基本初等函数知识点复习高考题汇编高三复习.doc

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2015年人教版数学必修一第二章复习资料

姓　　名：

院、系：

　数学学院

专　　业:

数学与应用数学

2015年10月5日

基本初等函数

一、一次函数

一次

函数

，

符号

图象

性质

随的增大而增大

随的增大而减小

二、二次函数

（1）二次函数解析式的三种形式

①一般式：

②顶点式：

③两根式：

（2）求二次函数解析式的方法

①已知三个点坐标时，宜用一般式．

②已知抛物线的顶点坐标或与对称轴有关或与最大（小）值有关时，常使用顶点式．

③若已知抛物线与轴有两个交点，且横线坐标已知时，选用两根式求更方便．

（3）二次函数图象的性质

图像

定义域

对称轴

顶点坐标

值域

单调区间

递减

递增

递增

递减

①.二次函数的图象是一条抛物线，对称轴方程为顶点坐标是

②当时，抛物线开口向上，函数在上递减，在上递增，当时，；当时，抛物线开口向下，函数在上递增，在上递减，当时，．

一、指数与指数幂的运算

（一）根式的概念

1、如果，且，那么叫做的次方根．当是奇数时，的次方根用符号表示；当是偶数时，正数的正的次方根用符号表示，负的次方根用符号表示；0的次方根是0；负数没有次方根．

2、式子叫做根式，这里叫做根指数，叫做被开方数．当为奇数时，为任意实数；当为偶数时，．

3、根式的性质：

；当为奇数时，；当为偶数时，．

（二）分数指数幂的概念

1、正数的正分数指数幂的意义是：

且．0的正分数指数幂等于0．

2、正数的负分数指数幂的意义是：

且．0的负分数指数幂没有意义．

注意口诀：

底数取倒数，指数取相反数．

3、a0=1（a¹0）a-p=1/ap（a¹0；pÎN*）

4、指数幂的运算性质

5、0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂无意义。

二、指数函数的概念

一般地，函数叫做指数函数，其中x是自变量，函数的定义域为R．

注意：

指数函数的定义是一个形式定义；

注意指数函数的底数的取值范围不能是负数、零和1．

三、指数函数的图象和性质

函数名称

指数函数

定义

0

1

函数且叫做指数函数

图象

0

1

定义域

值域

（0,+∞）

过定点

图象过定点（0,1），即当x=0时，y=1．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

y＞1（x＞0）,

y=1（x=0）,

0＜y＜1（x＜0）

y＞1（x＜0）,

y=1（x=0）,

0＜y＜1（x＞0）

变化对

图象影响

在第一象限内，越大图象越高，越靠近y轴；

在第二象限内，越大图象越低，越靠近x轴．

在第一象限内，越小图象越高，越靠近y轴；

在第二象限内，越小图象越低，越靠近x轴．

注意：

利用函数的单调性，结合图象还可以看出：

（1）在[a，b]上，值域是或

（2）若，则；取遍所有正数当且仅当

（3）对于指数函数，总有

（4）当时，若，则

四、底数的平移

对于任何一个有意义的指数函数：

在指数上加上一个数，图像会向左平移；减去一个数，图像会向右平移。

在f（X）后加上一个数，图像会向上平移；减去一个数，图像会向下平移。

即“上加下减，左加右减”

五、幂的大小比较

常用方法

（1）比差（商）法：

（2）函数单调性法；

（3）中间值法：

要比较A与B的大小，先找一个中间值C，再比较A与C、B与C的大小，由不等式的传递性得到A与B之间的大小。

注意：

（1）对于底数相同，指数不同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数的单调性来判断。

例如：

y1=34,y2=35

（2）对于底数不同，指数相同的两个幂的大小比较，可以利用指数函数图像的变化规律来判断。

例如：

y1=（1/2）4,y2=34,

（3）对于底数不同，且指数也不同的幂的大小比较，则可以利用中间值来比较

　①对于三个（或三个以上）的数的大小比较，则应该先根据值的大小（特别是与0、1的大小）进行分组，再比较各组数的大小即可。

②在比较两个幂的大小时，如果能充分利用“1”来搭“桥”（即比较它们与“1”的大小），就可以快速的得到答案。

由指数函数的图像和性质可知“同大异小”。

即当底数a和1与指数x与0之间的不等号同向时，ax大于1，异向时ax小于1.

