高三数学 31导数的概念第三课时大纲人教版选修.docx

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高三数学31导数的概念第三课时大纲人教版选修

2019-2020年高三数学3.1导数的概念（第三课时）大纲人教版选修

课　　题

教学目标

一、教学知识点

1.函数y=f（x）的平均变化率，函数的导数的概念.

2.函数y=f（x）在点x0处的导数的求法.

3.函数y=f（x）在开区间（a,b）内的导函数的定义.

4.函数y=f（x）在某一点x=x0处可导，函数y=f（x）在这点x=x0处连续.

二、能力训练要求

1.理解并掌握导数的概念，学会求函数在一点处的导数的方法.

2.理解并掌握开区间内的导数的概念，会求一个函数的导数.

3.深刻理解“函数在一点处可导，则函数在这点连续”的内在含义和实际意义.

4.能灵活运用导数的定义及导函数的定义求解导数.

三、德育渗透目标

1.培养学生的辩证唯物主义的观点，如量变与质变、分类与整合、运动与静止等等，都是进行唯物主义教育的素材.

2.根据函数的可导性与连续性的关系，培养学生的逻辑推理能力和思辩能力.

3.由切线的斜率与瞬时速度的关系，加深学生对特殊与一般、运动与静止的理解，培养学生的直觉思维中的类比能力.

4.培养学生的总结、归纳、抽象与概括的能力，培养学生的分析问题和解决问题的能力，培养学生实际动手操作的能力.

教学重点

导数的定义、导函数的概念是本节课的教学重点内容，它是研究函数的基本性质的基础，求导数的方法也是重点内容.

教学难点

导数概念的理解，通过曲线切线的斜率与瞬时速度引出导数的概念，从导数的定义归纳出求导数的方法.关于函数y=f（x）在点x0处可导，与y=f（x）在x=x0处连续的辨析是难点.

教学方法

建构主义理论指导下的课堂教学——在教师的正确引导下，由学生已学过的有关知识，如函数的极限、瞬时速度、曲线的切线斜率等概念，让学生积极主动地建构出函数y=f（x）在x0处的导数的概念，由函数y=f（x）在x=x0处的导数建构出函数y=f（x）在开区间（a,b）上的导函数的定义.

教具准备

实物投影仪（或幻灯片、幻灯机）.

教学过程

Ⅰ.课题导入

1.概念的引入

［师］同学们，前面我们已经学习了曲线在点P0（x0,y0）处的切线斜率及切线方程的求法.请同学们回忆一下，切线的斜率是怎样定义的?

［生1］在P0（x0,y0）附近，设Q点是曲线上的点，其坐标为Q（x0+Δx,y0+Δy），当Δx→0时，割线P0Q的斜率的极限，就是曲线在点P0处的切线的斜率，即

.

［师］运用函数的极限研究了物体运动规律如瞬时速度、瞬时加速度等等.那么瞬时速度是如何定义的呢？

［生2］如果物体的运动规律是s=s（t），那么物体在时刻t的瞬时速度v，就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt→0时平均速度的极限，即.

［生3］（突然站起）请问老师，物体的瞬时加速度是否可以用瞬时速度在Δt→0时的平均加速度的极限来定义呢？

［师］生3提问得好.我们广大同学就应该有这种精神，敢于质疑，勇于探索和创新.他问的问题仍然是研究物体运动规律的变化性.物体的运动规律（瞬时速度）v=v（t）,那么物体在时刻t的瞬时加速度a（t），就是物体在t到t+Δt这段时间内，当Δt→0时平均加速度的极限，即.

（学生提出问题质疑老师，这一点在以往的常规教学中还是不常见到的，在新的形势下，教师应有为学生学习服务的意识，不单纯是讲授知识，而还应该传道解惑也.教师的工作方法、学识的渊博、热情的态度、人格的力量都能深深地影响学生的一辈子，可以让更多的学生有更好的发展，让所有的学生都有较好的发展，所以，我们课堂教学应鼓励学生大胆提问，找出问题）

［师］刚才两位同学所述都是正确的.切线的斜率和瞬时速度都是极限问题，这是共性问题，今天我们共同来学习新的内容（教师板书课题）：

导数的概念（三）.

