第1章 学业质量标准检测AWord下载.docx

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4．平行六面体ABCD－A1B1C1D1中，既与AB共面也与CC1共面的棱的条数为（　C　）

A．3　　B．4

C．5　　D．6

[解析]　考查多面体的基本概念及线面的位置关系.AB与CC1为异面直线，故棱中不存在同时与两者平行的直线，因此只有两类：

第一类与AB平行与CC1相交的有：

CD、C1D1

与CC1平行且与AB相交的有：

BB1、AA1，

第二类与两者都相交的只有BC，故共有5条．

5．若某几何体的三视图如图所示，则这个几何体的直观图可以是（　B　）

[解析]　本题考查了三视图的有关知识；

（可用排除法）由正视图可把A，C排除，

而由左视图把D排除，故选B．

6．已知球心到球的一个截面的距离为5，截面圆的半径为12，则球的半径为（　A　）

A．13　　B．12　　　

C．5　　D．

[解析]　设球的半径为R，则R＝

＝13．

7．若一个圆锥的底面半径和一个半球的半径相等，体积也相等，则它们的高度之比为（　A　）

A．2∶1B．2∶3

C．2∶πD．2∶5

[解析]　设半径为r，圆锥的高为h，由题意得：

V圆锥＝

πr2h＝

πr3×

.∴h∶r＝2∶1．

8．下列叙述中，正确的有（　A　）

①若平面α内有一条直线平行于另一个平面β，则α∥β；

②若平面α内有两条直线平行于另一个平面β，则α∥β；

③若平面α内有无数条直线平行于另一个平面β，则α∥β；

④若平面α内有两条相交直线都与平面β平行，则α∥β．

A．1个　B．2个　　

C．3个　D．4个

[解析]　在①②③中平面α与平面β可以平行，也可以相交，所以①②③错，④对，故正确的有1个．

9．（2017·

全国卷Ⅰ理，7）某多面体的三视图如图所示，其中主视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2，俯视图为等腰直角三角形．该多面体的各个面中有若干个是梯形，这些梯形的面积之和为（　B　）

A．10B．12

C．14D．16

[解析]　观察三视图可知该多面体是由直三棱柱和三棱锥组合而成的，且直三棱柱的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，侧棱长为2.三棱锥的底面是直角边长为2的等腰直角三角形，高为2，如图所示．因此该多面体各个面中有2个梯形，且这两个梯形全等，梯形的上底长为2，下底长为4，高为2，故这些梯形的面积之和为2×

×

（2＋4）×

2＝12．

故选B．

10．已知正三角形ABC三个顶点都在半径为2的球面上，球心O到平面ABC的距离为1，点E是线段AB的中点，过点E作球O的截面，则截面面积的最小值是（　C　）

A．

B．2π

C．

D．3π

[解析]　由题意知，正三角形ABC的外接圆半径为

＝

，则AB＝3，过点E的截面面积最小时，截面是以AB为直径的圆，截面面积S＝π×

（

）2＝

．

11．如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1内运动，并且总保持AP⊥BD1，则动点P在（　A　）

