微积分之幂级数.docx

1、微积分之幂级数注意：对于级数 un，当 un收敛时， Un绝对收敛故原级数绝对收敛 7.5 幕级数教学目的：弄清幕级数的相关概念；掌握幕级数收敛半径、收敛区间、 收敛域定义与求法；掌握幕级数的性质，能灵活正确运用性质 求幕级数的和函数重难点：掌握幕级数收敛半径、收敛区间、收敛域概念与求法；掌握幕 级数的性质，能灵活正确运用性质求幕级数的和函数，以及常 数项级数的和.教学方法：启发式讲授教学过程：是定义在区间I上的函数，则一、函数项级数的概念1 .【定义】设 u1 (x), u2 (x), , un (x),Un(X) 5(X)U2(X) Un(X)n 1称为定义在区间I上的(函数项)无穷级数.

2、2.收敛域(1) 收敛点Xo I 常数项级数 Un(Xo)收敛；n 1(2) 发散点Xo I 常数项级数 Un(Xo)发散；n 1(3) 收敛域D 函数项级数 un(X)的所有收敛点形成的集合 D ；n 13和函数 S(x) S(x) un(x) , x D.n 1若函数项级数 un(x)在收敛域内每一点都对应于 S(x)的一个函数值，n 1则称S(x)为函数项级数 un(x)的和函数.n 1n4余项n(X) g(X)S(x) Sn(X), Sn(X) UX), X D .k 1注：只有在收敛域 D 上, rn(x)才有意义； limrn(x) 0, x D.n二、幕级数及其收敛半径和收敛域1

3、.【定义】形如 an(x Xo)n的函数项级数称为(X Xo)的幕级数.(也n 0称为一般幕级数)，其中ao,aa2丄.a.丄 为常数，称为幕级数的系数.当xo 0时， anXn称为x的幕级数(也称为 标准幕级数)，其中n 0常数an ( n 0,1,2丄)称为幕级数的系数.结论：对于级数 an(X X0)n，作代换t X X0可以将一般幕级数化n 0为标准幕级数 antn，所以我们只研究标准幕级数敛散性的判别方法 .n 0anxn的收敛域：此级数的全体收敛点的 集合.n 0显然：x0 D (收敛域)，即幕级数总在 x x0点处收敛.显然： xn的收敛域D ( 1,1),其发散域G ( , 1

4、 1,).n 0且和函数S(x) xn , |x| 1此结论可当公式使用n 0 1 X2.级数的收敛域上述分析显示级数 anxn在一个以原点为中心，从 R到R的区间内n 01绝对收敛，区间(R,R)称为幕级数的 收敛区间，R 为收敛半径.l0，级数的收敛域为x 0若级数 anxn仅在点x 0收敛，则规定Rn 0若 anXn对任意x都收敛，则R ，级数的收敛域为（，）.n 0当OR 时，要讨论级数在x R处的敛散性才能确定收敛域 .此时收敛域可能是下列区间之一： （R, R）, R, R）, （ R, R, R, R.|x| *0，有x D即级数 anXn发散.n 0证明：(1)X0Dn3nX0

5、收敛,n 0M 0由ann 厶X0 收nanX00(n)IanX0 I M (Mn0|x| |X0|0|annxI | anx01XnMXn,因X1,X0X0X0从而MXn收敛，正项级数anxIn收敛n 0X0n 00的常数）anXn收敛 X D即对I X I I X0 | , anXn收敛且绝对收敛n 0 n 0由(1) X0 D ,假若有X1 D满足|xi | | X01 anx0收敛n 0X0 D矛盾所以|x| |x01,有 anXn发散，即x D .n 0注意:(1)若 x。 D,则(|X|,|X0|) D (收敛域),(x。 0)；(2) 若 x D,则(,|X0|)U(|X0|,

6、) G(发散域).4.【定理7.13】若幕级数 anxn系数满足条件n 0nm n | an |l （ l为常数或），则(1)当 0l 时，则R 一 ；(2)当 10时，则R（3）当 1时，则R1 10.常用公式：R lim ,R 1卩 n an 1limn? an例如：幕级数 xn的收敛半径R 1, x 1时，级数发散，故其敛区n 0与敛域均为（1,1）.n例1求幕级数 （1）n 1 的收敛半径与收敛域n 1 n1解(1)级数的通项为 an ( 1)n 11nR lim|an| lim 丄1.1时，级数为(1)n收敛;n land n n1当x 1时，级数为一发散n 1 n故收敛区间（敛区）

