高数上册期末复习要点Word文档下载推荐.docx

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极坐标、求做功、求面积、求体积、求弧长

第七章：

向量问题不会有很难

1、方向余弦2、向量积3、空间直线（两直线的夹角、线面夹角、求直线方程）3、空间平面4、空间旋转面（柱面）

高数解题技巧。

（高等数学、考研数学通用）

高数解题的四种思维定势　

●第一句话：

在题设条件中给出一个函数f（x）二阶和二阶以上可导，“不管三七二十一”，把f（x）在指定点展成泰勒公式再说。

●第二句话：

在题设条件或欲证结论中有定积分表达式时，则“不管三七二十一”先用积分中值定理对该积分式处理一下再说。

●第三句话：

在题设条件中函数f（x）在[a,b]上连续，在（a,b）内可导，且f（a）=0或f（b）=0或f（a）＝f（b）=0，则“不管三七二十一”先用拉格朗日中值定理处理一下再说。

●第四句话：

对定限或变限积分，若被积函数或其主要部分为复合函数，则“不管三七二十一”先做变量替换使之成为简单形式f（u）再说。

线性代数解题的八种思维定势

题设条件与代数余子式Aij或A*有关，则立即联想到用行列式按行（列）展开定理以及AA*=A*A=|A|E。

若涉及到A、B是否可交换，即AB＝BA，则立即联想到用逆矩阵的定义去分析。

若题设n阶方阵A满足f（A）=0，要证aA+bE可逆，则先分解因子aA+bE再说。

若要证明一组向量α1,α2,…,αS线性无关，先考虑用定义再说。

●第五句话：

若已知AB＝0，则将B的每列作为Ax=0的解来处理

●第六句话：

若由题设条件要求确定参数的取值，联想到是否有某行列式为零再说。

●第七句话：

若已知A的特征向量ξ0，则先用定义Aξ0＝λ0ξ0处理一下再说。

●第八句话：

若要证明抽象n阶实对称矩阵A为正定矩阵，则用定义处理一下再说。

概率解题的九种思维定势

如果要求的是若干事件中“至少”有一个发生的概率，则马上联想到概率加法公式；

当事件组相互独立时，用对立事件的概率公式

若给出的试验可分解成（0－1）的n重独立重复试验，则马上联想到Bernoulli试验，及其概率计算公式

若某事件是伴随着一个完备事件组的发生而发生，则马上联想到该事件的发生概率是用全概率公式计算。

关键：

寻找完备事件组

若题设中给出随机变量X~N则马上联想到标准化~N（0,1）来处理有关问题。

求二维随机变量（X，Y）的边缘分布密度的问题，应该马上联想到先画出使联合分布密度的区域，然后定出X的变化区间，再在该区间内画一条//y轴的直线，先与区域边界相交的为y的下限，后者为上限，而的求法类似。

欲求二维随机变量（X，Y）满足条件Y≥g（X）或（Y≤g（X））的概率，应该马上联想到二重积分的计算，其积分域D是由联合密度的平面区域及满足Y≥g（X）或（Y≤g（X））的区域的公共部分。

涉及n次试验某事件发生的次数X的数字特征的问题，马上要联想到对X作（0－1）分解。

即令

凡求解各概率分布已知的若干个独立随机变量组成的系统满足某种关系的概率（或已知概率求随机变量个数）的问题，马上联想到用中心极限定理处理。

●第九句话：

若为总体X的一组简单随机样本，则凡是涉及到统计量的分布问题，一般联想到用卡方分布，t分布和F分布的定义进行讨论

线代期末复习要点

第一部分：

基本要求（计算方面）

四阶行列式的计算；

N阶特殊行列式的计算（如有行和、列和相等）；

矩阵的运算（包括加、减、数乘、乘法、转置、逆等的混合运算）；

求矩阵的秩、逆（两种方法）；

解矩阵方程；

含参数的线性方程组解的情况的讨论；

齐次、非齐次线性方程组的求解（包括唯一、无穷多解）；

讨论一个向量能否用和向量组线性表示；

讨论或证明向量组的相关性；

求向量组的极大无关组，并将多余向量用极大无关组线性表示；

将无关组正交化、单位化；

求方阵的特征值和特征向量；

讨论方阵能否对角化，如能，要能写出相似变换的矩阵及对角阵；

通过正交相似变换（正交矩阵）将对称矩阵对角化；

写出二次型的矩阵，并将二次型标准化，写出变换矩阵；

判定二次型或对称矩阵的正定性。

第二部分：

基本知识

一、行列式

1．行列式的定义

用n^2个元素aij组成的记号称为n阶行列式。

（1）它表示所有可能的取自不同行不同列的n个元素乘积的代数和；

（2）展开式共有n!

