山东省高考数学试卷理科.doc

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2015年山东省高考数学试卷（理科）

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）

A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）

2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）

A．向左平移单位 B．向右平移单位

C．向左平移单位 D．向右平移单位

4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）

A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2

5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）

A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）

6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）

A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3

7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．2π

8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）

（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣

10．（5分）（2015•山东）设函数f（x）=，则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（　　）

A．[，1] B．[0，1] C．[，+∞） D．[1，+∞）

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分）

11．（5分）（2015•山东）观察下列各式：

C=40；

C+C=41；

C+C+C=42；

C+C+C+C=43；

…

照此规律，当n∈N*时，

C+C+C+…+C=　　　　　　．

12．（5分）（2015•山东）若“∀x∈[0，]，tanx≤m”是真命题，则实数m的最小值为　　　　　　．

13．（5分）（2015•山东）执行如图程序框图，输出的T的值为　　　　　　．

14．（5分）（2015•山东）已知函数f（x）=ax+b（a＞0，a≠1）的定义域和值域都是[﹣1，0]，则a+b=　　　　　　．

15．（5分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，双曲线C1：

﹣=1（a＞0，b＞0）的渐近线与抛物线C2：

x2=2py（p＞0）交于点O，A，B，若△OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为　　　　　　．

三、解答题

16．（12分）（2015•山东）设f（x）=sinxcosx﹣cos2（x+）．

（Ⅰ）求f（x）的单调区间；

（Ⅱ）在锐角△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若f（）=0，a=1，求△ABC面积的最大值．

17．（12分）（2015•山东）如图，在三棱台DEF﹣ABC中，AB=2DE，G，H分别为AC，BC的中点．

（Ⅰ）求证：

BD∥平面FGH；

（Ⅱ）若CF⊥平面ABC，AB⊥BC，CF=DE，∠BAC=45°，求平面FGH与平面ACFD所成的角（锐角）的大小．

18．（12分）（2015•山东）设数列{an}的前n项和为Sn，已知2Sn=3n+3．

（Ⅰ）求{an}的通项公式；

（Ⅱ）若数列{bn}，满足anbn=log3an，求{bn}的前n项和Tn．

19．（12分）（2015•山东）若n是一个三位正整数，且n的个位数字大于十位数字，十位数字大于百位数字，则称n为“三位递增数”（如137，359，567等）．在某次数学趣味活动中，每位参加者需从所有的“三位递增数”中随机抽取1个数，且只能抽取一次，得分规则如下：

