安徽省亳州市蒙城县第八中学学年高一第一次月考数学试题 答案和解析.docx

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安徽省亳州市蒙城县第八中学学年高一第一次月考数学试题答案和解析

安徽省亳州市蒙城县第八中学【最新】高一第一次月考数学试题

学校:

___________姓名：

___________班级：

___________考号：

___________

一、单选题

1．设集合A={x∈Q|x＞﹣1}，则（　　）

A．B．C．D．⊈A

2．已知集合A到B的映射f：

x→y=2x+1，那么集合A中元素2在B中的象是（　　）

A．5B．2C．6D．8

3．用集合表示图中阴影部分是（　　）

A．（∁UA）∩BB．（∁UA）∩（∁UB）

C．A∩（∁UB）D．A∪（∁UB）

4．下列函数是偶函数的是（　　）

A．y=xB．y=2x2﹣3C．D．y=x2，x∈[0，1]

5．在下列四组函数中，f（x）与g（x）表示同一函数的是（　　）

A．f（x）=x﹣1，g（x）=

B．f（x）=x，g（x）=

C．f（x）=x+1，x∈R，g（x）=x+1，x∈Z

D．f（x）=|x+1|，g（x）=

6．已知集合A={0，1，2}，B={z|z=x+y，x∈A，y∈A}，则B=（　　）

A．{0，1，2，3，4}B．{0，1，2}C．{0，2，4}D．{1，2}

7．已知函数f（x）=，则f（f（﹣3））=（　　）

A．0B．πC．π2D．9

8．设全集,则等于（）

A．B．C．D．

9．函数f（x）=x2+2ax+a2﹣2a在区间（﹣∞，3]上单调递减，则实数a的取值范围是（　　）

A．（﹣∞，3]B．[﹣3，+∞）C．（﹣∞，-3]D．[3，+∞）

10．已知的定义域为，则函数的定义域为（）

A．B．C．D．

11．已知函数在定义域上是减函数，且，则实数a的取值范围是（）

A．B．C．D．

12．设奇函数在上为增函数，且，则不等式的解集为（）

A．B．

C．D．

二、填空题

13．已知集合，集合，则_______.

14．幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，4），则f（﹣3）的值是_____．

15．函数的单调递减区间为_____．

16．已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）（x，y∈R），则下列各式恒成立的是_____．

①f（0）=0；②f（3）=3f

（1）；③f（）=f

（1）；④f（﹣x）f（x）＜0．

三、解答题

17．已知集合M={2，a，b}，N={2a，2，b2}且M=N．求a、b的值．

18．已知集合A={x|1＜x﹣1≤4}，B={x|x＜a}．

（1）当a=3时，求A∩B；

（2）若A⊆B，求实数a的取值范围．

19．已知f（x）=，g（x）=x2+2．

（1）求f

（2），g

（2），f[g

（2）]；

（2）求f[g（x）]的解析式．

20．已知函数，

（Ⅰ）证明f（x）在[1，+∞）上是增函数；

（Ⅱ）求f（x）在[1，4]上的最大值及最小值．

21．设f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R），求函数f（x）的最小值的解析式，并作出此解析式的图象．

22．已知定义在（0，+∞）上的函数f（x）满足对任意a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），且当x＞1时，f（x）＜0．

（Ⅰ）求f

（1）的值；

（Ⅱ）判断f（x）的单调性并证明；

（Ⅲ）若f（3）=﹣1，解不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2．

参考答案

1．B

【解析】试题分析：

A中元素为大于负一的有理数，故选B．

考点：

集合间的关系

2．A

【详解】

所以,

集合A中元素2在B中的象是5，

故选A.

3．C

【解析】

图中阴影部分中元素在A中,不在B中,所以为A∩（∁UB）,选C.

4．B

【解析】

y=x为奇函数,y=2x2﹣3是偶函数,为奇函数,y=x2，x∈[0，1]既不是奇函数也不是偶函数,所以选B.

