导数在不等式证明中的应用毕业论文Word文档下载推荐.docx
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22xxxxx,,,,,ln
(1)例1设x>
0,证明不等式成立.22
(1),x
2xfxxx()ln
(1),,,,x,0f00,证明令,显然.当时,有,,2
21x'
fxx()10,,,,,11,,xx
fx()x,0fx从而在(0,+?
)内严格递增,又在处连续,所以,当,,
fxf()(0)0,,x,0时,.
2xln
(1),,,xx即.2
5
(1)
2xx,0gxxx()ln
(1),,,,设,则时,2
(1),x
2212
(1)xxxx,,,'
gx()10,,,,,2212
(1)2
(1),,,xxx
x,0x,0gx()gx()所以在(0,+?
)内递减,又在处连续,故时,有gxg()(0)0,,
2xln()xx,,即2
(1),x
(2)
x,0由
(1))
(2)可知,当时,有
22xxxxx,,,,,ln
(1)
22
(1),x.
注构造适当的辅助函数,使得证明简洁些是很有必要的。
为此,往往对待证的不等式作适当的恒等变形。
3.利用函数的最值(或极值)证明不等式
由待证不等式建立函数,通过导数求出极值并判断极大值还是极小值,再求出最大值或最小值,从而证明不等式,这就是利用函数的最值(或极值)证明不等式的思路.
2,,0Ux(,),设在点连续,在某邻域内可导.定理2.1fx00
xxx,,(,),fx()0,xxx,,(,),fx()0,
(1)若当时,当时,则f在0000
点处取得极小值;
x0
xxx,,(,),fx()0,xxx,,(,),fx()0,
(2)若当时,当时,则f在0000
6
点处取得极大值.x0
证下面只证
(2),
(1)的证明可类似地进行.
(,)xx,,(,)xx,,由定理的条件及单调性定理知,在内递增,在递f0000
fxfx()(),xUx,(,),减,又由在处连续,故对任意的,恒有.即在ffx000
处取得极大值.x0
xxffab,若函数的最大(小)值点在区间内,则必是的极大(小),,00
xxff值点.又若在可导,则还是一个稳定点.所以我们只要比较在00
f所有稳定点、不可导点和区间端点上的函数值,就能从中找到在
ab,上的最大值与最小值.,,
利用函数的最值(或极值)证明不等式的步骤:
1、确定函数自变量所在的区间;
2、求导,确定在区间上的极值,并确定最值;
fx()
3、由最值得到不等式.
,nn,3nN,221,,n例2.1设且,求证:
.
xfxxx,,,,221,3证设.则有,,,,
xfxxx,,,2ln2,(3).,,
3x,3fx,,,2ln320fx3,,,因为,所以.所以在上为增函数.故,,,,,,
n221,,nfxf310,,fx,0的最小值为.所以恒成立,即命题得,,,,,,
证.
若我们不用函数的最值方法去证明,我们可以这样证明:
证用数学归纳法.
3n,3282317,,,,,当时,恒成立.
7
knk,nk,,1221,,k假设当时,成立.那么,当时,有
kk,122221242,,,,,,,kk.,,
,k,34223kk,,,kN,又因为且,所以易证成立.从而得到
k,1223211,,,,,kk.,,
nk,,1即当时命题也成立,从而原命题得证.
从此例题我们可以看出利用函数的最值证明不等式思路更为清晰,方法更为简明,有利于避免不等式证明中的一些转化,放缩等问题.在不等式的证明中,转化与放缩恰恰又是难点所在,所以以后遇到当函数取最大(或最小)值时不等式都成立的问题时,我们可以把不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题.因此利用导数求函数最值是不等式证明的一种重要方法.
4利用拉格朗日中值定理证明不等式
fx()要使用拉格朗日中值定理,关键是找出函数及其区间,看它是否满足格朗日中值定理的条件,还可结合不等式的特点来找。
fx()定理2(拉格朗日中值定理)若函数满足以下条件:
fx()[,]ab
(1)在闭区间上连续;
fx()(,)ab
(2)在开区间内可导;
则在(a,b)内至少存在一点,使
fbfa()(),'
f(),ba,
fx()例2设为非线性函数,在[a,b]在连续,在(a,b)内可
,,(,)abη使导,证明:
fbfa()(),,,f(),ba,。
8
证明引入辅助函数
fbfa()(),Fxfxfaxa()()()(),,,,ba,
fx()Fx()0,,,cab(,)Fc()0,由于非线性,,故,使得,而
FaFb()()0,,。
Fc()0,Fc()0,ac,cb,设,(类似可证),在与上分别使用拉格,,,,朗日中值定理,得
FcFa()(),,,,Fac()0,(,),,,,11ca,
FbFc()(),,,Fcb()0,(,),,,,22bc,
fbfa()(),,,而,Fxfx()(),,ba,
fbfa()(),,,fxFx()(),,ba,即.
fbfa()(),,,,,ff()(),,21ba,所以,
,,fff()max{(),()},,,,令12
fbfa()(),,故,f(),ba,
注一般地,若函数满足拉格朗日中值条件,则有不等式
1,,min()()()max()fxfffx,,,,,,,,,,,x,,,,x,,,
它是利用拉格朗日中值定理证明许多具体函数的不等式的主要思
想。
5.利用泰勒公式证明不等式
我们先对泰勒公式作简单介绍.
