三角函数周期题库.docx

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三角函数周期题库

三角函数周期的求法

高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。

以下是有关三角函数周期的几种求法。

1．定义法：

定义：

一般地ｙ＝c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，

ｆ（ｘ＋T）＝ｆ（ｘ）

都成立，那么就把函数ｙ＝ｆ（ｘ）叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。

对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。

下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。

例1．求函数y=3sin（）的周期

解：

∵y=f（x）=3sin（）=3sin（+2）

　　=3sin（）=3sin[]

=f（x+3）

这就是说，当自变量由ｘ增加到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。

∴函数y=3sin（）的周期是T=3。

例2：

求f（x）=sin6x+cos6x的周期

解∵f（x+）=sin6（x+）+cos6（x+）

=cos6x+sin6x=f（x）

∴f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=

例3：

求f（x）=的周期

解：

∵f（x+）=

=

=

=f（x）

∴求f（x）=的周期：

T=

2．公式法：

（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、ｙ＝tg（）形成（其中A、、为常数，且A0、＞0、R），则可知道它们的周期分别是：

、、。

例4：

求函数y=1-sinx+cosx的周期

解：

∵y=1-2（sinx-cosx）

　　=1-2（cossinx-sincosx）

　　=1-2sin（x-）

这里=1　　∴周期T=2

例5：

求：

y=2（sinx-cos3x）-1

解：

∵y=2（sinx-cos3x）-1

　　=2sin（3x-）-1

这里=3　∴周期为T=

例6：

求y=tg（1+）的周期

解：

这里=，∴周期为：

T=/=

（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。

例7：

求f（x）=sinx·cosx的周期

解：

∵f（x）=sinx·cosx=sin2x

这里=3，∴f（x）=sinx·cosx的周期为T=

例8：

求f（x）=sin2x的周期

解：

∵f（x）=sin2x=

而cos2x的周期为，∴f（x）=sin2x的周期为T=　　

注：

以上二题可以运用定义求出周期。

例9：

求y=sin6x+cos6x的周期

解：

原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。

∵y=sin6x+cos6x

=（sin2x+cos2x）（sin4x-sin2x·cos2x+cos4x）

=（sin2x+cos2x）2-3sin2x·cos2x

=1-3sin2x·cos2x

　　=1-sin22x

=+cos4x

而cos4x的周期为T==,

∴y=sin6x+cos6x的周期为T=

例10：

函数y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期。

解：

利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。

∵y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x

=3-2sinx·cosx+2cos2x

=3-sin2x+cos2x+1

=4+2（cos2x-sin2x

=4+2cos（2x+）

∴y=3sin2x-2sinx·cosx+5cos2x的周期为T=

3．定理法：

如果f（x）是几个周期函数代数和形式的，即是：

函数f（x）=f1（x）+f2（x），而f1（x）的周期为T1,f2（x）的周期为T2，则f（x）的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1

事实上，由（既约分数），得T=P2T1=P1T2

∵f（x+P1T2）=f1（x+P1T2）+f2（x+P1T2）

=f1（x+P2T1）+f2（x+P1T2）

=f1（x）+f2（x）

=f（x）

∴P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。

例11：

求函数y=tg6x+ctg8x的周期。

解：

∵y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=

由P1T2=P2T1，得==，取P1=4，P2=3

　　∴y=tg6x+ctg8x的周期为T=P1T2=。

例12：

求函数y=sin2x+sin3x的周期

解：

∵sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=

而=，即是T=2T1=3T2，

　　∴y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2

例13：

求函数y=cos+sin的周期

的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立．

2、根据公式求周期

对于函数或的周期公式是，

对于函数或的周期公式是．

例3求函数的周期

解：

．

3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期

例4求函数的周期

解：

∴．

例5已知函数求周期

解：

∵

∴．

4、遇到绝对值时，可利用公式,化去绝对值符号再求周期

例6求函数的周期

解：

∵

∴．

例7求函数的周期

解：

∵

∴函数的最小正周期．

5、若函数，且，都是周期函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数,使，

（均为正整数且互质），则就是的最小正周期．

例8求函数的周期

解：

∵的最小正周期是，的最小正周期是．

∴函数的周期，把代入得，即，

因为为正整数且互质，所以．

函数的周期．

例9求函数的周期

函数的周期性

--函数的周期性不仅存在于三角函数中，在其它函数或者数列中"突然"出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题

一.明确复习目标

1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；

2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。

二、建构知识网络

1.函数的周期性定义：

若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。

周期函数定义域必是无界的

2.若T是周期，则k·T（k≠0,k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。

一般所说的周期是指函数的最小正周期。

周期函数并非所都有最小正周期。

如常函数f（x）=C；

3.若函数f（x）对定义域内的任意x满足：

f（x+a）=f（x－a）,则2a为函数f（x）的周期。

（若f（x）满足f（a+x）=f（a－x）则f（x）的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别）

4.若函数f（x）图象有两条对称轴x=a和x=b，（a

5.若函数f（x）图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（a

（证一证）

6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a

举例:

y=sinx,等.

