三角形与四边形Word下载.docx

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角形的外角性质：

1.三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；

2.三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角.

3.三角形的外角和等于360°

如图9.1.11，D是△ABC的BC边上一点，∠B＝∠BAD，∠ADC＝80°

，∠BAC=70°

.求：

（1）∠B的度数；

（2）∠C的度数.

三角形的三边关系

三角形的任何两边的和大于第三边.三角形的任何两边的差小于第三边

如果三角形的三条边固定，那么三角形的形状和大小就完全确定了.三角形的这人性质叫做三角形的稳定性

1.已知△ABC是等腰三角形.

（1）如果它的两条边长的长分别为8cm和3cm,那么它的周长是多少？

（2）如果它的周长为18cm，一条边的长为4cm，那么腰长是多少？

2.按图中所给的条件，求出∠1、∠2、∠3的度数.

我们知道两条边相等的三角形叫做等腰三角形。

相等的两边都叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.

　等腰三角形的两个底角相等．（简写成“等边对等角”）

如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等．（简写成“等角对等边”）

折叠的两个部分是互相重合的，所以等腰三角形是一个轴对称图形，折痕AD所在的直线就是它的对称轴

BD＝CD，AD为底边上的中线；

　　∠BAD＝∠CAD，AD为顶角的平分线；

　　∠ADB＝∠ADC＝90°

，AD又为底边上的高．　　所以折痕AD既是底边上的中线，又是顶角的平分线和底边上的高．　　由此可以知道，等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线和底边上的高互相重合，简称“三线合一”．例如图，在△ABC中，AB＝AC，D是BC边上的中点，∠B＝30°

，求∠ADC和∠1的度数．

三条边都相等的三角形是等边三角形。

等边三角形的各个内角都相等，并且每一个内角都等于60°

1.已知等腰三角形的一个内角为140°

，求另外两个内角的度数.

2.在△ABC中，AB＝AC，它的两条边长分别为2cm和4cm，那么它的周长为多少?

对于任意的直角三角形，如果它的两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么一定有a

＋b

＝c

，这种关系我们称为勾股定理．

直角三角形的判定

如果三角形的三边长a、b、c有关系：

a

，那么这个三角形是直角三角形．

例：

如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高ＡＢ为4cm，ＢＣ是上底面的直径．一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点C，试求出爬行的最短路程．

例如图已知CD＝６m，AD＝８m，∠ADC＝９０°

，BC＝２４m，ＡＢ＝２６m．求图中阴影部分的面积．

5.已知三角形的三边分别是n＋1、n＋2、n＋3，当n是多少时，三角形是一个直角三角形?

6.如图，AD⊥CD，ＡＢ＝１３，ＢＣ＝１２，ＣＤ＝４，ＡＤ＝３，若∠CＡＢ＝５５°

，求∠B的大小．

6.在△ＡＢＣ中，ＡＢ＝ＡＣ＝１０，BD是AC边的高，DC＝２，求BD的长．

7.有一块四边形地ＡＢＣD（如图），∠B＝９０°

，ＡＢ＝４m，ＢＣ＝３m，CD＝１２m，DA＝１３m，求该四边形地ＡＢＣD的面积．

10.如图，四边形ＡＢＣD中，ＡＢ＝ＢＣ＝２，CD＝３，　ＤＡ＝１，且∠B＝９０°

，求∠DＡＢ的度数．

11.如图，在矩形ＡＢＣD中，ＡＢ＝５cm，在边CD上适当选定一点E，沿直线AE把△ADE折叠，使点D恰好落在边ＢＣ上一点F处，且△ＡＢF的面积是30cm

．求此时AD的长．

多边形的内角和与外角和

如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，那么就称它为正多边形.如正三角形、正四边形（正方形）、正五边形等等.

连结多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线.

n边形的内角和为_（n－2）×

180°

．任意多边形的外角和都为_360°

__．

1.一个多边形的外角和是内角和的

，求这个多边形的边数．

用正多边形拼地板：

（有正三角形，正方形，正六边形）

当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就拼成一个平面图形．

正十二边形的一个内角为

，正六边形的一个内角为120°

，正方形的一个内角为90°

，三者之和恰为一个周角360°

，实际上这三种正多边形结合在一起恰好能铺满地面.

1.在△ABC中，AC＝12cm，AB=8cm，那么BC的最大长度应小于多少？

最小的长度应满足什么条件呢？

2.在各个内角都相等的多边形中，一个外角等于一个内角的

，求这个多边形的每一个内角的度数和它的边数.

3.如图，已知DC是△ABC中∠ACB的外角平分线，说明为什么∠BAC＞∠B.