9
2,,定理4.1若函数在点存在直至n阶导数,则有fx0
nfxTxoxx()()(()),,,,即0n
()nfxfx()()'
2nn00.fxfxfxxxxxxxxx()()()()()()(()),,,,,,,,,,00000002!
!
n(*)
证设
nRxfxTxQxxx()()(),()(),,,,,0nnn
现在只要证
Rx,,n.lim0,,xx0Qx,,n
又由关系式
n,,'
RxRxRx,,,,0,,,,,,,000nnn
并易知
nn,1,,,,'
QxQxQxQn,,,,,0,!
.,,,,,,nnnn000
n,,fx因为存在,所以在点的某邻域内存在阶导函数xfUxn,1,,,,000
0xUx,.于是,当且时,允许接连使用洛必达法则次,xx,n,1fx(),,00
得到
n,1,,'
RxRxRx,,,,,,nnnlimlimlim,,,'
1n,xxxxxx,,,000QxQxQx,,,,,,nnn
nnn,,11,,,,,,fxfxfxxx,,,,,,,,,,,000lim,xx,012nnxx,,,,,,0
n,1,,n,1,,fxfx,,,,,1n,,0,,limfx,,,,0xx,0!
nxx,,,0,,
0.
定理所证的(*)式称为函数f在点处的泰勒公式.x0
10
用此公式证明不等式就是把所要证的不等式适当变形,把其中的函数用此公式展开,再把展开式右边进行放大或缩小,从而推证要证的不等式.
22,xx例4.1当时,证明不等式成立.0,,x,,,1cosx2,2
224xx1cos1,xx,证由于,故.,cos1cos,0xx,,,,,,,,cos,,2x2242!
4!
2
2,,,,,22211111411x2,,,显然有,,,,,,,,,,,,cos1,22242242962963,即
11cos1,x.,,2,2x
2x两边乘以,得
22xx,,,1cosx.,2
所以结论成立.
注意用泰勒公式证明命题时,关键要注意一点,即究竟要展开到第几阶,而对于命题则没有统一的规律,我们要根据题中的有关信息加以适当取舍.
6利用函数的凸凹性证明不等式
函数的凸凹性的重要应用之一是证明不等式,许多不等式问题用以前的方法(如中值定理、泰勒公式等)证明起来十分困难,但利用函数的凸凹性质,可以方便、快捷地得到结论。
IIfx()定理5为区间上的凸函数的充要条件是:
对于区间上
11
xxx,,的任意三点总有123
fxfx()(),fxfx()(),3221,.xxxx,,2132
fxx()ln,,(0)x,例5利用是凸函数,证明:
,,n12xxxxxx,,,,,,,.x,,,0,0,1.,,其中,121122nnniii
fxx()ln,,(0)x,证明因为是凸函数,所以詹森不等式
nn
fxfx()(),,,成立。
,iiii,,11ii
,,,,,,,,ln()(lnlnln)xxxxxx,,,,,,即11221122nnnn
,,n12,,,,,,ln()ln(),,,xxxxxx112212nnn
,,n12ln()ln(),,,xxxxxx,,,,亦即112212nnn
,,n12xxxxxx,,,,,,,从而121122nn
Ifx()注如果是区间上凸(凹)函数,那么由定义,对于区
Ixx间上的任意两点,总有12
fxfx()(),fxfx()(),fxfx()(),fxfx()(),32322121,(),,xxxx,,xxxx,,21322132
Ifx()所以只需证明在区间上是凸(凹)函数即可证上述不等式。
7.利用两导数的不等性证明不等式
在不等式的证明中,我们也可以由待证不等式建立两个在端点值相等的函数,比较两函数导数的大小,应用定理证明不等式.
3,,定理6.1设函数满足:
fxgx(),()
(?
)在区间上可导,ab,,,
fxgx()(),(?
)在区间上有,ab,,,
),faga()(),
12
则在上有.ab,fxgx()(),,,
证设,则在上,有ab,Fxfxgx()()(),,,,
Fxfxgx()()()0,,,.
是上的增函数.因而,ab,Fx(),,
lim()()0FxFa,,另一方面,,且,故在Fx()Fafaga()()()0,,,,xa,
xab,,Fa()0,上递增且,于是,当时,,即ab,FxFa()()0,,,,,,
.fxgx()(),
此定理有明显的几何意义:
如果曲线,都过同一点yfxygx,,(),()
且当时,曲线的切线斜率大于曲线Mafa(,())yfx,()ygx,()axb,,
的切线斜率,则曲线必在曲线的上方.(如图1)yfx,()ygx,()
yy
y=f(x)
My=g(x)
y=g(x)M
00xaxbabxx
图1图2
类似地可得到
13
3,,定理6.2设函数满足:
)在区间上可导;
ab,,,
)在区间上有;
ab,,,
),fbgb()(),
其几何意义如图2.
