三角函数周期题库.docx

1、三角函数周期题库三角函数周期的求法高中数学涉及到函数周期的问题，学生往往感到比较困难。以下是有关三角函数周期的几种求法。1定义法：定义：一般地c，对于函数，如果存在一个不为零的常数，使得当取定义域内的每一个值时，（T）（）都成立，那么就把函数()叫做周期函数；不为零的常数叫做这个函数的周期。对于一个周期函数来说，如果在所有的周期中存在着一个最小的正数，就把这个最小的正数叫做最小的正周期。下面我们谈到三角函数的周期时，一般指的是三角函数折最小正周期。例1求函数y=3sin（）的周期解：y=f（x）=3sin（）=3sin（+2） =3sin（）=3sin = f（x+3）这就是说，当自变量由增加

2、到x+3，且必增加到x+3时，函数值重复出现。函数y=3sin（）的周期是T=3。例2：求f（x）=sin6x+cos6x的周期解f（x+）= sin6（x+）+ cos6（x+） = cos6x +sin6x= f（x）f（x）=sin6x+cos6x的周期为T=例3：求f（x）=的周期解：f（x+）= f（x）求f（x）=的周期：T=2公式法：（1）如果所求周期函数可化为y=Asin（）、y=Acos（）、tg（）形成（其中A、为常数，且A0、0、R），则可知道它们的周期分别是：、。例4：求函数y=1-sinx+cosx的周期解：y=1-2（ sinx-cosx） =1-2（cossinx

3、-sin cosx） =1-2sin（x-）这里=1周期T=2例5：求：y=2（sinx-cos3x）-1解：y=2（sinx-cos3x）-1 =2sin（3x-）-1这里=3 周期为T=例6：求y=tg（1+）的周期解：这里=，周期为：T=/=（2）如果f（x）是二次或高次的形式的周期函数，可以把它化成sinx、cosx、tgx的形式，再确定它的周期。例7：求f（x）=sinxcosx的周期解：f（x）=sinxcosx=sin2x这里=3，f（x）=sinxcosx的周期为T=例8：求f（x）=sin2x的周期解：f（x）=sin2x=而cos2x的周期为，f（x）=sin2x的周期为T

4、=注：以上二题可以运用定义求出周期。例9：求y=sin6x+ cos6x的周期解：原函数次数较高，应先进降次变形，再求周期。y=sin6x+ cos6x =（sin2x+ cos2x）（sin4x-sin2xcos2x+ cos4x） =( sin2x+ cos2x)2-3 sin2xcos2x =1-3 sin2xcos2x =1- sin22x =+cos4x而cos4x的周期为T=,y= sin6x+ cos6x的周期为T=例10：函数y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期。解：利用三角恒等式对函数进行恒等变形，再求周期。 y=3sin2x-2sinxcosx+5cos

5、2x =3-2sinxcosx+2cos2x =3-sin2x+cos2x+1 =4+2(cos2x-sin2x =4+2cos(2x+) y=3sin2x-2sinxcosx+5cos2x的周期为T=3定理法：如果f(x)是几个周期函数代数和形式的，即是：函数f(x)=f1(x)+f2(x)，而f1(x)的周期为T1, f2(x)的周期为T2，则f(x)的周期为T=P2T1=P1T2，其中P1、P2N，且（P1、P2）=1事实上，由（既约分数），得T= P2T1=P1T2f（x+ P1T2）=f1（x+ P1T2）+f2（x+ P1T2） =f1（x+ P2T1）+ f2（x+ P1T2）

6、= f1（x）+ f2（x） =f（x）P1T2是f（x）的周期，同理P2T1也是函数f（x）的周期。例11：求函数y=tg6x+ctg8x的周期。解：y=tg6x的周期为T1=，tg8x的周期为T2=由P1T2= P2T1，得=，取P1=4，P2=3 y=tg6x+ctg8x的周期为T= P1T2=。例12：求函数y=sin2x+sin3x的周期解：sin2x的周期为T1=，sin3x的周期为T2=而=，即是T=2T1=3T2， y=sin2x+sin3x的周期为T=2T1=2例13：求函数y=cos+sin的周期的恒等式，即对于自变量取定义域内的每个值时，上式都成立2、根据公式求周期对于函

7、数或的周期公式是，对于函数或的周期公式是例3 求函数的周期解： 3、把三角函数表达式化为一角一函数的形式，再利用公式求周期例4 求函数的周期 解： 例5 已知函数求周期 解： 4、遇到绝对值时，可利用公式 , 化去绝对值符号再求周期例6 求函数 的周期 解： 例7 求函数的周期解： 函数的最小正周期 5、若函数，且，都是周期函数，且最小正周期分别为，如果找到一个正常数, 使，(均为正整数且互质)，则就是的最小正周期 例8 求函数的周期解： 的最小正周期是， 的最小正周期是 函数的周期 ，把代入得 ，即， 因为为正整数且互质， 所以 函数的周期 例9 求函数的周期函数的周期性-函数的周期性不仅存