如果沿某条直线对折，对折的两部分是完全重合的，那么就称这样的图形为轴对称图形，这条直线叫做这个图形的对称轴

把一个图形沿着某一条直线翻折过去，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形成轴对称，这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点（即两个图形重合时互相重合的点）叫做对称点．

直线CD是线段AB的对称轴，它垂直于线段AB，又平分线段AB，我们把这样垂直并且平分一条线段的直线称为这条线段的垂直平分线

线段的垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等．

如果一个图形关于某一条直线对称，那么连结对称点的线段的垂直平分线就是该图形的对称轴．

例1　如图10.2.2，△ABC中，BC＝10，边BC的垂直平分线分别交AB、BC于点E、D．BE＝6，求△BCE的周长．

平行四边形

有两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。

平行四边形的对边相等，对角相等．平行四边形的对角线互相平分。

平行四边形是中心对称图形

例如图在平行四边形ABCD中，已知∠A＝40°

，求其他各个内角的度数．已知AB＝8，周长等于24，求其余三条边的长．

例如图在平行四边形ABCD中，已知对角线AC和BD相交于点O，△AOB的周长为15，AB＝6，那么对角线AC与BD的和是多少?

2.如图，在平行四边形ABCD中，已知AC、BD相交于点O，两条对角线的和为２２厘米，CD的长为5厘米，求△OCD的周长．

3.在平行四边形ABCD中，∠A与∠B的度数之比为２∶３，求这个平行四边形各个内角的度数．

4.如图，已知平行四边形ABCD的周长为80cm，对角线AC与BD相交于点O，△AOB的周长比△AOD的周长小20cm，求这个平行四边形各边的长．

平行四边形的判定

1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。

（定义）

2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形．

3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。

4.两条对角线互相平分的四边形是平行四边形

5.两组对角分别相等的四边形是平行四边形。

例如图在平行四边形ABCD中，点E、F是对角线AC上的两点，且AE＝CF，求证：

四边形BFDE是平行四边形．

2．如图，在平行四边形ABCD中，已知AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的角平分线，试证明四边形AFCE是平行四边形．

例3如图，平行四边形ABCD中，AF＝CH，DE＝BG，求证：

EG和HF互相平分．

矩形：

平行四边形的内角，使其一个内角恰好为直角，就得到一种特殊的平行四边形，是长方形，即矩形

矩形作为特殊的平行四边形，平行四边形所具有的性质，矩形都具有。

此外矩形所具有的一些性质：

矩形的四个内角都是直角．矩形的对角线相等且互相平分．

矩形是中心对称图形，也是轴对称图形

例如图，矩形ABCD被两条对角线分成四个小三角形，如果四个小三角形的周长的和是86cm，对角线长是13cm，那么矩形的周长是多少?

例如图在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，BE⊥AC于E．试求出BE的长．

1.如图，在矩形ABCD中，E是边AD上的一点．试说明△BCE的面积与矩形ABCD的面积之间的关系．

2.如图，在矩形ABCD中，∠AOB＝60°

，AB＝3.6，试求AC与AD的长．（精确到0.1）

矩形的判定：

1.有一个角是直角的平行四边形是矩形．（定义）

2.对角线相等的平行四边形是矩形

3.有三个角是直角的四边形是矩形

1．如图，AB、CD是⊙O的两条直径，求证：

四边形ACBD是矩形

2.如图，△ABC中，AB=AC,AD、AE分别是∠A与∠A的外角的平分线，BE⊥AE.求证：

AB=DE.

3．如图，点P是矩形ABCD的边AD上的一个动点，矩形的两条边长AB、BC分别为8和15，求点P到矩形的两条对角线AC和BD的距离之和．（提示：

相似）

菱形是四条边都相等的四边形，它也是一组邻边相等的平行四边形。

菱形具有以下的性质：

菱形的四条边都相等．

菱形的对角线互相垂直平分，并且每一条对角线平分一组对角．

菱形是中心对称图形，也是轴对称图形

1.如图，在菱形ABCD中，AB＝5，OA＝4，求这一菱形的周长与两条对角线的长度．

2.求证：

菱形的面积等于它的两条对角线长的积的一半

例如图，已知菱形ABCD的边长为2cm，∠BAD＝120°

，对角线AC、BD相交于点O，试求这个菱形的两条对角线AC与BD的长．

菱形的判定：

1.有一组邻边相等的平行四边形是菱形。

2.对角线互相垂直的平行四边形是菱形．

3.四条边都相等的四边形是菱形

4.每条对角线平分一组对角的四边形是菱形

例如图，已知矩形ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于点E、F，求证：

四边形AFCE是菱形．

1．如图，AD是△ABC的一条角平分线，DE∥AC交AB于点E，DF∥AB交AC于点F.求证：

四边形AEDF是菱形.

