浙江专版高考数学一轮复习 高考仿真原创押题卷1文档格式.docx

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A.a－bB.a＋b

C．2a－bD．2a＋b

D　[因为点G为△ABC的重心，所以＋＋＝0，则＝－－＝－a－b，则＝－＝a－（－a－b）＝2a＋b，故选D.]

5．由棱锥和棱柱组成的几何体的三视图如图1所示，则该几何体的体积为

（　　）

图1

A．14B.

C．22D.

A　[由三视图得该几何体为一个底面为底为3，高为2的三角形，高为4的直三棱柱和一个底面为底为3，高为2的三角形，高为2的三棱锥的组合体，则其体积为4×

×

2×

3＋×

3＝14，故选A.]

6．在三棱锥PABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC＝60°

，AB＝AC＝2，PA＝2，则三棱锥PABC外接球的表面积为（　　）

A．20πB．24π

C．28πD．32π

A　[因为∠BAC＝60°

，AB＝AC＝2，所以△ABC为边长为2的等边三角形，则其外接圆的半径r＝＝2，则三棱锥PABC的外接球的半径R＝＝，则三棱锥PABC的外接球的表面积为4πR2＝20π，故选A.]

7．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场”的前提下，学生C第一个出场的概率为（　　）【导学号：

51062387】

A.B.

A　[由题意得学生A和B都不是第一个出场，B不是最后一个出场的概率P1＝＝，其中学生C第一个出场的概率P2＝＝，所以所求概率为P＝＝，故选A.]

8．定义在R上的偶函数f（x）的导函数为f′（x）．若对任意的实数x，都有2f（x）＋xf′（x）<

2恒成立，则使x2f（x）－f

（1）<

x2－1成立的实数x的取值范围为（　　）

A．{x|x≠±

1}

B．（－∞，－1）∪（1，＋∞）

C．（－1,1）

D．（－1,0）∪（0,1）

B　[设g（x）＝x2[f（x）－1]，则由f（x）为偶函数得g（x）＝x2[f（x）－1]为偶函数．又因为g′（x）＝2x[f（x）－1]＋x2f′（x）＝x[2f（x）＋xf′（x）－2]，且2f（x）＋xf′（x）<

2，即2f（x）＋xf′（x）－2<

0，所以当x>

0时，g′（x）＝x[2f（x）＋xf′（x）－2]<

0，函数g（x）＝x2[f（x）－1]单调递减；

当x<

0时，g′（x）＝x[2f（x）＋xf′（x）－2]>

0，函数g（x）＝x2[f（x）－1]单调递增，则不等式x2f（x）－f

（1）<

x2－1⇔x2f（x）－x2<

f

（1）－1⇔g（x）<

g

（1）⇔|x|>

1，解得x<

－1或x>

1，故选B.]

第Ⅱ卷

二、填空题（本大题共7小题，多空题每题6分，单空题每题4分，共36分．把答案填在题中横线上）

9．设全集U＝R，集合A＝{x|x2－3x－4<

0}，B＝{x|log2（x－1）<

2}，则A∩B＝________，∁RA＝________.

（1,4）　（－∞，－1]∪[4，＋∞）　[A＝（－1,4），B＝（1,5），所以A∩B＝（1,4），∁RA＝（－∞，－1]∪[4，＋∞）．]

10.6的展开式中常数项为________（用数字作答）．

135　[二项式6的展开式的通项公式为Tr＋1＝C（3x）6－rr＝36－rCx6－r，令6－r＝0，得r＝4，所以6的展开式中常数项为32C＝135.]

11．已知△ABC的外接圆半径为1，圆心为O，且3＋4＋5＝0，则·

＝____________，cosA＝__________.

－　　[由4＋5＝－3，||＝||＝||＝1得（4＋5）2＝92，即16＋25＋40·

＝9，·

＝－，·

＝1×

1×

cos∠BOC＝－，解得cos∠BOC＝－，因为∠BOC＝2∠A，所以cosA＝＝.]

12.已知变量x，y满足点（x，y）对应的区域的面积________，的取值范围为________．

　　[不等式组对应的平面区域是以点（1,1），（1,3）和为顶点的三角形区域，该区域的面积为×

＝.的几何意义是可行域上的点（x，y）与原点连线的斜率，当（x，y）为点时，min＝，当（x，y）为点（1,3）时，max＝3，所以∈，令＝t∈，则＝＋＝＋t，当t＝1时，取得最小值2，当t＝3时，取得最大值，故的取值范围是.]

