高中数学 32《简单的三角恒等变换》教学设计 新人教A版必修4Word文件下载.docx

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⑴以上结果还可以表示为：

并称之为半角公式（不要求记忆），符号由角的象限决定.

⑵降倍升幂公式和降幂升倍公式被广泛用于三角函数式的化简、求值、证明.

⑶代数式变换往往着眼于式子结构形式的变换，三角恒等变换常常首先寻找式子所包含的各个角之间的联系，并以此为依据选择可以联系他们的适当公式，这是三角式恒等变换的重要特点.

例2求证：

（１）

；

（２）

回忆并写出两角和与两角差的正余弦公式，观察公式与所证式子的联系.

证明：

（１）因为和是我们所学习过的知识，因此我们从等式右边着手．

两式相加得

即

（２）由（１）得

①；

设，

那么．

把的值代入①式中得

在例２证明中用到了换元思想，（１）式是积化和差的形式，（２）式是和差化积的形式，在后面的练习当中还有六个关于积化和差、和差化积的公式．

例３求函数的周期，最大值和最小值．

利用三角恒等变换，先把函数式化简，再求相应的值.

，

所以，所求的周期，最大值为２，最小值为．

例３是三角恒等变换在数学中应用的举例，它使三角函数中对函数的性质研究得到延伸，体现了三角变换在化简三角函数式中的作用．

课堂小结

用和（差）角公式、倍角公式进行简单的恒等变换.我们要对三角恒等变换过程中体现的换元、逆向使用公式等数学思想方法加深认识，学会灵活运用．

作业

课本p143习题3.2A组1、

（1）（5）3、5

拓展提升

1．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）

A．－B．－C．D．

2．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）

A．等边三角形B．等腰三角形

C．不等边三角形D．直角三角形

3．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）

A．－B．－C．D．

4．已知cos（α+β）cos（α－β）=，则cos2α－sin2β的值为（）

A．－B．－C．D．

5．在△ABC中，若sinAsinB=cos2，则△ABC是（）

C．不等边三角形D．直角三角形

6．sinα+sinβ=（cosβ－cosα），且α∈（0，π），β∈（0，π），则α－β等于（）

A．－B．－C．D．

7．已知sin（α+β）sin（β－α）=m，则cos2α－cos2β等于（）

A．－mB．mC．－4mD．4m

二、填空题

8．sin20°

cos70°

+sin10°

sin50°

=_________．

9．已知α－β=，且cosα+cosβ=，则cos（α+β）等于_________．

三、解答题

10．已知f（x）=－+

，x∈（0，π）．

（1）将f（x）表示成cosx的多项式；

（2）求f（x）的最小值．

12．已知△ABC的三个内角A、B、C满足：

A+C=2B，，求cos的值．

13．已知sinA+sin3A+sin5A=a，cosA+cos3A+cos5A=b，

求证：

（2cos2A+1）2=a2+b2．

14．求证：

cos2x+cos2（x+α）－2cosxcosαcos（x+α）=sin2α．

15．求函数y=cos3x·

cosx的最值．

参考答案

一、选择题：

1．C2．B3．D4．C5．B6．D7．B

二、填空题：

8．9．－

10．解：

（1）f（x）=

=cos2x+cosx=2cos2x+cosx－1．

（2）∵f（x）=2（cosx+）2－，且－1≤cosx≤1，

∴当cosx=－时，f（x）取得最小值－．

11分析：

本小题考查三角函数的基础知识，利用三角公式进行恒等变形和运算的能力．

由题设条件知B=60°

，A+C=120°

∵－=－2，

∴=－2．

将上式化简为cosA+cosC=－2cosAcosC，

利用和差化积及积化和差公式，上式可化为

2coscos=－［cos（A+C）+cos（A－C）］，

将cos=cos60°

=，cos（A+C）=cos120°

=－代入上式得cos=－cos（A－C），

将cos（A－C）=2cos2（）－1代入上式并整理得4cos2（）+2cos－3=0，