A．线段B1C上B．线段BC1上

C．BB1中点与CC1中点的连线上D．B1C1中点与BC中点的连线上

[解析]　易知BD1⊥平面AB1C，故P∈B1C．

12．已知矩形ABCD，AB＝1，BC＝

.将△ABD沿矩形的对角线BD所在的直线进行翻折，在翻折过程中（　B　）

A．存在某个位置，使得直线AC与直线BD垂直

B．存在某个位置，使得直线AB与直线CD垂直

C．存在某个位置，使得直线AD与直线BC垂直

D．对任意位置，三对直线“AC与BD”，“AB与CD”，“AD与BC”均不垂直

[解析]　找出图形在翻折过程中变化的量与不变化的量．

对于选项A，过点A作AE⊥BD，垂足为E，过C作CF⊥BD，垂足为F，在图

（1）中，由边AB，BC不相等可知E，F不重合．在图

（2）中，连接CE，若直线AC与BD垂直，又∵AC∩AE＝A，∴BD⊥平面ACE．

∴BD⊥CE，与点E，F不重合矛盾，故A错误．

对于选项B，若AB⊥CD，

又∵AB⊥AD，AD∩CD＝D，∴AB⊥平面ACD，∴AB⊥AC，

由AB<

BC可知存在这样的等腰直角三角形，

使得AB与CD垂直，故B正确．

对于选项C，若AD⊥BC，

又∵DC⊥BC，AD∩CD＝D，∴BC⊥平面ACD．

∴BC⊥AC，已知BC＝

，AB＝1，BC>

AB，

∴不存在这样的直角三角形，∴C错误．

由以上可知D错误，故选B．

第Ⅱ卷（非选择题　共90分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在题中横线上）

13．（2017·

江苏，6）如图，在圆柱O1O2内有一个球O，该球与圆柱的上、下底面及母线均相切，记圆柱O1O2的体积为V1，球O的体积为V2，则

的值是__

__．

[解析]　设球O的半径为R，

∵球O与圆柱O1O2的上、下底面及母线均相切，

∴圆柱O1O2的高为2R，底面半径为R．

∴

14．如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为a，将该正方体沿对角面BB1D1D切成两块并拼接成一个不是正方体的四棱柱，那么所得四棱柱的全面积是__（4＋2

）a2__．

[解析]　S＝2a2＋2a2＋2

a2＝（4＋2

）a2．

15．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个结论：

①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β．

②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n．

③如果α∥β，mα，那么m∥β．

④如果m∥n，α∥β，那么m与α所成的角和n与β所成的角相等．

其中正确的结论有__②③④__.（填写所有正确结论的编号）

[解析]　对于命题①，可运用长方体举反例证明其错误：

如图，不妨设AA′为直线m，CD为直线n，ABCD所在的平面为α，

ABC′D′所在的平面为β，显然这些直线和平面满足题目条件，但α⊥β不成立．

命题②正确，证明如下：

设过直线n的某平面与平面α相交于直线l，则l∥n，由m⊥α知m⊥l，从而m⊥n结论正确．

由平面与平面平行的定义知命题③正确．

由平行的传递性及线面角的定义知命题④正确．

16．（2019·

北京卷文，12）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为__40__．

[解析]　由三视图可知该几何体是棱长为4的正方体切去一个底面为直角梯形、高为4的直四棱柱，其中直角梯形的上底为2，下底为4，高为2，所以该几何体的体积为V＝V正方体－V直四棱柱＝43－

2×

4＝40．

三、解答题（本大题共6个小题，满分70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

17．（本小题满分10分）一几何体的直观图如图所示：

（1）画出该几何体的三视图．

（2）求该几何体的表面积与体积．

[解析]　

（1）

（2）S表＝2（8×

8＋8×

4＋8×

4）＋4π×

8＝32π＋256，

V＝8×

8×

4＋π×

8＝32π＋256．

18．（本小题满分12分）正四棱台AC1的高是17cm，两底面的边长分别是4cm和16cm，求这个棱台侧棱的长和斜高．

[解析]　如图所示，设棱台的两底面的中心分别是O1和O，B1C1和BC的中点分别是E1和E，连接O1O，E1E，O1B1，OB，O1E1，OE，则四边形OBB1O1和OEE1O1都是直角梯形．

∵A1B1＝4cm，AB＝16cm，

∴O1E1＝2cm，OE＝8cm，O1B1＝2

cm，OB＝8

cm．

∴B1B2＝O1O2＋（OB－O1B1）2＝361，

E1E2＝O1O2＋（OE－O1E1）2＝325．

∴B1B＝19cm，E1E＝5

即棱台的侧棱长为19cm，

斜高为5

19．（本小题满分12分）如图，三棱柱A1B1C1－ABC的三视图中，主视图和左视图是全等的矩形，俯视图是等腰直角三角形，已知点M是A1B1的中点．求证：

平面AC1M⊥平面AA1B1B．

[解析]　由三视图可知三棱柱A1B1C1－ABC为直三棱柱，底面是等腰直角三角形，且∠ACB＝90°

∵A1C1＝B1C1，M为A1B1的中点，∴C1M⊥A1B1．

又∵平面A1B1C1⊥平面AA1B1B，平面A1B1C1∩平面AA1B1B＝A1B1，∴C1M⊥平面AA1B1B．

又∵C1M平面AC1M，∴平面AC1M⊥平面AA1B1B．

20．（本小题满分12分）（2019·

全国卷Ⅰ文，19）如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是菱形，AA1＝4，AB＝2，∠BAD＝60°

