金融数学引论答案第二章北京大学出版1汇编.docx
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金融数学引论答案第二章北京大学出版1汇编
第二章习题答案
1．某家庭从子女出生时开始累积大学教育费用5万元。
如果它们前十年每年底存
款1000元，后十年每年底存款1000+X元，年利率7%。
计算X。
解：
2．价值10,000元的新车。
购买者计划分期付款方式：
每月底还250元，期限4年。
月结算名利率18%。
计算首次付款金额。
解：
设首次付款为X，则有
解得X=1489.36
3．设有n年期期末年金，其中年金金额为n，实利率i=1
。
试计算该年金的现值。
解：
4．解：
则
5．已知：
。
计算i。
解：
解得i=6.0%
6.证明：
证明：
7．已知：
半年结算名利率6%，计算下面10年期末年金的现值：
开始4年每半
年200元，然后减为每次100元。
解：
8．某人现年40岁，现在开始每年初在退休金帐号上存入1000元，共计25年。
然
后，从65岁开始每年初领取一定的退休金，共计15年。
设前25年的年利率为8%，
后15年的年利率7%。
计算每年的退休金。
解：
设每年退休金为X，选择65岁年初为比较日
解得X=8101.65
9．已知贴现率为10%，计算。
解：
d=10%，则
10.求证：
并给出两等式的实际解释。
证明：
（1）
所以
（2）
所以
12.从1980年6月7日开始，每季度年金100元，直至1991年12月7日，季结算名利
率6%，计算：
1）该年金在1979年9月7日的现值；2）该年金在1992年6月7日的终
值。
解：
PV=100a49】1.5%−100a2]1.5%=3256.88
AV=100s49]1.5%−100s2]1.5%￢=6959.37
13.现有价值相等的两种期末年金A和B。
年金A在第1－10年和第21－30年中每
年1元，在第11－20年中每年2元；年金B在第1－10年和第21－30年中每年付款金
额为Y，在第11－20年中没有。
已知：
，计算Y。
解：
因两种年金价值相等，则有
所以
14.已知年金满足：
2元的2n期期末年金与3元的n期期末年金的现值之和为36；另
外，递延n年的2元n期期末年金的现值为6。
计算i。
解：
由题意知，
解得i=8.33%
15.已知
。
求X，Y和Z。
解：
由题意得
解得
X=4,Y=7,Z=4
16.化简
解：
17.计算下面年金在年初的现值：
首次在下一年的4月1日，然后每半年一
次2000元，半年结算名利率9%。
解：
年金在4月1日的价值为P=（1+4.5%）/4.5%
×2000=46444.44，则
18.某递延永久年金的买价为P，实利率i，写出递延时间的表达式。
解：
设递延时间为t，有
解得
19.从现在开始每年初存入1000元，一直进行20年。
从第三十年底开始每年领取一
定的金额X，直至永远。
计算X。
解：
设年实利率为i，由两年金的现值相等，有
解得
20.某人将遗产以永久年金的方式留给后代A、B、C、和D：
前n年，A、B和C三人
平分每年的年金，n年后所有年金由D一人继承。
如果四人的遗产份额的现值相
同。
计算。
解：
设遗产为１，则永久年金每年的年金为i，那么A,B,C得到的遗产的现值
为，而D得到遗产的现值为vn。
由题意得
所以
21.永久期末年金有A、B、C、和D四人分摊，A接受第一个n年，B接受第二
个n年，C接受第三个n年，D接受所有剩余的。
已知：
C与A的份额之比为0.49，
求B与D的份额之比。
解：
由题意知
那么
22.1000元年利率4.5%的贷款从第五年底开始每年还贷100元，直至还清，如果最
后一次的还款大于100元。
计算最后一次还款的数量和时间。
解：
解得n=17
列价值方程
解得X=146.07
23.36年的期末年金每次4元，另有18年的期末年金每次5元；两者现值相等。
如果
以同样的年利率计算货币的价值在n年内将增加一倍，计算n。
解：
两年金现值相等，则，可知
由题意，解得n=9
24.某借款人可以选择以下两种还贷方式：
每月底还100元，5年还清；k个月后一
次还6000元。
已知月结算名利率为12%，计算k。
解：
由题意可得方程
100a60p1%￢=6000（1+i）−k
解得k=29
25.已知，求i。
解：
由题意得
解得i=9.38%
26.某人得到一万元人寿保险赔付。
如果购买10年期末年金可以每年得到1538元，20年
的期末年金为每年1072元。
计算年利率。
解：
27.某人在银行中存入一万元10年定期存款，年利率4%，如果前5年半内提前支
取，银行将扣留提款的5%作为惩罚。
已知：
在第4、5、6和7年底分别取出K元，
且第十年底的余额为一万元，计算K。
解：
由题意可得价值方程
28.贷款P从第六个月开始分十年逐年还清。
第一次的还款额为后面还款的一半，
前四年半的年利率为i，后面的利率为j。
计算首次付款金额X的表达式。
解：
选取第一次还款日为比较日，有价值方程
29.已知半年名利率为7%，计算下面年金在首次付款8年后的终值：
每两年付
款2000元，共计8次。
解：
30.计算下面十年年金的现值：
前5年每季度初支付400元，然后增为600元。
已知
年利率为12%。
（缺命令）
解：
31.已知半年结算的名贴现率为9%，计算每半年付款600元的十年期初年金的现
值表达式。
解：
32.给出下面年金的现值：
在第7、11、15、19、23和27年底支付一个货币单位。