Ⅱ.讲授新课

［师］我们知道，Δt是时间增量，Δs是位移增量，对于一般的函数y=f（x）,Δx称为自变量在x0处的增量，Δy称为函数的增量.切线的斜率与瞬时速度都是以极限来定义的，而且在形式上也是类似的.

［板书］

切线的斜率,

瞬时速度.

s=s（t）

y=f（x）

Δt时间增量

Δx自变量x在x0处的增量

Δs位移增量

Δy函数在x0处的增量（函数的增量）

平均速度

函数y=f（x）在x0到x0+Δx之间的平均变化率

瞬时速度

，即为f（x）在x0处的切线斜率

我们把函数y=f（x）在x=x0处的函数的平均变化率的极限，即叫做f（x）在x0处的导数.现请同学们概括并叙述导数的定义.

［生4］函数y=f（x），如果当Δx→0时，有极限，就说函数y=f（x）在点x0处可导，并把这个极限叫做f（x）在点x0处的导数（或变化率），记作f′（x0）或y′|x=x0.

［师］如何用数学符号来表示呢？

［生5］f′（x0）=y′|x=x0=.

［师］大家认为这个定义中应注意到什么问题？

请同学们先讨论一下，然后再总结.

（教室内的气氛开始活跃了，同学们争先恐后地发言，发表自己的见解.只有在宽松和谐的氛围中学习，才能实现有意义的建构）

［生6］如果Δx→0时，要先有极限，才有f（x）在点x0处可导，进而才能得到f（x）在点x0处的导数.

［师］回答得很好！

同学们能否从导数的定义，概括出求函数y=f（x）在点x0处的导数的方法和步骤？

［生7］求函数y=f（x）在点x0处的导数的方法是：

（1）求函数y=f（x）的增量Δy=f（x0+Δx）-f（x0）;

（2）求平均变化率;

（3）取极限，得函数f′（x0）=.

［师］同学们，刚才同学7总结得是否全面呢？

［生］（众生）总结得很全面.

［师］我们根据导数的定义和求导数的步骤，来研究上节课中求自由落体在t=3时的瞬时速度，其中.求它在t=3时的瞬时速度实质就是求在时刻t=3处的导数.请同学们来说说看.

［生8］第一步：

先写出位移函数的增量Δs=g（3+Δt）2-g·32=g［（Δt）2+6·Δt］.

第二步：

求出t由3到3+Δt内的位移的平均变化率.

第三步：

对取极限，即

=3g=3×9.8=29.4（m/s）.

故自由落体在t=3时的瞬时速度就是v=29.4m/s.

［师］从这个题目中我们可以得出什么样的结论呢？

［生］瞬时速度就是位移函数s（t）对时间t的导数，即v=s′|t=t0.

［师］我们可以根据开区间上连续函数的定义，类似地定义函数在开区间上可导.

［生］如果函数f（x）在开区间（a,b）内任一点x0处可导，即f′（x0）=y′|x=x0在x0处是存在的，由于x0是开区间（a,b）上的任意一点，当x0取遍（a,b）内的所有值时，这个极限都是存在的，就称函数f（x）在开区间（a,b）内可导.

［师］你的理解和解释是很好的.一般地，如果函数f（x）在开区间（a,b）内可导，那么对于（a,b）内每一个确定的点x0，对应着一个确定的导数f′（x0），根据函数的定义，在（a,b）内构成一个新的函数，把这一新函数叫做f（x）在开区间（a,b）内的导函数，前提是f（x）在（a,b）内可导.它的数学符号如何表示呢？

［生9］f′（x）=y′=，从这个定义中我们学到了由特殊到一般的科学思维方法，体现了动与静的辩证关系.

［师］当x0∈（a,b）时，函数y=f（x）在x0处的导数f′（x0）等于函数f（x）在开区间（a,b）内的导函数f′（x）在点x0处的函数值.f′（x0）可以直接根据f（x）在点x0处的导数得到，也可以先求f（x）在开区间（a,b）内的导数f′（x），然后再将x=x0代入f′（x）中得到.

（稍停顿一会，让学生体会、反思）

［师］你们能举一个例子吗？

［生10］刚才研究的自由落体运动在t=3时的瞬时速度就可以用导函数的方法来解.