3x例6.1证明,.xx,,sin(0)x,6
3x证设,显然,求导,得:
fxxgxx(),()sin,,,fg(0)(0),6
2x'
.fxgxx()1,()cos,,,2
为在上判断与的大小,再求一次导,得:
,,0fx()gx(),,
"
fxxgxxx(),()sin()sin(),,,,,,.
fg(0)(0)1,,fxgx()(),因,即,故,即.又因为,x,0,,x0,,,xxsin()
fxgx()(),在上应用定理即知.再在上应用定理,知,,,0,,,0,,,,
即fxgx()(),
3xxx,,sin(0)x,6
8利用特殊例题的推广来证明不等式
5,,在高等数学典型题解中有这样一道例题即命题1,通过它可以
得到下面的命题2,命题3,应用这些推论可以简洁、快速地解决一
些不等式的证明问题.
fx()[,)a,,(,)a,,fa()0,命题1设函数在上连续,在可导,且。
若
14
fx(),fx()(,)a,,(,)a,,在单调增加(或单调减少),则在上单,,()x,xa
调增加(或单调减少)。
fx()(,)a,,证明设在上单调增加
fxxafxfx()()()1(),,,,,()[()]xfx,,,2()xaxaxa,,,
,(,).ax由拉格朗日中值定理知存在使得
fxfxfa()()(),,,,,f().xaxa,,
fx()(,)a,,ax,,,由于在上单调增加,对于任意和有xa,
,,,fxf()(),,,()0.x,,()x(,)a,,fx(),从而于是在上单调增加。
对于在(,)a,,上单调减少的情形亦可类似证明。
将命题1推广可得以下推论。
fx()(,],,b(,),,bfb()0,命题2设函数在上连续,在可导,且,
fx(),fx()(,),,b(,),,b若在单调增加(或单调减少),则在上单,,()x,xb
fx()(,],,b证明设在上单调增加
fx,,,fxxbfx()()()1,,,,,()[()]xfx,,,2()xbxbxb,,,
,,,(,).b由拉格朗日中值定理知,存在使得
fxfxfb()()(),,,,,f().xbxb,,
fx()(,),,bxb,,,xb,由于在上单调增加,对于任意和有,,,,fxf()(),,,()0.x,,()x(,),,bfx(),从而于是在上单调增加。
对于在(,),,b上单调减少的情形亦可类似证明。
(,],,b(,]ab[,]ab注将区间换成或结论也成立。
15
fx()[,]ab(,)abfa()0,命题3设函数在上连续,在可导,且,若
fx(),fx()(,)ab(,)ab在单调增加(或单调减少),则在上单调增加,,()x,xa(或单调减少)。
fx()ab,证明设在上单调增加,,
fx,,,fxxafx()()()1,,,,,()[()]xfx,,,2()xaxaxa,,,
,ab,.由拉格朗日中值定理知,存在使得,,
fx()axb,,xb,,,ab,由于在上单调增加,对于任意和有,,
,,,fxf()(),,,()0.x,,()xfx()ab,,从而于是在上单调增加。
对于在,,
ab,上单调减少的情形亦可类似证明。
,
[,]ab[,)ab注将区间换成结论也成立。
下面我们用这些定理证明一些常见的不等式。
2sinx
(1)例9证明当时,0,,x,,1.,2x
1cos2,x
(2)0,,,x
tanxx,(3)
,
(1)fxx()sin,fxx()cos,fx()证明令,则在单调减少。
又在(0,)2
,sinx,f(0)0,上连续,在内可导,且.于是在上[0,],,(0,)(0,)()x222x
sinsinx2sinxsinx2单调减少。
由于,所以.即,,,lim1,,1.1,x,0,,xxx
,
(2)fxx()1cos,,fxx()sin,fx()证明令,则在单调增加。
又(0,)2
,1cos,xf(0)0,在上连续,在内可导,且.于是在[0,],(0,)()x,22x
16
1cos,1cos,x,1cos,x2上单调增加。
由于,所以.即(0,)lim0,0,,,x,0,2xx
1cos2,x.0,,,x
2,(3)fxx()tan,fx()fxx()sce,证明令,则在单调增加。
,tanx,f(0)0,上连续,在内可导,且.于是在上[0,),,(0,)(0,)()x222x
tanxtanxx,tan1x,单调增加。
由于,所以.即,lim0,x,0x
注应用上面的命题及其推论我们不难得到下面的两条结论。
22xxxx,01当时,ln
(1)1.xxxxe,,,,,,,,22
(1),x
32x,2当时,0,,x,,,,,,,,01cossintan.xxxxxx,23
9.结束语
以上我们把应用导数证明不等式的方法归成七类,分别举例介绍了其证明方法,使用时究竟用哪种方法,需要根据不等式具体形式加以选择,有的可用多种方法证明.作分类介绍,只是提供了证明的不同思路与方法供选用.总的来说,利用导数证明不等式是一种思路清晰,方法简明,效果良好的方法.
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