解：
33.750元的永久年金和每20年付款750元的永久年金可以用每次R元的30年期末
年金代替，半年换算名利率4%，求R的表达式。
解：
设年实利率为i，则（1+2%）2=1+i。
有题意得
解得R=1114.77
34.已知每三年付款一元的永久期末年金的现值为125/91，计算年利率。
解：
由题意知
解得i=20%
35.已知：
1元永久期初年金的现值为20，它等价于每两年付款R元的永久期初年
金，计算R。
解：
由题意得
解得R=1.95
36.已知每半年付款500元的递延期初年金价格为10000元。
试用贴现率表示递延
时间。
解：
设贴现率为d，则
设递延时间为t，由题意得
解得
37.计算：
计算i。
解：
解得：
39.已知：
。
求的表达式。
解：
40.已知一年内的连续年金函数为常数1，计算时刻t，使得只要在该时刻一次性支
付一个货币单位，则两种年金的现值相等。
解：
第一种年金的现值为
第二种年金的现值为，则
所以
41.已知：
δ=0.08。
计算从现在开始每个季度初存入100元的20年期初年金的现
值。
（结果和李凌飞的不同）
解：
设季度实利率为i。
因，则所以
42.现有金额为40,000元的基金以4%的速度连续累积。
同时每年以2400元的固定
速连续地从基金中取钱，该基金可以维持多少时间？
解：
设年实利率为i，则设基金可维持t年，由两现值相等得
解得t=28
43.已知某永久期末年金的金额为：
1，3，5，...。
另外，第6次和第7次付款的现值
相等，计算该永久年金的现值。
解：
由题意：
解得:
PV=66
44.给出现值表达式所代表的年金序列。
用这种表达式给出如
下25年递减年金的现值：
首次100元，然后每次减少3元。
解：
年金序列：
A+nB,A+（n−1）B,...,A+2B,A+B
所求为
45.某期末年金（半年一次）为：
800,750,700,...,350。
已知半年结算名利率
为16％。
若记：
，试用A表示这个年金的现值。
解：
考虑把此年金分割成300元的固定年金和500元的递减，故有：
47.已知永久年金的方式为：
第5、6年底各100元；第7、8年底各200元，第9、10年底各300元，依此类推。
证明其现值为:
解：
把年金分解成：
从第5年开始的100元永久年金，从第7年开始的100元永久
年金...。
从而
48.十年期年金：
每年的1月1日100元；4月1日200元；7月1日300元；10月1日400元。
证明其现值为：
元
证：
首先把一年四次的付款折到年初：
从而每年初当年的年金现值：
元
再贴现到开始时：
元
49.从现在开始的永久年金：
首次一元，然后每半年一次，每次增加3％，年利
率8％，计算现值。
解：
半年的实利率：
50.某人为其子女提供如下的大学费用：
每年的前9个月每月初500元，共计4年。
证明当前的准备金为：
证：
首先把9个月的支付贴现到年初：
m=12,n=9/12,R=500m=6000从而
每年初当年的年金现值：
贴现到当前：
51.现有如下的永久年金：
第一个k年每年底还；第二个k年每年底还2R；第三
个k年每年底还3R；依此类推。
给出现值表达式。
解：
把此年金看成从第nk年开始的每年为R的永久年金（n=0,1,2,···）:
每个年金的值为
在分散在每个k年的区段里：
再按标准永久年金求现值：
v
52.X表示首次付款从第二年底开始的标准永久年金的现值，20X表示首次付款
从第三年底开始的永久年金：
1,2,3,···的现值。
计算贴现率。
解：
由题意：
解得：
i=0.05
即：
53.四年一次的永久年金：
首次1元，每次增加5元，v4=0.75，计算现值。
与原答案有出入
解：
（期初年金）
（期末年金）
54.永久连续年金的年金函数为:
（1+k）t，年利率i，如果：
0金现值。
与原答案有出入
解：
由于059.计算m+n年的标准期末年金的终值。
已知：
前m年年利率7%，后n年年利
率11%，。
解：
由的表达式有：
60.甲持有A股票100股，乙持有B股票100股，两种股票都是每股10元。
A股票每
年底每股分得红利0.40元，共计10年，在第10次分红后，甲以每股2元的价格将所
有的股票出售，假设甲以年利率6%将红利收入和股票出售的收入进行投资。
B股
票在前10年没有红利收入，从第11年底开始每年每股分得红利0.80元，如果乙也
是以年利率6%进行投资，并且在n年后出售其股票。
为了使甲乙在乙的股票出售
时刻的累积收入相同，分别对n=15,20两种情况计算乙的股票出售价格。
解：
设X为买价，有价值方程：
从而有：
解得：
X=
5.22n=15
2.48n=20
61.某奖学金从1990年元旦开始以十万元启动，每年的6月30日和12月31日用半
年结算名利率8%结算利息。
另外，从1991年元旦开始每年初可以固定地收到捐
款5000元。
（从1991年的7月开始？
）每年的7月1日要提供总额为一万二千元的奖
金。
计算在2000年元旦的5000元捐款后基金的余额。
解：
由题意：
62.已知贷款L经过N（偶数）次、每次K元还清，利率i。
如果将还贷款次数减少
一半，记每次的还款为K1，试比较K1与2K的大小。
解：
由题意：
63.已知贷款L经过N次、每次K元还清，利率i。
如果将每次的还款额增加一倍，
比较新的还款次数与N/2的大小。
解：
由题意：
即：
M
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