若抽取的“三位递增数”的三个数字之积不能被5整除，参加者得0分，若能被5整除，但不能被10整除，得﹣1分，若能被10整除，得1分．

（Ⅰ）写出所有个位数字是5的“三位递增数”；

（Ⅱ）若甲参加活动，求甲得分X的分布列和数学期望EX．

20．（13分）（2015•山东）平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C：

+=1（a＞b＞0）的离心率为，左、右焦点分别是F1，F2，以F1为圆心以3为半径的圆与以F2为圆心以1为半径的圆相交，且交点在椭圆C上．

（Ⅰ）求椭圆C的方程；

（Ⅱ）设椭圆E：

+=1，P为椭圆C上任意一点，过点P的直线y=kx+m交椭圆E于A，B两点，射线PO交椭圆E于点Q．

（i）求||的值；

（ii）求△ABQ面积的最大值．

21．（14分）（2015•山东）设函数f（x）=ln（x+1）+a（x2﹣x），其中a∈R，

（Ⅰ）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；

（Ⅱ）若∀x＞0，f（x）≥0成立，求a的取值范围．

2015年山东省高考数学试卷（理科）

参考答案与试题解析

一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分）

1．（5分）（2015•山东）已知集合A={x|x2﹣4x+3＜0}，B={x|2＜x＜4}，则A∩B=（　　）

A．（1，3） B．（1，4） C．（2，3） D．（2，4）

【分析】求出集合A，然后求出两个集合的交集．

【解答】解：

集合A={x|x2﹣4x+3＜0}={x|1＜x＜3}，B={x|2＜x＜4}，

则A∩B={x|2＜x＜3}=（2，3）．

故选：

C．

【点评】本题考查集合的交集的求法，考查计算能力．

2．（5分）（2015•山东）若复数z满足=i，其中i为虚数单位，则z=（　　）

A．1﹣i B．1+i C．﹣1﹣i D．﹣1+i

【分析】直接利用复数的乘除运算法则化简求解即可．

【解答】解：

=i，则=i（1﹣i）=1+i，

可得z=1﹣i．

故选：

A．

【点评】本题考查复数的基本运算，基本知识的考查．

3．（5分）（2015•山东）要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象（　　）

A．向左平移单位 B．向右平移单位

C．向左平移单位 D．向右平移单位

【分析】直接利用三角函数的平移原则推出结果即可．

【解答】解：

因为函数y=sin（4x﹣）=sin[4（x﹣）]，

要得到函数y=sin（4x﹣）的图象，只需将函数y=sin4x的图象向右平移单位．

故选：

B．

【点评】本题考查三角函数的图象的平移，值域平移变换中x的系数是易错点．

4．（5分）（2015•山东）已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，则=（　　）

A．﹣a2 B．﹣a2 C．a2 D．a2

【分析】由已知可求，，根据=（）•=代入可求

【解答】解：

∵菱形ABCD的边长为a，∠ABC=60°，

∴=a2，=a×a×cos60°=，

则=（）•==

故选：

D

【点评】本题主要考查了平面向量数量积的定义的简单运算，属于基础试题

5．（5分）（2015•山东）不等式|x﹣1|﹣|x﹣5|＜2的解集是（　　）

A．（﹣∞，4） B．（﹣∞，1） C．（1，4） D．（1，5）

【分析】运用零点分区间，求出零点为1，5，讨论①当x＜1，②当1≤x≤5，③当x＞5，分别去掉绝对值，解不等式，最后求并集即可．

【解答】解：

①当x＜1，不等式即为﹣x+1+x﹣5＜2，即﹣4＜2成立，故x＜1；

②当1≤x≤5，不等式即为x﹣1+x﹣5＜2，得x＜4，故1≤x＜4；

③当x＞5，x﹣1﹣x+5＜2，即4＜2不成立，故x∈∅．

综上知解集为（﹣∞，4）．

故选A．

【点评】本题考查绝对值不等式的解法，主要考查运用零点分区间的方法，考查运算能力，属于中档题．

6．（5分）（2015•山东）已知x，y满足约束条件，若z=ax+y的最大值为4，则a=（　　）

A．3 B．2 C．﹣2 D．﹣3

【分析】作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，利用数形结合确定z的最大值．

【解答】解：

作出不等式组对应的平面区域如图：

（阴影部分）．

则A（2，0），B（1，1），

若z=ax+y过A时取得最大值为4，则2a=4，解得a=2，

此时，目标函数为z=2x+y，

即y=﹣2x+z，

平移直线y=﹣2x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为4，满足条件，

若z=ax+y过B时取得最大值为4，则a+1=4，解得a=3，

此时，目标函数为z=3x+y，

即y=﹣3x+z，

平移直线y=﹣3x+z，当直线经过A（2，0）时，截距最大，此时z最大为6，不满足条件，

故a=2，

故选：

B

【点评】本题主要考查线性规划的应用，结合目标函数的几何意义，利用数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法，确定目标函数的斜率关系是解决本题的关键．

7．（5分）（2015•山东）在梯形ABCD中，∠ABC=，AD∥BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为（　　）

A． B． C． D．2π

【分析】画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．

【解答】解：

由题意可知几何体的直观图如图：

旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，

几何体的体积为：

=．

故选：

C．

【点评】本题考查几何体的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力．画出几何体的直观图是解题的关键．

8．（5分）（2015•山东）已知某批零件的长度误差（单位：

毫米）服从正态分布N（0，32），从中随机抽取一件，其长度误差落在区间（3，6）内的概率为（　　）

（附：

若随机变量ξ服从正态分布N（μ，σ2），则P（μ﹣σ＜ξ＜μ+σ）=68.26%，P（μ﹣2σ＜ξ＜μ+2σ）=95.44%）

A．4.56% B．13.59% C．27.18% D．31.74%

【分析】由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，可得P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%），即可得出结论．

【解答】解：

由题意P（﹣3＜ξ＜3）=68.26%，P（﹣6＜ξ＜6）=95.44%，

所以P（3＜ξ＜6）=（95.44%﹣68.26%）=13.59%．

故选：

B．

【点评】本题考查正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，考查正态分布中两个量μ和σ的应用，考查曲线的对称性，属于基础题．

9．（5分）（2015•山东）一条光线从点（﹣2，﹣3）射出，经y轴反射后与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，则反射光线所在直线的斜率为（　　）

A．﹣或﹣ B．﹣或﹣ C．﹣或﹣ D．﹣或﹣

【分析】点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），可设反射光线所在直线的方程为：

y+3=k（x﹣2），利用直线与圆相切的性质即可得出．

【解答】解：

点A（﹣2，﹣3）关于y轴的对称点为A′（2，﹣3），

故可设反射光线所在直线的方程为：

y+3=k（x﹣2），化为kx﹣y﹣2k﹣3=0．

∵反射光线与圆（x+3）2+（y﹣2）2=1相切，

∴圆心（﹣3，2）到直线的