8、在于三角函数中，在其它函数或者数列中突然出现的周期性问题更能考查你的功底和灵活性，本讲重点复习一般函数的周期性问题一.明确复习目标1.理解函数周期性的概念，会用定义判定函数的周期；2.理解函数的周期性与图象的对称性之间的关系，会运用函数的周期性处理一些简单问题。二、建构知识网络1.函数的周期性定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使 恒成立，则f(x)叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。周期函数定义域必是无界的2.若T是周期，则kT（k0,kZ）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。周期函数并非所都有最小正周期。如常函数f(x)=C； 3.若

9、函数f(x)对定义域内的任意x满足：f(x+a)=f(xa),则2a为函数f(x)的周期。（若f(x)满足f(a+x)=f(ax)则f(x)的图象以x=a为图象的对称轴，应注意二者的区别)4.若函数f(x)图象有两条对称轴x=a和x=b，（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期 5.若函数f(x)图象有两个对称中心（a，0），（b，0）（ab），则2（b-a）是f（x）的一个周期。(证一证)6.若函数f（x）有一条对称轴x=a和一个对称中心（b，0）（a0,使 ，则 的一个周期是 ，f(px)的一个正周期是 ；5.数列 中 简答精讲：1、B；2、A；3、993；因（-1，0）是中心，x=0

10、是对称轴，则周期是4；4、 ， ；5、 ；由已知 ，周期为6。四.经典例题做一做【例1】已知f(x)是以2为周期的偶函数，且当x(0,1)时，f(x)=x+1.求f(x)在(1,2)上的解析式。解法1：（从解析式入手，由奇偶性结合周期性，将要求区间上问题转化为已知解析式的区间上。） x(1,2), 则-x(-2,-1), 2-x(0,1), T=2,是偶函数 f(x)=f(-x)=f(2-x)=2-x+1=3-x. x(1,2).解法2（从图象入手也可解决，且较直观）f(x)=f(x+2)如图：x(0,1), f(x)=x+1.是偶函数x(-1,0)时f(x)=f(-x)=-x+1. 又周期为

11、2， x(1,2)时x-2（-1，0）f(x)=f(x-2)=-(x-2)+1=3-x.提炼方法：1.解题体现了化归转化的思想,即把未知的(1,2)上向已知的(0,1)上转化;2.用好数形结合,对解题很有帮助.【例2】f(x)的定义域是R，且f(x+2)1-f(x)=1+f(x),若f(0)=2008,求 f(2008)的值。解： 周期为8， 法二：依次计算f(2、4、6、8)知周期为8，须再验证。方法提炼：1.求周期只需要弄出一个常数;2.注意既得关系式的连续使用.【例3】若函数 在R上是奇函数，且在 上是增函数，且 .求 的周期；证明f(x)的图象关于点(2k,0) 中心对称;关于直线x=

12、2k+1轴对称, (kZ );讨论f(x)在(1,2)上的单调性；解: 由已知f(x)=f(x+2)=f(x+2+2)=f(x+4),故周期T=4.设P(x,y)是图象上任意一点,则y=f(x),且P关于点(2k,0)对称的点为P1(4k-x,-y).P关于直线x=2k+1对称的点为P2(4k+2-x,y).f(4k-x)=f(-x)=-f(x)=-y,点P1在图象上,图象关于点(2k,0)对称.又f(x)是奇函数,f(x+2)=-f(x)=f(-x)f(4k+2-x)=f(2-x)=f(x)=y, 点P2在图象上,图象关于直线2k+1对称.设1x1x22,则-2-x2-x1-1, 02-x2

13、2-x11.f(x)在(-1,0)上递增, f(2-x1)f(2-x2)(*)又f(x+2)=-f(x)=f(-x) f(2-x1)=f(x1), f(2-x2)=f(x2).(*)为f(x2)f(x1),f(x)在(1,2)上是减函数.提炼方法：总结解周期性、单调性及图象对称性的方法。【研究.欣赏】已知函数y=f(x)是定义在R上的周期函数，周期T=5，函数y=f(x)(-1x1)是奇函数.又知y=f(x)在0,1上是一次函数，在1,4上是二次函数，且在x=2时函数取得最小值-5. 证明： ；求 的解析式；求 在 上的解析式.解： 是以 为周期的周期函数，且在-1,1上是奇函数， ， .当 时，由题意可设 ，由 得 ， ， . 是奇函数， ，又知 在 上是一次函数，可设 ，而 ， ，当 时， ，从而 时， ，故 时， .当 时，有 ， .当 时， ， .五提炼总结以为师1.函数的周期性及有关概念;2.用周期的定义求函数的周期;3.函数的周期性与图象的对称性之间的关系;同步练习 27 函数的周期性【选择题】1.f（x）是定义在R上的奇函数，它的最小正周期为T，则f（ ）的值为A.0 B. C.T D. 2.（2004天津）定义在R上的函数f（x）既是偶函数又是周期函数.若f（x）的最小正周期是，