圆锥曲线题型总结圆锥曲线常考模型背景精品.docx

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圆锥曲线题型总结圆锥曲线常考模型背景精品

圆锥曲线常考背景模型

模型一：

左顶点A（-a,0）B（a,0）.Q（m,n）（mn≠0,不在E上，QA，QB分别交E于点C，D，直线CD交x轴于点P，则有.

【2010•江苏理18】在平面直角坐标系xoy中，如图，已知椭圆=1的左、右顶点为A、B，右焦点为F．设过点T（9，m）的直线TA、TB与椭圆分别交于点M（x1，y1）、N（x2，y2），其中m＞0，y1＞0，y2＜0．求证：

直线MN必过x轴上的一定点（其坐标与m无关）．

【解法1】直线MTA方程为：

，即，

直线NTB方程为：

，即．

分别与椭圆联立方程组，同时考虑到x1≠﹣3，x2≠3，

解得：

、．

（方法一）当x1≠x2时，

直线MN方程为：

令y=0，解得：

x=1．此时必过点D（1，0）；

当x1=x2时，直线MN方程为：

x=1，与x轴交点为D（1，0）．

所以直线MN必过x轴上的一定点D（1，0）．

（方法二）若x1=x2，则由及m＞0，得，

此时直线MN的方程为x=1，过点D（1，0）．

若x1≠x2，则，直线MD的斜率，

直线ND的斜率，得kMD=kND，所以直线MN过D点．

因此，直线MN必过x轴上的点（1，0）．

【解法2】设MN：

x=ky+a，因为与共线，所以（）=λ（12，m）,又整理得，同理由与共线得，联立方程整理得（5+9）+10aky+5-45=0,则；，两式相除得，解得a=1.故直线过定点（1,0）

【解法3】设MN与x轴的交点为P（，0）由结论知=9，从而解得=1，故直线过定点（1,0）。

【变式1】已知C,D分别是椭圆长轴的左右端点，动点M满足MD⊥CD，连接CM交椭圆于P，证明为定值。

【解析】C（-2,0），D（2,0），设M（2，t）,直线CM：

y=（x+2）,联立方程整理得，则，解得则,P（,）.=（,）.,则==4，故为定值。

【变式2】已知A,B分别是椭圆长轴的上下顶点,点P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP，BP分别交x轴于M,N，证明。

【解析】A（0，b）,B（0,-b）,设BP：

y=kx-b,则M（，0），联立整理得，解得，，则直线AP的斜率为，于是直线AP的方程为y=,则N（），故（）•（，0）=。

【变式3】已知A,B分别是椭圆长轴的左右顶点,点P是椭圆上异于顶点的任意一点，直线AP，BP分别交y轴于M,N，证明。

【解析】A（-a，0）,B（a,0）,设BP：

y=k（x-a）,则M（0，-ka），联立整理得，解得，，则直线AP的斜率为，于是直线AP的方程为y=,则M（），故。

【2006湖北理20】设、分别为椭圆的左、右顶点，为右准线上不同于点（4，0）的任意一点，若直线、分别与椭圆相交于异于、的点、，证明点在以为直径的圆内.

【解法1】由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x0，y0）.

∵M点在椭圆上，∴y0＝（4－x02）.

又点M异于顶点A、B，∴－2

P（4，）.从而＝（x0－2，y0），＝（2，）.

∴·＝2x0－4＋＝（x02－4＋3y02）.

将代入，化简得·＝（2－x0）.

∵2－x0>0，∴·>0，则∠MBP为锐角，从而∠MBN为钝角，

故点B在以MN为直径的圆内。

【解法2】由（Ⅰ）得A（－2，0），B（2，0）.设M（x1，y1），N（x2，y2），

则－2

依题意，计算点B到圆心Q的距离与半径的差

－＝（－2）2＋（）2－[（x1－x2）2＋（y1－y2）2]

＝（x1－2）（x2－2）＋y1y1

又直线AP的方程为y＝，直线BP的方程为y＝，

而点两直线AP与BP的交点P在准线x＝4上，

∴，即y2＝

又点M在椭圆上，则，即

于是将、代入，化简后可得－＝.