项，其中符号正负各半；

2．行列式的计算

一阶|α|=α行列式，二、三阶行列式有对角线法则；

N阶（n>

=3）行列式的计算：

降阶法

　定理：

n阶行列式的值等于它的任意一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积的和。

　方法：

选取比较简单的一行（列），保保留一个非零元素，其余元素化为0，利用定理展开降阶。

特殊情况

上、下三角形行列式、对角形行列式的值等于主对角线上元素的乘积；

（2）行列式值为0的几种情况：

　Ⅰ　行列式某行（列）元素全为0；

Ⅱ　行列式某行（列）的对应元素相同；

Ⅲ　行列式某行（列）的元素对应成比例；

Ⅳ　奇数阶的反对称行列式。

二．矩阵

　1．矩阵的基本概念（表示符号、一些特殊矩阵――如单位矩阵、对角、对称矩阵等）；

　2．矩阵的运算

（1）加减、数乘、乘法运算的条件、结果；

（2）关于乘法的几个结论：

①矩阵乘法一般不满足交换律（若AB＝BA，称A、B是可交换矩阵）；

②矩阵乘法一般不满足消去律、零因式不存在；

③若A、B为同阶方阵，则|AB|=|A|*|B|；

④|kA|=k^n|A|

　3．矩阵的秩

（1）定义　非零子式的最大阶数称为矩阵的秩；

（2）秩的求法　　一般不用定义求，而用下面结论：

矩阵的初等变换不改变矩阵的秩；

阶梯形矩阵的秩等于非零行的个数（每行的第一个非零元所在列，从此元开始往下全为0的矩阵称为行阶梯阵）。

求秩：

利用初等变换将矩阵化为阶梯阵得秩。

　4．逆矩阵

（1）定义：

A、B为n阶方阵，若AB＝BA＝I，称A可逆，B是A的逆矩阵（满足半边也成立）；

（2）性质：

　（AB）^-1=（B^-1）*（A^-1），（A'

）^-1=（A^-1）'

；

（AB的逆矩阵，你懂的）（注意顺序）

　（3）可逆的条件：

　①　|A|≠0；

　②r（A）=n;

③A->

I;

（4）逆的求解

伴随矩阵法　A^-1=（1/|A|）A*；

（A*A的伴随矩阵~）

②初等变换法（A:

I）->

（施行初等变换）（I:

A^-1）　

5．用逆矩阵求解矩阵方程：

AX=B，则X=（A^-1）B；

XB=A，则X=B（A^-1）；

AXB=C，则X=（A^-1）C（B^-1）

三、线性方程组

1．线性方程组解的判定

定理：

（1）r（A,b）≠r（A）无解；

（2）r（A,b）=r（A）=n有唯一解；

（3）r（A,b）=r（A）<

n有无穷多组解；

特别地：

对齐次线性方程组AX=0

（1）r（A）=n只有零解；

（2）r（A）<

n有非零解；

再特别，若为方阵，

（1）|A|≠0只有零解

（2）|A|=0有非零解

2．齐次线性方程组

（1）解的情况：

r（A）=n，（或系数行列式D≠0）只有零解；

r（A）<

n，（或系数行列式D＝0）有无穷多组非零解。

（2）解的结构：

　X=c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）求解的方法和步骤：

　①将增广矩阵通过行初等变换化为最简阶梯阵；

②写出对应同解方程组；

③移项，利用自由未知数表示所有未知数；

④表示出基础解系；

⑤写出通解。

3．非齐次线性方程组

利用判定定理。

　X=u+c1α1+c2α2+…+Cn-rαn-r。

（3）无穷多组解的求解方法和步骤：

　与齐次线性方程组相同。

（4）唯一解的解法：

　有克莱姆法则、逆矩阵法、消元法（初等变换法）。

四、向量组

1．N维向量的定义

注：

向量实际上就是特殊的矩阵（行矩阵和列矩阵）。

2．向量的运算：

（1）加减、数乘运算（与矩阵运算相同）；

（2）向量内积　α'