7、是 1,1，收敛域为（1,1（敛域）n x例 2（ 1）求幕级数的收敛半径与收敛域.n 0n!解：anRlimanlim (n 1)! lim(n 1)n!nan 1n n! n故 收敛区间和收敛域均是 ().(2)求幕级数n!xn的收敛半径o解：an n!limanan 1lim 卫 lim 丄 0 n (n 1)! n n 11)n1 xn 1的收敛半径与收敛域提示：R liman1 R 1，又 |x1nan 1练习：求幕级数n例3 (1)求幕级数01时级数发散收敛域 1,1 .n 2n(1)n 1的收敛半径与收敛域(缺项级数)示：|g Un 1lim(1)n3n1x2(n 1)n|un1

8、 nn 1(lim3n2 亠2 cx 3nn1当3x21x寺时级数收敛；当3x2n01)n 13nx2n；时级数发散13时,原级数是 (1)nn 11所以收敛半径R ，收敛区间(注意：缺项级数可以直接用比值法求收敛半径(1)n 1 2n 1(1) x一的收敛域(2)求幕级数解：limUn 1limUnnn 12n 12n 1x2n 12n 12n 1x21即x 1时级数收敛，由由1丄，收敛的交错级数n1，收敛域 13, 9lim心n 2n 11时级数发散(-i)n 1 (-i)n当x 1时， - 收敛，当x 1时， 收敛,n=i 2n 1 n=1 2n1例4求幕级数(2x 1)nn 1 n的收

9、敛半径与收敛域所以收敛域为 1,1.（中心不在原点的级数 ）2x 1,幕级数变形为21訂的收敛半径为A)(A) 5(B)血3答案liman 1, limbnan5 nbn(C)(D)limn2an 1b；1、.、八 注意:一般幕级数求收敛半径时作变量代换提问：（1） （02.3）设幕级数 a“Xn与 bnXn的收敛半径分别为n 1 n 1n(3) (92.3)答令t (x于是收敛半径级数 a 2的收敛域为(0,4).n 1 n 4 tn2)n对于1齐,由 limnan 1R 4,则 4 (x4时,原级数都为n三、幕级数以及和函数的运算性质4nlimn(n 1) 4n 12)2 4,即0 x 4

10、内收敛.1发散，所以收敛域为(0,4).1 nan1.设 anxn和 bnxn的收敛半径分别为 Ra和R.n 0 n 01) 加减法： anxn bnxn (an bn )xn , x &,&n 0 n 0 n 0其中：Rc min Ra, Rj .2) 乘法:n n n nanX bnX CnX ( aQ )x , x Rc,Rc .n0 n0 n0 n0ijnn其中：Rc min Ra, Rj , Cn ab k , n 1,2,.k 0nanX3)除法：心 CnXn,X Rc,Rc .浓n0n 0其中：nRc待定，而Cn由系列表达式an bkCn k，n 1,2,确疋.k 0此处，Ra

11、Rb ，但 Rc 1 .(R, R)内是连续2.幕级数 anXn的和函数S(x)在其收敛区间n 03.幕级数 anxn的和函数S(x)在其收敛区间(R, R)内可积，且n 0有逐项积分公式4.幕级数 anxn的和函数n 0S(x)在其收敛区间上可微,且在收敛区间上S (x) anxn nanxn 1 , | x | R R .n 0 n 1说明公式求导与积分前后两级数的收敛半径不变，但收敛域有可能改变1x 收敛域为x1n 0 1 x例5n求幕级数 的和函数S(x),并求(1)nn 0 n 1n0 n 1解：(1) R lim limn an 1 nn 2 1.n 1当x 1时，级数为(1)n

12、收n 1 n 1敛；当x 1时，级数为n1发散.1 n 1故原级数收敛域是1,1).当 0 |x| 1 时,有xS(x)xS(x)由于S(0)1x x 10tS(t)dt 00 01 t1且幕级数在其收敛域上连续dtln(1S(x)ln(1 x), 1x1,0,或0x 1;1代入和函数可得x 0.(1)n0 n 1S( 1)In 2.(2)求幕级数nxn 1 1n 12x 3x2 Ln nxL的和函数S(x)，并求级数n斗及级数1 22n的和.1 3nlimnan 1lim 口 n n1，所以R 1.当x 1时， n发散，当xn 1所以级数敛域为(1,1).1时,1)nn发散.2)设 S(x)n nx11,x1,1)，则x0 S(t)dtntn11dtxcx (1J)S(x)3)令d xd- 0 S(t)dt dx 01,则有2(产)1 x1、n 1 n(=)1