对数函数及其性质

一、对数与对数的运算

（一）对数

1．对数的概念：

一般地，如果，那么数叫做以为底的对数，记作：

（—底数，—真数，—对数式）

说明：

①注意底数的限制，且；

②；

③注意对数的书写格式．

两个重要对数：

①常用对数：

以10为底的对数；

②自然对数：

以无理数为底的对数的对数．

指数式与对数式的互化

幂值真数

＝N＝b

底数

指数对数

（二）对数的运算性质

如果，且，，，那么：

①·＋；－；

．④

⑤⑥

⑦loga1=0⑧logaa=1⑨alogaN=N⑩logaab=b

注意：

换底公式

（，且；，且；）．

推论（利用换底公式）

①；②．

二、对数函数

1、对数函数的概念：

函数，且叫做对数函数，其中是自变量，函数的定义域是（0，+∞）．

注意：

①对数函数的定义与指数函数类似，都是形式定义，注意辨别。

如：

，都不是对数函数，而只能称其为对数型函数．

②对数函数对底数的限制：

，且．

三、对数函数的图像和性质：

函数名称

对数函数

定义

函数且叫做对数函数

图象

0

1

0

1

定义域

值域

过定点

图象过定点，即当时，．

奇偶性

非奇非偶

单调性

在上是增函数

在上是减函数

函数值的

变化情况

变化对图象影响

在第一象限内，越大图象越靠低；在第四象限内，越大图象越靠高．

在第一象限内，越大，图象越靠近x轴

在第四象限内，越大，图象越靠近y轴

在第一象限内，越小，图象越靠近x轴

在第四象限内，越小，图象越靠近y轴

四、对数的平移、大小比较与指数函数类似

反函数

一、反函数定义

设函数的定义域为，值域为，从式子中解出，得式子．如果对于在中的任何一个值，通过式子，在中都有唯一确定的值和它对应，那么式子表示是的函数，函数叫做函数的反函数，记作，习惯上改写成．

二、反函数的求法

①确定反函数的定义域，即原函数的值域；

②从原函数式中反解出；

③将改写成，并注明反函数的定义域．

三、反函数的性质

①原函数与反函数的图象关于直线对称．

②函数的定义域、值域分别是其反函数的值域、定义域．

③若在原函数的图象上，则在反函数的图象上．

④一般地，函数要有反函数则它必须为单调函数．

幂函数及其性质

一、幂函数的定义

一般地，函数叫做幂函数，其中为自变量，是常数．

二、幂函数的图象

三、幂函数的性质

1、图象分布：

幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．

①幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限（图象关于轴对称）；

②幂函数是奇函数时，图象分布在第一、三象限（图象关于原点对称）；

③幂函数是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限．

2、过定点：

所有的幂函数在都有定义，并且图象都通过点．

3、单调性：

①如果，则幂函数的图象过原点，并且在上为增函数．

②如果，则幂函数的图象在上为减函数，在第一象限内，图象无限接近轴与轴．

4、奇偶性：

⑴当为奇数时，幂函数为奇函数，

⑵当为偶数时，幂函数为偶函数．

⑶当（其中互质，和），

①若为奇数为奇数时，则是奇函数，

②若为奇数为偶数时，则是偶函数，

③若为偶数为奇数时，则是非奇非偶函数．

5、图象特征：

幂函数，

⑴当时，①若，其图象在直线下方，

②若，其图象在直线上方，

⑵当时，①若，其图象在直线上方，

②若，其图象在直线下方．

习题

一、选择题

．（2012年高考（安徽文）） （　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（广东理））（函数）下列函数中,在区间上为增函数的是 （　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（重庆文））设函数集合则为 （　　）

A． B．（0,1） C．（-1,1） D．

．（2012年高考（天津文））下列函数中,既是偶函数,又在区间内是增函数的为（　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（四川文））函数的图象可能是

．（2012年高考（山东文））函数的定义域为 （　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（广东文））（函数）下列函数为偶函数的是 （　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（安徽文））设集合,集合是函数的定义域;则 （　　）

A． B． C． D．

．（2012年高考（四川理））函数的图象可能是

．（2012年高考（江西理））下列函数中,与函数y=定义域相同的函数为 （　　）

A．y= B．y= C．y=xex D．

二、填空题

．（2012年高考（上海文））方程的解是_________.

．（2012年高考（陕西文））设函数发,则=_____

．（2012年高考（北京文））已知,.若或,则的取值范围是________.

．（2012年高考（北京文））已知函数,若,则_________.

．（2012年高考（江苏））函数的定义域为____.

基本初等函数综合复习

题型一　幂函数的定义及应用

例1.已知y＝（m2＋2m－2）·＋（2n－3）是幂函数，求m、n的值．

探究提高　

（1）判断一个函数是否为幂函数，只需判断该函数的解析式是否满足：

①指数为常数；②底数为自变量；③幂系数为1.

（2）若一个函数为幂函数，则该函数解析式也必具有以上的三个特征．

已知f（x）＝（m2＋2m），m为何值时，f（x）是：

（1）正比例函数；

（2）反比例函数；（3）二次函数；（4）幂函数．

2.【江西省2014届高三新课程适应性考试文科数学】由幂函数的图像过点,则这个幂函数的定义域是（）

A．B．C．D．

题型二　指数式与根式,对数式的化简,求值问题

例2.【2014届新余一中宜春中学高三年级联考数学（文）】已知函数，则（　）

A． B． C． D．

变式训练:

1.【安徽省池州一中2014届高三第一次月考数学（文）】求值：

         .

2.【江西师大附中高三年级2013-2014开学考试】已知函数，则.

题型三基本初等函数的单调性问题

例3.【安徽省示范高中2014届高三上学期第一次联考数学（文）】已知函数，（且）是上的减函数，则的取值范围是（）

A．B．C．D．

变式训练1.【宁夏银川一中2014届高三年级第一次月考文科】已知函数且则下列结论正确的是（）

A． B．

C． D．

2.【广东省珠海市2014届高三9月摸底考试数学（文）】下列函数中，既是偶函数又在区间上单调递增的