，E，M，N分别是BC，BB1，A1D的中点．

（1）证明：

MN∥平面C1DE；

（2）求点C到平面C1DE的距离．

[解析]　

（1）证明：

连接B1C，ME.因为M，E分别为BB1，BC的中点，所以ME∥B1C，且ME＝

B1C．

又因为N为A1D的中点，所以ND＝

A1D．

由题设知A1B1綊DC，可得B1C綊A1D，故ME綊ND，因此四边形MNDE为平行四边形，所以MN∥ED．

又MN⊄平面C1DE，所以MN∥平面C1DE．

（2）解：

过点C作C1E的垂线，垂足为H．

由已知可得DE⊥BC，DE⊥C1C，所以DE⊥平面C1CE，

故DE⊥CH.从而CH⊥平面C1DE，故CH的长即为点C到平面C1DE的距离．

由已知可得CE＝1，C1C＝4，所以C1E＝

，故CH＝

.从而点C到平面C1DE的距离为

21．（本小题满分12分）如图所示，在体积为1的三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱AA1⊥底面ABC，AC⊥AB，AC＝AA1＝1，P为线段AB上的动点．

（1）求证：

CA1⊥C1P；

（2）线段AB上是否存在一点P，使四面体P－AB1C1的体积为

？

若存在，请确定点P的位置；

若不存在，请说明理由．

连接AC1，∵侧棱AA1⊥底面ABC，

∴AA1⊥AB．

又∵AB⊥AC，

∴AB⊥平面AA1C1C．

又∵CA1平面AA1C1C，

∴AB⊥CA1．

∵AC＝AA1＝1，∴四边形AA1C1C为正方形，∴AC1⊥CA1．

∵AC1∩AB＝A，∴CA1⊥平面AC1B．又C1P平面AC1B，∴CA1⊥C1P．

（2）设在线段AB上存在一点P，使VP－AB1C1＝

VABC－A1B1C1＝

AB×

1×

1＝1，

∴AB＝2．

又∵AC⊥AB，AA1⊥AC且C1A1⊥平面ABB1A1，BB1⊥AB，

由VP－AB1C1＝VC1－PAB1＝

，

知

S△PAB1·

C1A1＝

PA·

BB1＝

PA×

1＝

，解得PA＝1，

∴存在AB的中点P，使VP－AB1C1＝

22．（本小题满分12分）如图，平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF与ABCD都是直角梯形，∠BAD＝∠FAB＝90°

，BC綊

AD，BE綊

FA，G、H分别为FA、FD的中点．

四边形BCHG是平行四边形；

（2）C、D、F、E四点是否共面？

为什么？

（3）设AB＝BE，证明：

平面ADE⊥平面CDE．

[解析]　

（1）由题设知，FG＝GA，FH＝HD，

所以GH綊

AD．

又BC綊

AD，故GH綊BC，

所以四边形BCHG是平行四边形．

（2）C、D、F、E四点共面．理由如下：

由BE綊

AF，G是FA的中点知，BE綊GF，

所以EF∥BG，

由

（1）知BG∥CH，

所以EF∥CH，故EC、FH共面．

又点D在直线FH上，

所以C、D、F、E四点共面．

（3）连接EG，由AB＝BE，BE綊AG，及∠BAG＝90°

知四边形ABEG是正方形，

故BG⊥EA．由题设知，FA、AD、AB两两垂直，

故AD⊥平面FABE，

∴AD⊥BG，∴BG⊥平面ADE，

由

（1）知，CH∥BG，

所以CH⊥平面ADE．

由

（2）知F∈平面CDE，故CH平面CDE，

得平面ADE⊥平面CDE．