5．D

【解析】

f（x）=x﹣1与g（x）=定义域不同,f（x）=x与g（x）=定义域不同,f（x）=x+1，x∈R与g（x）=x+1，x∈Z定义域不同,g（x）=,所以f（x）=|x+1|与g（x）=为同一函数，选D.

6．A

【解析】

因为，所以B={0，1，2，3，4}，选A.

7．B

【解析】

，选B.

点睛：

分段函数求值的解题思路；求分段函数的函数值，要先确定要求值的自变量属于哪一段区间，然后代入该段的解析式求值，当出现f（f（a））的形式时，应从内到外依次求值．

8．C

【分析】

由题意首先进行补集运算，然后进行交集运算即可.

【详解】

由题意可得：

，

结合交集的定义可得：

故选C.

【点睛】

本题主要考查集合的交并补混合运算，属于基础题.

9．C

【解析】

由题意得，选C.

10．B

【解析】

试题分析：

因为函数的定义域为，故函数有意义只需即可，解得，选B．

考点：

1、函数的定义域的概念；2、复合函数求定义域．

11．B

【分析】

由函数的单调性及定义域可得不等式，即可得解.

【详解】

因为函数在定义域上是减函数，且，

所以,解得,

所以实数a的取值范围是.

故选：

B.

【点睛】

本题考查了利用函数单调性解不等式，考查了运算求解能力，属于基础题.

12．D

【解析】

由f（x）为奇函数可知，

＝<0.

而f

（1）＝0，则f（－1）＝－f

（1）＝0.

当x>0时，f（x）<0＝f

（1）；

当x<0时，f（x）>0＝f（－1）．

又∵f（x）在（0，＋∞）上为增函数，

∴奇函数f（x）在（－∞，0）上为增函数．

所以0

点睛：

解函数不等式：

首先根据函数的性质把不等式转化为的形式，然后根据函数的单调性去掉“”，转化为具体的不等式（组），此时要注意与的取值应在外层函数的定义域内

13．{3，4}．

【分析】

利用交集的概念及运算可得结果.

【详解】

，

.

【点睛】

本题考查集合的运算，考查交集的概念与运算，属于基础题.

14．9．

【解析】

由题意得

15．（﹣∞，﹣3]．

【解析】

由题意得，即单调递减区间为（﹣∞，﹣3]．

点睛：

1．复合函数单调性的规则

若两个简单函数的单调性相同，则它们的复合函数为增函数；若两个简单函数的单调性相反，则它们的复合函数为减函数．即“同增异减”．

2．函数单调性的性质

（1）若f（x），g（x）均为区间A上的增（减）函数，则f（x）＋g（x）也是区间A上的增（减）函数，更进一步，即增＋增＝增，增－减＝增，减＋减＝减，减－增＝减；

（2）若k>0，则kf（x）与f（x）单调性相同；若k<0，则kf（x）与f（x）单调性相反；

（3）在公共定义域内，函数y＝f（x）（f（x）≠0）与y＝－f（x），y＝单调性相反；

（4）在公共定义域内，函数y＝f（x）（f（x）≥0）与y＝单调性相同；

（5）奇函数在其关于原点对称的区间上单调性相同，偶函数在其关于原点对称的区间上单调性相反．

16．①②③

【解析】

解：

令x=y=0得f（0）=2f（0），所以f（0）=0，所以①恒成立；

令x=2，y=1得f（3）=f

（2）+f

（1）=f

（1）+f

（1）+f

（1）=3f

（1），所以②恒成立；

令x=y=得f

（1）=2f（），所以f（）=f

（1），所以③恒成立；

令y=﹣x得f（0）=f（x）+f（﹣x），即f（﹣x）=﹣f（x），所以f（﹣x）f（x）=﹣[f（x）]2≤0，所以④不恒成立．

故答案为：

①②③

17．

【解析】

因为M=N，所以根据集合元素的互异性，可知,解出a,b值再验证是否满足互异性的要求.