从而，点B在以MN为直径的圆内。

【解法3】设MN交x轴于点H（，0），又，则4=4，解得=1，所以MN过定点（1,0）,即椭圆右焦点，所以,而B到直线MN的距离h≤=1.即B到直线MN的距离小于半径，故点B在以MN为直径的圆内。

模型二：

左顶点A（-a,0）B（a,0）.M（s,t）的直线l与E交于C，D两点，与交x轴于点P，直线AC与直线BD交于，直线AD与直线BC交于点，则有.且直线垂直于x轴。

【2011•四川21】椭圆有两顶点A（﹣1，0）、B（1，0），过其焦点F（0，1）的直线l与椭圆交于C、D两点，并与x轴交于点P．直线AC与直线BD交于点Q．当点P异于A、B两点时，求证：

为定值．

【解析】证明：

当直线l与x轴垂直时与题意不符，

设直线l的方程为y=kx+1，（k≠0，k≠±1），C（x1，y1），D（x2，y2），

∴P点的坐标为（﹣，0），

由（Ⅰ）知x1+x2=﹣，x1•x2=﹣，

且直线AC的方程为y=，且直线BD的方程为y=，

将两直线联立，消去y得，

∵﹣1＜x1，x2＜1，∴与异号，

=

=，

y1y2=k2x1x2+k（x1+x2）+1==﹣，

∴与y1y2异号，与同号，

∴=，解得x=﹣k，

故Q点坐标为（﹣k，y0），

=（﹣，0）•（﹣k，y0）=1，

故为定值．

【2011四川文21】过点C（0，1）的椭圆的离心率为，椭圆与x轴交于两点、，过点C的直线l与椭圆交于另一点D，并与x轴交于点P，直线AC与直线BD交于点Q．

当点P异于点B时，求证：

为定值．

【解析】当直线与轴垂直时与题意不符．

设直线的方程为．代入椭圆方程得．

解得，代入直线的方程得，

所以D点的坐标为．

又直线AC的方程为，又直线BD的方程为，联立得

因此，又．

所以．

故为定值．

模型三：

，A,B为E上的动点且AB垂直于x轴，M（t,0）为一定点，连接MA交E于点N，则BN恒过定点P（，0）.此时

【证明过程】设B（），N（），则A（），设BN：

y=kx+m,联立方程

：

消y得：

由A,M,N三点共线，则,即，整理得，即-=2mt

化简可得，解得m=-.则y=k（x-）,所以直线恒过点P（，0），此时，故。

【2012湖北模拟】已知椭圆，过点F（2,0）的直线交椭圆于A,C两点，已知点A与点B关于x轴对称，证明直线BC与轴相交于一个定点，并求出该定点坐标。

【解析】设B（），C（），则A（），设BC：

y=kx+m,联立方程

：

消y得：

因为

则，整理得，则+-4m=0，解得m=-4k,则直线可以表示为y=k（x-4）,所以y=kx+m过点（4,0）.故直线BC与x轴相交于一个定点（4，0）。

【2012北京理19】已知曲线C.曲线与轴的交点为，（点位于点的上方），直线与曲线交于不同的两点，，直线与直线交于点，求证：

，，三点共线.

【解析】由已知直线代入椭圆方程化简得：

，

，解得：

由韦达定理得：

①，，②

设，，

方程为：

，则，

，，

欲证三点共线，只需证，共线

即成立，化简得：

将①②代入易知等式成立，则三点共线得证。

【2010全国卷1理21】已知抛物线的焦点为F，过点的直线与相交于、两点，点A关于轴的对称点为D.证明：

点F在直线BD上；

【解析】设D（），B（），则A（），设BD：

y=kx+m,联立方程

消y得：

由K,A,B三点共线，所以

即，整理得，即++2m=0，解得m=-k,则直线可以表示为y=k（x-1）,所以y=kx+m过点（1,0）.点F在直线BD上；

【结论】A,B为E：

上的动点且关于x轴对称，M（t,0）为一定点，连接MA交E于点N，则BN恒过定点P（-t,0）,此时。

模型5：

过曲线内部一点P（m,0）（0

【2007年福建理20】如图，已知点F（1，0），直线l：

＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且.