13．已知双曲线C：

－＝1（a>

0，b>

0）的左、右焦点分别为F1、F2，点P在双曲线上，若|PF1|＋|PF2|＝6a，且△PF1F2最小内角的大小为30°

，则双曲线的渐近线方程为________.【导学号：

51062388】

x±

y＝0　[由题意不妨设|PF1|－|PF2|＝2a，

∵|PF1|＋|PF2|＝6a，∴|PF1|＝4a，|PF2|＝2a.

∵|F1F2|＝2c>

2a，∴△PF1F2最小内角为∠PF1F2＝30°

，∴在△PF1F2中，由余弦定理得4a2＝4c2＋16a2－2×

2c×

4a×

cos30°

，解得c＝a，∴b＝a，故双曲线的渐近线方程为y＝±

x＝±

x，即x±

y＝0.]

14．已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，若S1＝2,3S－2an＋1Sn＝a，则an＝________，Sn＝________.

　Sn＝　[因为S1＝2，所以当n＝1时，由3S－2an＋1Sn＝a得3S－2a2S1＝a，解得a2＝2.由3S－2an＋1Sn＝a得（Sn－an＋1）（3Sn＋an＋1）＝0，又因为数列{an}的各项均为正数，所以Sn－an＋1＝0，则当n≥2时，有Sn－1－an＝0，两式作差得2an－an＋1＝0，所以数列{an}从第二项起为公比为2的等比数列，即an＝2×

2n－2＝2n－1，又因为a1＝2不符合上式，所以an＝即Sn＝]

15．若函数f（x）＝x2（x－2）2－a|x－1|＋a有四个零点，则a的取值范围为________．

　[显然x＝0和x＝2为函数f（x）

的两个零点．当x≠0且x≠2时，令x2（x－2）2－a|x－1|＋a＝0得a＝＝设g（x）＝则由题意得直线y＝a与函数g（x）的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，在平面直角坐标系内画出函数g（x）的图象如图所示，由图易得当a＝－或－1<

a<

0或a>

0时，直线y＝a与函数g（x）的图象有两个横坐标不为0,2的相异交点，即a的取值范围为.]

三、解答题（本大题共5小题，共74分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）

16．（本小题满分14分）在△ABC中，三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知函数f（x）＝sin（2x＋B）＋cos（2x＋B）为偶函数，b＝f.

（1）求b；

（2）若a＝3，求△ABC的面积S.

[解]　

（1）f（x）＝sin（2x＋B）＋cos（2x＋B）＝2sin，

由f（x）为偶函数可知B＋＝＋kπ，k∈Z，

所以B＝＋kπ，k∈Z.5分

又0<

B<

π，故B＝，所以f（x）＝2sin＝2cos2x，

b＝f＝.7分

（2）因为B＝，b＝，由正弦定理可得sinA＝＝，12分

所以A＝或A＝.

当A＝时，△ABC的面积S＝；

当A＝时，△ABC的面积S＝.14分

17．（本小题满分15分）在各项均为正数的等比数列{an}中，a1＝2，且2a1，a3,3a2成等差数列．

（1）求等比数列{an}的通项公式；

（2）若数列{bn}满足bn＝（n＋2）log2an，求数列的前n项和Tn.

[解]　

（1）设数列{an}的公比为q，

∵2a1，a3,3a2成等差数列，

∴2a1＋3a2＝2a3，1分

即2a1＋3a1q＝2a1q2，2分

化简得2q2－3q－2＝0，解得q＝2或q＝－.3分

∵q>

0，∴q＝2.4分

∵a1＝2，∴数列{an}的通项公式an＝a1qn－1＝2n，n∈N*.7分

（2）∵bn＝（n＋2）log2an＝n（n＋2），8分

∴＝＝，11分

Tn＝＋＋…＋＋

＝

13分

＝14分

＝－.15分

18．（本小题满分15分）如图2，已知三锥锥OABC的在条侧棱OA，OB，OC两两垂直且OA＝OB＝OC，△ABC为等边三角形，M为△ABC内部一点，点P在OM的延长线上，且PA＝PB，PA＝OC，OP＝OC.