由M＝N及集合元素的互异性得：

或

解上面的方程组得，或或

再根据集合中元素的互异性得，或

18．

（1）{x|2＜x＜3}

（2）a＞5

【解析】

试题分析：

（1）先解集合A,再结合数轴求交集得A∩B；

（2）根据数轴确定满足A⊆B时实数a的取值范围．

试题解析：

解：

（Ⅰ）∵1＜x﹣1≤4，∴2＜x≤5

故A={x|2＜x≤5}

当a=3时，B={x|x＜3}

∴A∩B={x|2＜x＜3}

（Ⅱ）∵A⊆B，∴a＞5

19．

（1）

（2）

【解析】

试题分析：

（1）将自变量2代入f（x），g（x）解析式即得f

（2），g

（2），将g

（2）作为自变量代入f（x）即得f[g

（2）]；

（2）将g（x）作为自变量代入f（x）即得f[g（x）]

试题解析：

解：

（1）f

（2）=，g

（2）=22+2=6，

把g

（2）=22+2=6代入f（x）=，得f[g

（2）]=f（6）=；

（2）f[g（x）]=

20．

（1）见解析

（2）

【解析】

试题分析：

（Ⅰ）利用函数的单调性的定义进行证明；（Ⅱ）利用前一步所证的函数的单调性确定其最值．

试题解析：

（Ⅰ）设，且,则

　∴　∴，∴

∴　

∴，即

∴在上是增函数.

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知在上是增函数

∴当时，

∴当时，

综上所述，在上的最大值为，最小值为.

21．见解析

【解析】

试题分析：

根据对称轴x=2与定义区间[t，t+1]位置关系，讨论确定最小值取法，再利用分段函数形式写最小值的解析式，最后按三段依次作出函数图像

试题解析：

解：

f（x）=x2﹣4x﹣4=（x﹣2）2﹣8，即抛物线开口向上，对称轴为x=2，最小值为﹣8，过点（0，﹣4），

结合二次函数的图象可知：

当t+1＜2，即t＜1时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t+1处取最小值f（t+1）=t2﹣2t﹣7，

当，即1≤t≤2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=2处取最小值﹣8，

当t＞2时，f（x）=x2﹣4x﹣4，x∈[t，t+1]（t∈R）在x=t处取最小值f（t）=t2﹣4t﹣4，

即最小值为g（t），由以上分析可得，，作图象如下；

点睛：

研究二次函数单调性的思路

（1）二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论．

（2）若已知f（x）＝ax2＋bx＋c（a>0）在区间A上单调递减（单调递增），则A⊆（A⊆）即区间A一定在函数对称轴的左侧（右侧）．

22．

（1）f

（1）=0

（2）见解析（3）（8，9）

【解析】

试题分析：

（1）赋值法求f

（1）的值：

令a=b=1，可得f

（1）=2f

（1），解得f

（1）=0；

（2）取两个特殊值判断函数单调性，再利用单调性定义证明，作差时利用f（x2）﹣f（x1）=f（）再结合当x＞1时，f（x）＜0可得差的符号.（3）利用及时定义可得f（x）+f（x﹣8）=f[x（x﹣8）]，根据赋值法可得f（9）=2f（3）=﹣2，再根据单调性可得，解不等式组可得不等式解集

试题解析：

解：

（1）对∀a，b∈（0，+∞）都有f（ab）=f（a）+f（b），令a=b=1，可得f

（1）=2f

（1），解得f

（1）=0；

（Ⅱ）证明：

设x1，x2∈（0，+∞），且x1＜x2，

则f（x2）﹣f（x1）=f（）﹣f（x1）=f（）+f（x1）﹣f（x1）=）=f（）

∵，∴，∴f（x2）﹣f（x1）＜0，即f（x2）＜f（x1）．

∴f（x）在（0，+∞）上是减函数．

（Ⅲ）令a=b=3，可得f（9）=2f（3）=﹣2，

∴f（x）+f（x﹣8）＞﹣2⇒f[x（x﹣8）]＞f（9）

⇒．

不等式f（x）+f（x﹣8）＞﹣2的解集为：

（8，9）