（1）求动点P的轨迹C的方程；

（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，已知，，求的值.

【解析】（Ⅰ）设点,则,由得:

化简得.

（Ⅱ）设直线的方程为:

.

设,,又,

联立方程组,消去得:

,故

由,得:

,整理得:

,

.

（Ⅰ）由得:

.

所以点的轨迹是抛物线,由题意,轨迹的方程为:

.

（Ⅱ）由已知,,得.

则:

.…………①

过点分别作准线的垂线,垂足分别为,,

则有:

.…………②

由①②得:

即.

模型6：

设M（m,0）（m>0）是曲线E:

对称轴上一点，l:

x=是定直线，过M作直线交曲线E于A,B两点，N是定直线l上任意一点，则直线AN,MN,BN的斜率成等差数列。

设M（m,0）（m>0）是抛物线（p>0）对称轴上一点，l:

x=-m是定直线，过M作直线交抛物线于A,B两点，N是定直线l上任意一点，则直线AN,MN,BN的斜率成等差数列。

【2013江西理20）（本小题满分13分）如图，椭圆C：

，直线l的方程为x＝4.

（1）求椭圆C的方程；

（2）AB是经过右焦点F的任一弦（不经过点P），设直线AB与直线l相交于点M，记PA，PB，PM的斜率分别为k1，k2，k3.问：

是否存在常数λ，使得k1＋k2＝λk3？

若存在，求λ的值；若不存在，说明理由．

【解析】

（1）由P在椭圆上得，，①

依题设知a＝2c，则b2＝3c2，②

②代入①解得c2＝1，a2＝4，b2＝3.

故椭圆C的方程为.

（2）方法一：

由题意可设AB的斜率为k，

则直线AB的方程为y＝k（x－1），③

代入椭圆方程3x2＋4y2＝12并整理，得（4k2＋3）x2－8k2x＋4（k2－3）＝0.

设A（x1，y1），B（x2，y2），则有

x1＋x2＝，x1x2＝，④

在方程③中令x＝4得，M的坐标为（4,3k）．

从而，，.

注意到A，F，B共线，则有k＝kAF＝kBF，即有.

所以k1＋k2＝

.⑤

④代入⑤得k1＋k2＝＝2k－1，

又k3＝，所以k1＋k2＝2k3.

故存在常数λ＝2符合题意．

（2）方法二：

设B（x0，y0）（x0≠1），则直线FB的方程为：

，

令x＝4，求得M，

从而直线PM的斜率为.

联立

得A，

则直线PA的斜率为：

，直线PB的斜率为：

，

所以k1＋k2＝＝2k3，

故存在常数λ＝2符合题意．

【2013江西，文20】椭圆C：

（a＞b＞0）的离心率，a＋b＝3.

（1）求椭圆C的方程；

（2）如图，A，B，D是椭圆C的顶点，P是椭圆C上除顶点外的任意一点，直线DP交x轴于点N，直线AD交BP于点M，设BP的斜率为k，MN的斜率为m.证明：

2m－k为定值．

【解析】

（1）因为，

所以，.

代入a＋b＝3，得，a＝2，b＝1.

故椭圆C的方程为.

（2）方法一：

因为B（2,0），P不为椭圆顶点，则直线BP的方程为y＝k（x－2），①

①代入，解得P.

直线AD的方程为：

.②

①与②联立解得M.

由D（0,1），P，N（x,0）三点共线知，解得N.

所以MN的斜率为m＝，

则2m－k＝（定值）．

方法二：

设P（x0，y0）（x0≠0，±2），则，

直线AD的方程为：

，

直线BP的方程为：

，

直线DP的方程为：

，令y＝0，由于y0≠1可得N，

联立

解得M，

因此MN的斜率为

m＝

＝

＝

＝，

所以2m－k＝

＝

＝

＝

＝（定值）．