图2

（1）证明：

AB⊥平面POC；

（2）求二面角POAB的余弦值．

[解]　

（1）因为OA，OB，OC两两垂直，2分

所以OC⊥平面OAB，

而AB⊂平面OAB，所以AB⊥OC.

取AB的中点D，连接OD，PD，则有AB⊥OD，AB⊥PD.

所以AB⊥平面POD，4分

而PO⊂平面POD，所以AB⊥PO，又PO∩OC＝O，

所以AB⊥平面POC.5分

（2）分别以OA，OB，OC所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图．

设OA＝OB＝OC＝1，则A（1,0,0），B（0,1,0），C（0,0,1），＝（1,0,0），＝（－1,1,0）．

设P（x，y，z），其中x>

0，y>

0，z>

0，则＝（x，y，z），＝（x－1，y，z）．

由

（1）知⊥，又PA＝OC＝，OP＝OC＝，

所以，解得x＝y＝1，z＝2.

所以＝（1,1,2）.10分

设平面POA的法向量为n1＝（x1，y1，z1），由n1⊥，n1⊥，得.

取z1＝1，则n1＝（0，－2,1）．

又平面OAB的一个法向量n2＝＝（0,0,1），13分

记二面角POAB的平面角为θ，由图可得θ为锐角，

所以cosθ＝|cos〈n1，n2〉|＝＝.

所以二面角POAB的余弦值为15分

19．（本小题满分15分）已知椭圆C1：

＋＝1，抛物线C2：

y2＝4x，过抛物线C2上一点P（异于原点O）作切线l交椭圆C1于A，B两点．

图3

（1）求切线l在x轴上的截距的取值范围；

（2）求△AOB面积的最大值.【导学号：

51062389】

[解]　

（1）设P（t2,2t）（t≠0），显然切线l的斜率存在，

设切线l的方程为y－2t＝k（x－t2），即y＝k（x－t2）＋2t.1分

由消去x得ky2－4y－4kt2＋8t＝0，

由Δ＝16－16k（－kt2＋2t）＝0，得k＝，

从而切线l的方程为x＝ty－t2，3分

令y＝0，得切线l在x轴上的截距为－t2.

由得（3t2＋4）y2－6t3y＋3t4－12＝0，

令Δ＝36t6－12（3t2＋4）（t4－4）>

0，得0<

t2<

4，

则－4<

－t2<

0，6分

故切线l在x轴上的截距的取值范围为（－4,0）.7分

（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），由

（1）知y1＋y2＝，y1y2＝，|AB|＝|y1－y2|

＝·

＝4·

·

，9分

原点O到切线l的距离为d＝，

∴S＝|AB|×

d＝2·

.12分

令3t2＋4＝u，∵0<

4，∴4<

u<

16，

则有S＝2·

，

∴S＝·

.

令y＝u＋，∵4<

∴y＝u＋在（4,16）上为增函数，得8<

y<

17，

，当y＝∈（8,17）时，

Smax＝·

＝.14分

由y＝u＋＝得u＝，有t＝<

2，故当t＝时，△OAB面积S有最大值.15分

20．（本小题满分15分）设各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足＝n＋r.

（1）若a1＝2，求数列{an}的通项公式；

（2）在

（1）的条件下，设bn＝（n∈N*），数列{bn}的前n项和为Tn，求证：

Tn≥.

[解]　

（1）令n＝1，得＋r＝1，∴r＝，1分

则Sn＝an，∴Sn－1＝an－1（n≥2），

两式相减得＝（n≥2），3分

∴·

…·

化简得＝（n≥2），

∴an＝n2＋n（n≥2），6分

又a1＝2适合an＝n2＋n（n≥2），∴an＝n2＋n.7分

（2）证明：

由

（1）知a2n－1＝（2n－1）·

2n，

∴bn＝＝＝－，∴T1＝≥不等式成立，

∴Tn＝－＋－＋－＋…＋－（n≥2），

∴Tn＝＋＋＋…＋－2

＝＋＋＋…＋－，

∴Tn＝＋＋…＋，10分

∴2Tn＝＋＋…＋＋…＋.

∵＋＝≥（仅在k＝时取等号），

∴2Tn≥，即结论Tn≥成立.15分