β=a1b1+a2b2+…+anbn；

（3）向量长度　

|α|=√α'

α=√（a1^2+a2^2+…+an^2）（√根号）

（4）向量单位化　（1/|α|）α；

（5）向量组的正交化（施密特方法）

　设α1，α2，…，αn线性无关，则

　β1=α1，

　β2=α2-（α2’β1/β1’β）*β1，

　β3=α3-（α3’β1/β1’β1）*β1-（α3’β2/β2’β2）*β2，………。

3．线性组合

（1）定义　若β=k1α1+k2α2+…+knαn，则称β是向量组α1，α2，…，αn的一个线性组合，或称β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。

（2）判别方法　将向量组合成矩阵，记

　A＝（α1，α2，…，αn），B=（α1，α2，…，αn,β）

若　r（A）=r（B），则β可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示；

若　r（A）≠r（B），则β不可以用向量组α1，α2，…，αn的一个线性表示。

（3）求线性表示表达式的方法：

　将矩阵B施行行初等变换化为最简阶梯阵，则最后一列元素就是表示的系数。

4．向量组的线性相关性

（1）线性相关与线性无关的定义

　设k1α1+k2α2+…+knαn=0，

　若k1,k2,…，kn不全为0，称线性相关；

　若k1,k2,…，kn全为0，称线性无关。

（2）判别方法：

①r（α1，α2，…，αn）<

n，线性相关；

r（α1，α2，…，αn）=n，线性无关。

②若有n个n维向量，可用行列式判别：

　n阶行列式aij＝0，线性相关（≠0无关）（行列式太不好打了）

5．极大无关组与向量组的秩

（1）定义　极大无关组所含向量个数称为向量组的秩

（2）求法　设A＝（α1，α2，…，αn），将A化为阶梯阵，则A的秩即为向量组的秩，而每行的第一个非零元所在列的向量就构成了极大无关组。

五、矩阵的特征值和特征向量

1．定义　对方阵A，若存在非零向量X和数λ使AX＝λX，则称λ是矩阵A的特征值，向量X称为矩阵A的对应于特征值λ的特征向量。

2．特征值和特征向量的求解：

　求出特征方程|λI-A|=0的根即为特征值，将特征值λ代入对应齐次线性方程组（λI-A）X＝0中求出方程组的所有非零解即为特征向量。

3．重要结论：

（1）A可逆的充要条件是A的特征值不等于0；

（2）A与A的转置矩阵A'

有相同的特征值；

（3）不同特征值对应的特征向量线性无关。

4.注意求解所在数域！

！

复数域时“c1、c2...（或k1、k2...）是不同时为零的复数”！

六、矩阵的相似

1．定义　对同阶方阵A、B，若存在可逆矩阵P，使P^-1AP=B，则称A与B相似。

2．求A与对角矩阵∧相似的方法与步骤（求P和∧）：

求出所有特征值；

求出所有特征向量；

若所得线性无关特征向量个数与矩阵阶数相同，则A可对角化（否则不能对角化），将这n个线性无关特征向量组成矩阵即为相似变换的矩阵P，依次将对应特征值构成对角阵即为∧。

3．求通过正交变换Q与实对称矩阵A相似的对角阵：

　方法与步骤和一般矩阵相同，只是第三歩要将所得特征向量正交化且单位化。

七、二次型

n

1．定义　n元二次多项式f（x1,x2,…，xn）=∑aijxixj称为二次型,若aij=0（i≠j），则称为二交型的标准型。

i,j=1

2．二次型标准化：

　配方法和正交变换法。

正交变换法步骤与上面对角化完全相同，这是由于对正交矩阵Q，Q^-1=Q'

，即正交变换既是相似变换又是合同变换。

3．二次型或对称矩阵的正定性：

（1）定义（略）；

（2）正定的充要条件：

①A为正定的充要条件是A的所有特征值都大于0；

②A为正定的充要条件是A的所有顺序主子式都大于0；