∵,∴任意时刻t的瞬时速度为

∴当t=3时，v（3）=s′（3）=s′|t=3=g·3=9.8×3=29.4（m/s）.

v（t）=g·t叫做的导函数.

［师］举的例子很恰当.我们从f（x）在x0处可导的定义可以知道，f（x）在x0处有定义，那么我们来看一下f（x）在x0处是否有极限？

是否连续呢？

［生11］如果函数y=f（x）在x0处可导，那么f（x）在x0处一定有极限，且连续.

［众生］这是需要证明的.如果能证明出来才能说明你的猜想是正确的.

［生11］用定义法证明：

已知f′（x0）=，我们要证的目标是，

即.

令x=x0+Δx,当Δx→0时，x→x0.

∴

=f′（x0）·0+f（x0）=f（x0）.

∴.

∴f（x）在x0处一定有极限，且连续.

［师］妙,妙极了！

他不仅给出了猜想，而且证明了自己的猜想.这种先猜后证是众多科学家、发明家常用的方法.生11在证明过程中灵活运用代数式的变形，由f（x0+Δx）经过添项去项配凑出导数定义的基本结构形式.

［师］刚才的命题逆命题是否成立呢？

［生12］如果函数f（x）在x=x0处连续，那么函数y=f（x）在x0处可导.例如函数y=x2,y=x3等等.

［师］你的举例能代表证明吗？

［生13］他的结论是错误的.例如，函数y=f（x）=|x|在x0处连续，但在x=0处不可导.

因为在x0处有

，

∴.

∴y=|x|在x=0处连续.

但

当Δx＞0时，;

当Δx＜0时，.

∴，即函数y=f（x）=|x|在x=0处不可导，也就是其导数不存在.这就说明：

f（x）在x0处连续，但未必可导.

［师］回答得完全正确，我们要学会辩证地看问题.你们能得到什么样的结论呢？

［生14］如果函数y=f（x）在点x0处可导，那么函数y=f（x）在点x0处连续，反之未必成立.也就是说：

函数具有连续性是函数具有可导性的必要条件，而不是充分条件.

2.课本例题

［例1］求函数y=x2在点x=1处的导数

［师］求函数在某一点处的导数的方法和步骤是什么呢？

［生15］①求函数增量Δy;②求函数的变化率;③求极限.

［生16］解：

Δy=（1+Δx）2-12

=2·Δx+（Δx）2,

∴.

∴=2+0=2.

∴y′|x=1=2.

（学生在黑板上板演，教师在下面巡视指导，与学生共同研究，发现问题及时解决）

［师］刚才我在下面发现有的同学求时漏掉了（Δx）2,但他的结果仍然是2.若把题目变为求y=x2的导数y′，又如何求呢？

［生17］Δy=（x+Δx）2-x2=2x·Δx+（Δx）2,

∴

∴

［例2］已知，求y′.

［师］求一个函数在区间上的导数的方法是什么？

［生18］与求函数在一点处的导数的方法和步骤是一样的，也是三个步骤，只是把x0换成x即可.（然后该生走向黑板，边写边讲）

解：

∴

∴.

［师］回答得很好，求解也是完全正确的.从这道题可以看出求函数的导数也主要是求极限的值，所以极限是求函数的导数的基础，求极限的一些基本方法和思想要熟记于心.同时本题运用了分子有理化的变化技巧.若将本题变为求函数的导数y′,又如何求解呢？

［生19］（自然而大方地走向讲台）求解的导数的思想方法和步骤与前面生18的完全相同，具体的是：

解：

∴.

∴

∴.

［师］生19板演得非常正确，下面的同学在运算中存在不少的问题，例如对不知道如何处理，而生19给出分子有理化的方法，这一点我们在学习函数的极限时也讲过.所以我们应该积累一点代数的变形技巧才行.

3.精选例题

［例1］已知y=x3-2x+1，求y′,y′|x=2.（投影放出）

［生20］解：

Δy=（x+Δx）3-2（x+Δx）+1-（x3-2x+1）

=x3+3x2·Δx+3x·（Δx）2+（Δx）3-2x-2Δx+1-x3+2x-1

=（Δx）3+3x·（Δx）2+（3x2-2）Δx.

∴=（Δx）2+3x·Δx+3x2-2.

∴［（Δx）2+3x·Δx+3x2-2］=3x2-2.

又