即［2cos－］［2cos+3］=0．

∵2cos+3≠0，∴2cos－=0．

∴cos=．

12．证明：

由已知得

∴

两式平方相加得（2cos2A+1）2=a2+b2．

13．证明：

左边=（1+cos2x）+［1+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）

=1+［cos2x+cos（2x+2α）］－2cosxcosαcos（x+α）

=1+cos（2x+α）cosα－cosα［cos（2x+α）+cosα］

=1+cos（2x+α）cosα－cosαcos（2x+α）－cos2α

=1－cos2α=sin2α

=右边，

∴原不等式成立．

14．解：

y=cos3x·

cosx

=（cos4x+cos2x）

=（2cos22x－1+cos2x）

=cos22x+cos2x－

=（cos2x+）2－．

∵cos2x∈［－1，1］，

∴当cos2x=－时，y取得最小值－；

当cos2x=1时，y取得最大值1．

2019-2020年高中数学3.2一元二次不等式及其解法三维目标教案新人教A版必修5

三维目标：

1.深刻理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系；

2.掌握一元二次不等式的解法，能应用一元二次不等式、对应方程、函数之间的关系解决综合问题；

3.会解高次不等式及分式不等式；

4.会解含绝对值的不等式及含参数的一元二次不等式的解法；

5.通过对一元二次不等式的解法的学习，使学生了解“函数与方程”、“数形结合”及“等价转换”的数学思想。

重点难点：

教学重点：

从实际问题中抽象出一元二次不等式模型，围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数学结合的思想，熟练地掌握一元二次不等式的解法。

教学难点：

深刻理解“三个二次”之间的联系。

课时安排：

3课时

教学过程：

第一课时

（一）自主探究：

1.一元二次不等式的定义：

一般表达形式为：

2.一元二次不等式与相应函数、方程的联系：

一元二次不等式经过变形，可以化成以下两种标准形式：

①ax2+bx+c>

0（a>

0）②ax2+bx+c<

0（a>

0）

上述两种形式的一元二次不等式的解集，可通过方程ax2+bx+c=0的根来确定，

设△=，则：

（1）当△>

0时，方程ax2+bx+c=0有两个的解，设，则不等式①的解集为不等式②的解集为

（2）当△=0时，方程ax2+bx+c=0有两个的解，即，此时不等式①的解集为不等式②的解集为

（3）当△<

0时，方程ax2+bx+c=0无实数解，则不等式①的解集为

不等式②的解集为

方程

的判别式及根的情况

方程有二根、（）

方程有一根（）

方程无实根

的图像

不等式

的解集

3.一元二次不等式的解法步骤：

①化二次项系数为正数；

②计算判别式，分析不等式对应的方程的解的情况；

③结合图象写出解集。

（二）典例剖析：

例1．解下列不等式：

①.②

③④

例2．解下列不等式：

①②③

例3．求函数

的定义域。

（三）巩固练习：

P80练习

（四）小结：

（五）当堂检测：

若集合M=，N=，求MN,MN

（六）作业：

课本P80习题3.2A组

第二课时

（一）自主探究：

1.一元高次不等式的解法步骤：

（数轴标根法）

①化成标准形式：

一端为0，另一端为一次因式（因式中的系数为1）或二次不可约因式的积；

②求出各因式的实数根，并在数轴上依次标出；

③自右上方起，从右到左画曲线（奇过偶不过）；

④记数轴上方为正，下方为负，根据不等式的符号写出解集。

2.分式不等式的解法步骤：

①移项通分化为

②转化为整式不等式：

（二）典例剖析

①

②

例2.解下列不等式：

①②

（三）小结：

（四）当堂检测：

解不等式：

第三课时

（一）自主探究

1.含绝对值不等式的解法（）：

2.含参数的一元二次不等式的讨论次序为：

①对二次项系数为零与不为零，是正还是负进行讨论，以便确定解集的形式；

②对判别式

进行讨论，以便确定相应的二次方程根的个数；

③若有根，则对两根的大小进行讨论以便写出解集。

（二）典例剖析

例1.解下列不等式：

例2.解下列关于的不等式：

例3.解下列不等式：