距节点!

end

xk=fun(1,:

);

fk=fun(2,:

a=min(xk);

b=max(xk);

n=mm-1;

elseifnargin==4

xk=linspace(a,b,n+1);

ifisa(fun,'

function_handle'

fx=fun(xk);

else

fun积分函数的句柄,且必须能够接受矢量输入!

else

输入参数错误,请参考函数帮助!

Ck=cotescoeff(n);

Ak=(b-a)*Ck;

y=Ak*fx'

;

(2)functionCk=cotescoeff(n)

fori=1:

n+1

k=i-1;

Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);

(3)functionf=intfun(t,n,k)

f=1;

fori=[0:

k-1,k+1:

n]

f=f.*(t-i);

代码解释:

function[y,Ck,Ak]=NewtonCotes(fun,a,b,n)

%y=NewtonCotes(fun,a,b,n)

%牛顿-科特斯数值积分公式

%参数说明:

%fun,积分表达式,这里有两种选择

%

(1)积分函数句柄,必须能够接受矢量输入,比如fun=@(x)sin(x).*cos(x)

%

(2)x,y坐标的离散点,第一列为x,第二列为y,必须等距,且节点的个数小于9,比如:

fun=[1:

8;

sin(1:

8)]'

%如果fun的表采用第二种方式,那么只需要输入第一个参数即可,否则还要输入a,b,n三个参数

%a,积分下限

%b,积分上限

%n,牛顿-科特斯数公式的阶数,必须满足1<

n<

7,因为n>

=8时不能保证公式的稳定性

%

(1)n=1,即梯形公式

%

(2)n=2,即辛普森公式

%(3)n=4,即科特斯公式

%y,数值积分结果

%Ck,科特斯系数

%Ak,求积系数

%

%Example

%fun1=@(x)sin(x);

%必须可以接受矢量输入

%fun2=[0:

0.1:

0.5;

sin(0:

0.5)];

%最多8个点,必须等距

%y1=NewtonCotes(fun1,0,0.5,6)

%y2==NewtonCotes(fun2)

%计算积分节点xk和节点函数值fx

xk=linspace(a,b,n+1);

%计算科特斯系数

%计算求积系数

%求和算积分

functionCk=cotescoeff(n)

%由于科特斯系数最多7阶,为了方便我们可以直接使用,省得每次都计算

%A1=[1,1]/2

%A2=[1,4,1]/6

%A3=[1,3,3,1]/8

%A4=[7,32,12,32,1]/90

%A5=[19,75,50,50,75,19]/288

%A6=[41,216,27,272,27,216,41]/840

%A7=[751,3577,1323,2989,2989,1323,3577,751]/17280

%当时为了体现公式,我们使用程序计算n阶科特斯系数

Ck(i)=(-1)^(n-k)/factorial(k)/factorial(n-k)/n*quadl(@(t)intfun(t,n,k),0,n);

functionf=intfun(t,n,k)

%科特斯系数中的积分表达式

输出结果:

fun=@(x)exp(x);

a=-1;

b=1;

n=4;

NewtonCotes(fun,a,b,n)

ans=2.3505

二、三点数值微分

如有侵权请联系告知删除,感谢你们的配合!

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