山东高考理科数学试题及详细解析.doc
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2014年全国统一高考（山东）理科真题及详解
一．选择题：
本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，选择符合题目要求的选项。
1.已知是虚数单位，若与互为共轭复数，则
（A）（B）（C）（D）
答案：
D
解析：
与互为共轭复数，
2.设集合则
（A）[0,2]（B）（1,3）（C）[1,3）（D）（1,4）
答案：
C
解析：
3.函数的定义域为
（A）（B）（C）（D）
答案：
C
解析：
或
或。
4.用反证法证明命题“设则方程至少有一个实根”时要做的假设是
（A）方程没有实根（B）方程至多有一个实根
（C）方程至多有两个实根（D）方程恰好有两个实根
5.已知实数满足，则下列关系式恒成立的是
（A）（B）（C）（D）
答案：
D
解析：
，排除A,B，对于C，是周期函数，排除C。
6.直线与曲线在第一象限内围成的封闭图形的面积为
（A）（B）（C）2（D）4
答案：
D
解析：
，
第一象限
7.为了研究某药厂的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验，所有志愿者的舒张压数据（单位：
）的分组区间为[12,13）,[13,14）,[14,15）,[15,16）,[16,17],将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第二组，……，第五组，右图是根据试验数据制成的频率分布直方图，已知第一组与第二组共有20人，第三组中没有疗效的有6人，则第三组中有疗效的人数为
（A）（B）（C）（D）
答案：
C
解析：
第一组与第二组频率之和为0.24+0.16=0.4
8.已知函数,.若方程有两个不相等的实根，则实数k的取值范围是
（A）（B）（C）（D）
答案：
B
解析：
画出的图象最低点是，过原点和时斜率最小为，斜率最大时的斜率与的斜率一致。
9.已知满足的约束条件当目标函数在该约束条件下取得最小值时，的最小值为
（A）（B）（C）（D）
答案：
B
解析：
求得交点为，则，即圆心到直线的距离的平方。
10.已知,椭圆的方程为，双曲线的方程为，与的离心率之积为，则的渐近线方程为
（A）（B）（C）（D）
答案：
A
解析：
二．填空题：
本大题共5小题，每小题5分，共25分，答案须填在题中横线上。
11.执行下面的程序框图，若输入的的值为1，
则输出的的值为。
答案：
3
解析：
根据判断条件，得，
输入
第一次判断后循环，
第二次判断后循环，
第三次判断后循环，
第四次判断不满足条件，退出循环，输出
12.在中，已知，当时，的面积为。
答案：
解析：
由条件可知，
当，
13.三棱锥中，分别为的中点，记三棱锥的体积为，的体积为，则。
答案：
解析：
分别过向平面做高，由为的中点得，
由为的中点得，所以
14.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为。
答案：
2
解析：
将展开，得到，令.
由，得，所以.
15.已知函数，对函数，定义关于的“对称函数”为函数，满足：
对任意，两个点关于点对称，若是关于的“对称函数”，且恒成立，则实数的取值范围是。
答案：
解析：
根据图像分析得，当与在第二象限相切时，
，由恒成立得.
三．解答题：
本大题共6小题，共75分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
16.（本小题满分12分）
已知向量，函数，且的图像过
点和点.
（I）求的值；
（II）将的图像向左平移个单位后得到函数的图像，若图像上各最高点到点的距离的最小值为1，求的单调递增区间.
解：
（Ⅰ）已知，
过点
解得
（Ⅱ）
左移后得到
设的对称轴为，解得
，解得
的单调增区间为
17.（本小题满分12分）
如图，在四棱柱中，底面是等腰梯形，，是线段的中点.
（I）求证：
；
（II）若垂直于平面且，求平面和平面所成的角（锐角）的余弦值.
解：
（Ⅰ）连接
为四棱柱，
又为的中点，
为平行四边形
又
（Ⅱ）方法一：
作,连接
则即为所求二面角
在中，
在中，,
方法二：
作于点
以为原点，为轴，为轴，为轴建立空间坐标系，
设平面的法向量为
显然平面的法向量为
显然二面角为锐角，
所以平面和平面所成角的余弦值为
18.（本小题满分12分）
乒乓球台面被球网分成甲、乙两部分.如图，甲上有两个不相交的区域，乙被划分为两个不相交的区域.某次测试要求队员接到落点在甲上的来球后向乙回球.规定：
回球一次，落点在上的概率为，在上的概率为.假设共有两次来球且落在上各一次，小明的两次回球互不影响.求：
（I）小明两次回球的落点中恰有一次的落点在乙上的概率；
（II）两次回球结束后，小明得分之和的分布列与数学期望.
解：
（I）设恰有一次的落点在乙上这一事件为
（II）
0
1
2
3
4
6
19.（本小题满分12分）
已知等差数列的公差为2，前项和为，且，，成等比数列。
（I）求数列的通项公式；
（II）令=求数列的前项和。
解：
（I）
解得
（II）
20.（本小题满分13分）
设函数（为常数，是自然对数的底数）
（I）当时，求函数的单调区间；
（II）若函数在内存在两个极值点，求k的取值范围。
21.（本小题满分14分）
已知抛物线的焦点为，为上异于原点的任意一点，过点的直线交于另一点，交轴的正半轴于点，且有|，当点的横坐标为3时，为正三角形。
（I）求的方程；
（II）若直线，且和有且只有一个公共点，
（i）证明直线过定点，并求出定点坐标；
（ii）的面积是否存在最小值？
若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。
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