三.双基题目练练手

1.f（x）是定义在R上的以3为周期的偶函数，且f

（1）=0，则方程f（x）=0在区间（0，6）内解的个数的最小值是（）

A．5B．4C．3D．2

2.若函数y=f（x）是周期为2的奇函数，且当x∈（0,1）时f（x）=x+1，则f（π）的值为（）

A．π-5B.5-πC.4-πD.π-4

3.是偶函数，且为奇函数，则f（1992）=

4.设存在常数p>0,使，则的一个周期是，f（px）的一个正周期是；

5.数列中

简答精讲：

1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0是对称轴，则周期是4；4、，；5、；由已知，周期为6。

四.经典例题做一做

【例1】已知f（x）是以2为周期的偶函数，且当x∈（0,1）时，f（x）=x+1.求f（x）在（1,2）上的解析式。

解法1：

（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。

）

∵x∈（1,2）,则-x∈（-2,-1）,

∴2-x∈（0,1）,∵T=2,是偶函数

∴f（x）=f（-x）=f（2-x）=2-x+1=3-x.

x∈（1,2）.

解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f（x）=f（x+2）

如图：

x∈（0,1）,f（x）=x+1.∵是偶函数

∴x∈（-1,0）时f（x）=f（-x）=-x+1.

又周期为2，x∈（1,2）时x-2∈（-1，0）

∴f（x）=f（x-2）=-（x-2）+1=3-x.

提炼方法：

1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的（1,2）上向已知的（0,1）上转化;

2.用好数形结合,对解题很有帮助.

【例2】f（x）的定义域是R，且f（x+2）[1-f（x）]=1+f（x）,若f（0）=2008,求f（2008）的值。

解：

周期为8，

法二：

依次计算f（2、4、6、8）知周期为8，须再验证。

方法提炼：

1.求周期只需要弄出一个常数;

2.注意既得关系式的连续使用.

【例3】若函数在R上是奇函数，且在上是增函数，且.

①求的周期；

②证明f（x）的图象关于点（2k,0）中心对称;关于直线x=2k+1轴对称,（k∈Z）;

③讨论f（x）在（1,2）上的单调性；

解:

①由已知f（x）=－f（x+2）=f（x+2+2）=f（x+4）,故周期T=4.

②设P（x,y）是图象上任意一点,则y=f（x）,且P关于点（2k,0）对称的点为P1（4k-x,-y）.P关于直线x=2k+1对称的点为P2（4k+2-x,y）.

∵f（4k-x）=f（-x）=-f（x）=-y,∴点P1在图象上,图象关于点（2k,0）对称.

又f（x）是奇函数,f（x+2）=-f（x）=f（-x）

∴f（4k+2-x）=f（2-x）=f（x）=y,∴点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.

③设1

∵f（x）在（-1,0）上递增,∴f（2-x1）

又f（x+2）=-f（x）=f（-x）∴f（2-x1）=f（x1）,f（2-x2）=f（x2）.

（*）为f（x2）

提炼方法：

总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。

【研究.欣赏】已知函数y=f（x）是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f（x）（-1≤x≤1）是奇函数.又知y=f（x）在[0,1]上是一次函数，在[1,4]上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5.

①证明：

；②求的解析式；

③求在上的解析式.

解：

∵是以为周期的周期函数，且在[-1,1]上是奇函数，∴，∴.

②当时，由题意可设，

由得，∴，

∴.

③∵是奇函数，∴，

又知在上是一次函数，∴可设，而，

∴，∴当时，，

从而时，，故时，.

∴当时，有，∴.

当时，，

∴

∴.

五．提炼总结以为师

1.函数的周期性及有关概念;

2.用周期的定义求函数的周期;

3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;

同步练习2．7函数的周期性

【选择题】

1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（－）的值为

A.0B.C.TD.－

2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是π，