微积分之幂级数.docx
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微积分之幂级数
注意：
对于级数un，当un收敛时，Un绝对收敛
故原级数绝对收敛
§7.5幕级数
教学目的：
弄清幕级数的相关概念；掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域定义与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数
重难点：
掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数，以及常数项级数的和.
教学方法：
启发式讲授
教学过程：
是定义在区间I上的函数，则
一、函数项级数的概念
1.【定义】设u1（x）,u2（x）,,un（x）,
Un（X）5（X）U2（X）Un（X）
n1
称为定义在区间I上的（函数项）无穷级数.
2.收敛域
（1）收敛点XoI常数项级数Un（Xo）收敛；
n1
（2）发散点XoI――常数项级数Un（Xo）发散；
n1
（3）收敛域D函数项级数un（X）的所有收敛点形成的集合D；
n1
3•和函数S（x）――S（x）un（x）,xD.
n1
若函数项级数un（x）在收敛域内每一点都对应于S（x）的一个函数值，
n1
则称S（x）为函数项级数un（x）的和函数.
n1
n
4•余项「n（X）――g（X）S（x）Sn（X）,Sn（X）U^X）,XD.
k1
注：
①只有在收敛域D上,rn（x）才有意义；
②limrn（x）0,xD.
n
二、幕级数及其收敛半径和收敛域
1.【定义】形如an（xXo）n的函数项级数称为（XXo）的幕级数.（也
n0
称为一般幕级数），其中ao,a「a2丄.a.丄为常数，称为幕级数的系
数.当xo0时，anXn称为x的幕级数（也称为标准幕级数），其中
n0
常数an（n0,1,2丄）称为幕级数的系数.
结论：
对于级数an（XX0）n，作代换tXX0可以将一般幕级数化
n0
为标准幕级数antn，所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法.
n0
anxn的收敛域：
此级数的全体收敛点的集合.
n0
显然：
x0D（收敛域），即幕级数总在xx0点处收敛.
显然：
xn的收敛域D（1,1）,其发散域G（,1][1,）.
n0
且和函数S（x）xn—,|x|1•此结论可当公式使用•
n01X
2.级数的收敛域
上述分析显示级数anxn在一个以原点为中心，从R到R的区间内
n0
1
绝对收敛，区间（R,R）称为幕级数的收敛区间，R为收敛半径.
l
0，级数的收敛域为x0
若级数anxn仅在点x0收敛，则规定R
n0
若anXn对任意x都收敛，则R，级数的收敛域为（，）.
n0
当OR时，要讨论级数在xR处的敛散性才能确定收敛域.此
时收敛域可能是下列区间之一：
（R,R）,[R,R）,（R,R],[R,R].
|x|*0〔，有xD即级数anXn发散.
n0
证明：
（1）
X0
D
n
3nX0
收敛,
n0
M0
由
an
n厶
X0收
n
anX0
0（n
）
IanX0IM（M
n
0
|x||X0|
0
|a
n
nx
I|anx01
X
n
M
X
n
因
X
1,
X0
X0
X0
从而
M
X
n
收敛，
正项级数
anxIn收敛
n0
X0
n0
0的常数）
anXn收敛XD即对IXIIX0|,anXn收敛且绝对收敛
n0n0
由
（1）
⑵X0D,假若有X1D满足|xi||X01anx0收敛
n0
X0D矛盾•所以|x||x01,有anXn发散，即xD.
n0
注意:
（1）若x。
D,则（|X°|,|X0|）D（收敛域）,（x。
0）；
（2）若x°D,则（,|X0|）U（|X0|,）G（发散域）.
4.【定理7.13】若幕级数anxn系数满足条件
n0
nmn|an|
l（l为常数或
），则
（1）当0
l时，则
R一；
（2）当1
0时，则R
（3）当1
时，则R
11
0.
常用公式：
Rlim,
R——
1
卩—
nan1
lim
n
?
an
例如：
幕级数xn的收敛半径R1,x1时，级数发散，故其敛区
n0
与敛域均为（1,1）.
n
例1求幕级数
（1）n1—的收敛半径与收敛域•
n1n
1
解
（1）级数的通项为an
（1）n11
n
Rlim|an|lim丄」1.
1时，级数为
（1）n
收敛;
nlandnn
1
当x1时，级数为一发散•
n1n
故收敛区间（敛区）是1,1，收敛域为（1,1］（敛域）
nx
例2
（1）
求幕级数
—的收敛半径与收敛域.
n0
n!
解：
an
—R
lim
an
lim（n1）!
lim（n1）
n!
n
an1
nn!
n
故收敛区间和收敛域均是（
）.