2．如图，△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，DE⊥AC于E，DG⊥AB于G，EK⊥AB于K，GH⊥AC于H，EK和GH相交于点F．求证：

四边形DEFG是菱形．

3．如图，菱形ABCD的周长为2p，对角线AC、BD交于O，AC＋BD＝q，求菱形ABCD的面积．（提示：

利用两数和的平方公式（a+b）2=a2+2ab+b2与勾股定理）

正方形ABCD中，四条边都相等，四个角都是直角．

有一个角是直角的菱形；

有一组邻边相等的矩形．

正方形是中心对称图形，也是轴对称图形．

1.如图，已知矩形ABCD的一条对角线AC长8cm，两条对角线的一个交角∠AOB＝60°

．求这个矩形的周长．（精确到0.1cm）

2如图，已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD分别长6cm和8cm，求这个菱形的周长和它的面积．

3.利用矩形的对角线相等且互相平分这一性质，说明直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半．

正方形的判定：

1.有一个角是直角的菱形；

2.有一组邻边相等的矩形．

例如图，△ABC中，∠ACB＝90°

，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别为E、F．求证：

四边形CFDE是正方形．

1．如图，在△ABC中，∠ACB=90°

，CD平分∠ACB，DE⊥BC，DF⊥AC，垂足分别E、F，试证明四边形CFDE为正方形.

2．已知：

如图，点A′、B′、C′、D′分别是正方形ABCD四条边上的点,并且AA′=BB′=CC′=DD′.求证：

四边形A′B′C′D′是正方形.

3．如图，在正方形ABCD中，CE⊥DF．求证：

CE＝DF．

梯形

只有一组对边平行的四边形叫做梯形．两腰相等的梯形叫做等腰梯形；

有一个角是直角的梯形叫做直角梯形．

梯形总可以看成是一个平行四边形与一个三角形的组合，这也是我们解决有关梯形的问题时经常使用的方法．

等腰梯形是一个轴对称图形，因而有以下性质:

等腰梯形同一底边上的两个内角相等．

等腰梯形的两条对角线相等．

例如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，CE∥DA．已知AB＝8，DC＝5，DA＝6，求△CEB的周长．

1.梯形ABCD中，如果DC∥AB，AD＝BC，∠A＝60°

，DB⊥AD，那么∠DBC＝，∠C＝．

2.如图，在等腰梯形ABCD中，AB∥DC，E是DC延长线上的一点，BE＝BC，试说明∠A和∠E的关系．

4.如图，在矩形ABCD中，相邻两边AB、BC分别长15cm和25cm，内角∠BAD的角平分线与边BC交于点E．试求BE与CE的长度．

5.已知正方形ABCD的一条对角线AC长为4cm，求它的边长和面积．

6.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝BE，连结AE，并延长与DC的延长线交于点F，∠F＝62°

，求这个平行四边形各内角的度数．

7.如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，BC＝BD，∠A＝120°

，求梯形其他各内角的度数．

9.如图，在等腰梯形ABCD中，AB＝DC，∠B＝60°

，DE∥AB．试说明

（1）DE＝DC；

（2）△DEC是一个等边三角形．

10.梯形ABCD中，AD∥BC，且∠A＝2∠B＝4∠C，求∠D的度数．

等腰梯形的判定：

1.两腰相等的梯形是等腰梯形

2.在同一底上的两个角相等的梯形是等腰梯形

3.两条对角线相等的梯形是等腰梯形．

1．如图，△ABC中，AB=AC，DE∥BC.求证：

四边形DBCE是等腰梯形.

3．如图，E、F分别是矩形ABCD的对角线AC和BD上的点，且AE＝DF．求证：

四边形BCFE是等腰梯形．

2．在平行四边形ABCD中，点E、F为对角线AC上的三等分点，求证：

7．已知：

在△ABC中，∠C＝90°

，四边形ABDE、AGFC都是正方形，求证：

BG＝EC．

12.如图，在△ABC中，∠C＝90°

，∠A、∠B的平分线交于点D，DE⊥BC于点E，DF⊥AC于点F.求证：

四边形CFOE是正方形．

13．已知△ABC与△ADE都是等边三角形，CD＝BF，求证：

四边形CDEF是平行四边形．

14．在平行四边形ABCD中，过对角线AC的中点O作直线EF分别与AD、BC交于点E、F，连结BE、AF交于点G，连结EC、FD交于点H，图中有几个平行四边形，为什么？