（2）求幕级数
n!
xn的收敛半径•
o
解：
ann!
lim
an
an1
lim卫lim丄0•
n（n1）!
nn1
1）n
1xn1的收敛半径与收敛域•
提示：
Rlim
an
1R1，又|x
1
n
an1
练习：
求幕级数
n
例3
（1）求幕级数
0
1时级数发散•收敛域1,1.
n2n
（1）n1———的收敛半径与收敛域•（缺项级数）
示：
|gUn1
lim
（1）n3n1x2（n1）
n
|u
n
1n
n1
（
lim
3n
2亠
2c
x3〉
n
n
1
当3x2
1
x
寺时级数收敛；当
3x2
n
0
1）n13nx2n
；时级数发散•
1
■3
时,
原级数是
（1）n
n1
1
所以收敛半径R——，收敛区间（
注意：
缺项级数可以直接用比值法求收敛半径
（1）n12n1
（1）x一的收敛域•
（2）求幕级数
解：
lim
Un1
lim
Un
n
n1
2n1
2n1
x
2n1
2n1
2n1
x
2
1即x1时级数收敛，由由
1丄，收敛的交错级数•
n
1
，收敛域［13,9
lim心
n2n1
1时级数发散•
（-i）n—1（-i）n
当x1时，-收敛，当x1时，—收敛,
n=i2n—1n=12n—1
例4求幕级数
（2x1）n
n1n
的收敛半径与收敛域
所以收敛域为[1,1].
（中心不在原点的级数）
2x1,幕级数变形为
2
1訂的收敛半径为
A）
（A）5
（B）血
3
答案lim
an1
lim
bn
an
<5n
bn
（C）
（D）
lim
n
2
an1
b；1
、、.'、、八注意:
一般幕级数求收敛半径时作变量代换
提问：
（1）（02.3）设幕级数a“Xn与bnXn的收敛半径分别为
n1n1
n
（3）（92.3）
答令t（x
于是收敛半径
级数a2^~的收敛域为（0,4）.
n1n4
tn
2）n对于"1齐
由lim
n
an1
R4,则4（x
4时,原级数都为
n
三、幕级数以及和函数的运算性质
4n
lim
n
（n1）4n1
2）24,即0x4内收敛.
1
发散，所以收敛域为（0,4）.
1n
an
1.设anxn和bnxn的收敛半径分别为Ra和R.
n0n0
1）加减法：
anxnbnxn（anbn）xn,x&,&
n0n0n0
其中：
Rcmin{Ra,Rj.
2）乘法:
nnnn
anXbnXCnX（aQ）x,xRc,Rc.
n0n0n0n0ijn
n
其中：
Rcmin{Ra,Rj,Cnabk,n1,2,.
k0
n
anX
3）除法：
心CnXn,XRc,Rc.
浓n0
n0
其中：
n
Rc待定，而Cn由系列表达式anbkCnk，n1,2,确疋.
k0
此处，RaRb，但Rc1.
（R,R）内是连续
2.幕级数anXn的和函数S（x）在其收敛区间
n0
3.幕级数anxn的和函数S（x）在其收敛区间（R,R）内可积，且
n0
有逐项积分公式
4.幕级数anxn的和函数
n0
S（x）在其收敛区间上可微,
且在收敛区间上
S（x）anxnnanxn1,|x|RR.
n0n1
说明
公式
求导与积分前后两级数的收敛半径不变
，但收敛域有可能改变
1
x收敛域为
x
1
n01x
例5
n
求幕级数的和函数
S（x）,并求
（1）n
n0n1
n
0n1
解：
（1）Rlimlim
nan1n
n2
——1.
n1
当x1时，级数为
（1）n收
n1n1
敛；当x1时，级数为
n
1
—发散.
1n1
故原级数收敛域是
[1,1）.
⑵当0|x|1时,有[xS（x）]
xS（x）
由于
S（0）
1
xx1
0[tS（t）]dt0
001t
1且幕级数在其收敛域上连续
dt
ln（1
S（x）
ln（1x）,1
x
1,
0,或0
x1;
1代入和函数可得
x0.
（1）n
0n1
S
（1）
In2.
（2）求幕级数
nxn11
n1
2x3x2L
nnx
L的和函数S（x），
并求级数
n
斗及级数
12
2n的和.
13n
lim
n
an1
lim口nn
1，所以
R1.
当x1时，n发散，当x
n1
所以级数敛域为（1,1）.
1时,
1）n
n发散.
2）设S（x）
nnx
1
1
x
1,1），则
x
0S（t）dt
ntn
1
1dt
x
cx（1J）
S（x）
3）令
dx
d-0S（t）dtdx0
1,则有
2
（产）
1x
1、n1n（=）
1
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