2131导数试题Word文档下载推荐.docx
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0，g′（x）>
0，则x<
0时（ ）
A．f′（x）>
0B．f′（x）>
0，g′（x）<
C．f′（x）<
0D．f′（x）<
[答案] B
[解析] f（x）为奇函数，g（x）为偶函数，奇（偶）函数在关于原点对称的两个区间上单调性相同（反），∴x<
0.
4．（2013·
武汉市实验中学高二期末）设p：
x3＋2x2＋mx＋1在（－∞，＋∞）内单调递增，q：
m>
，则p是q的（ ）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件
[解析] f′（x）＝3x2＋4x＋m，∵f（x）在R上单调递增，∴f′（x）≥0在R上恒成立，∴Δ＝16－12m≤0，
∴m≥
，故p是q的必要不充分条件．
5．设f′（x）是函数f（x）的导函数，y＝f′（x）的图象如图所示，则y＝f（x）的图象最有可能的是（ ）
[答案] C
[分析] 由导函数f′（x）的图象位于x轴上方（下方），确定f（x）的单调性，对比f（x）的图象，用排除法求解．
[解析] 由f′（x）的图象知，x∈（－∞，0）时，f′（x）>
0，f（x）为增函数，x∈（0,2）时，f′（x）<
0，f（x）为减函数，x∈（2，＋∞）时，f′（x）>
0，f（x）为增函数．
只有C符合题意，故选C.
6．函数y＝xsinx＋cosx，x∈（－π，π）的单调增区间是（ ）
A.
和
B.
C.
D.
[解析] y′＝xcosx，当－π<
－
时，
cosx<
0，∴y′＝xcosx>
0，
当－
<
0时，cosx>
0，∴y′＝xcosx<
当0<
时，cosx>
当
π时，cosx<
0，故选A.
二、填空题
7．已知y＝
x3＋bx2＋（b＋2）x＋3在R上不是单调增函数，则b的取值范围为________．
[答案] b<
－1或b>
2
[解析] 若y′＝x2＋2bx＋b＋2≥0恒成立，则Δ＝4b2－4（b＋2）≤0，∴－1≤b≤2，
由题意b＜－1或b＞2.
8．函数y＝ln（x2－x－2）的单调递减区间为__________．
[答案] （－∞，－1）
[解析] 函数y＝ln（x2－x－2）的定义域为
（2，＋∞）∪（－∞，－1），
令f（x）＝x2－x－2，f′（x）＝2x－1<
0，得x<
，
∴函数y＝ln（x2－x－2）的单调减区间为（－∞，－1）．
9．函数y＝x3－x2－x的单调递增区间为________．
[答案] （－∞，－
），（1，＋∞）
[解析] ∵y′＝3x2－2x－1＝（3x＋1）（x－1），
∴由y′>
0得，x>
1或x<
.
三、解答题
10．已知曲线y＝x3＋3x2＋6x－10，点P（x，y）在该曲线上移动，在P点处的切线设为l.
（1）求证：
此函数在R上单调递增；
（2）求l的斜率的取值范围．
[解析]
（1）证明：
y′＝3x2＋6x＋6＝3（x2＋2x＋1）＋3＝3（x＋1）2＋3>
0恒成立，∴此函数在R上递增．
（2）解：
由
（1）知f′（x）＝3（x＋1）2＋3≥3，
∴l的斜率的取值范围是k≥3.
能力拓展提升
11．（2012·
天津理，4）函数f（x）＝2x＋x3－2在区间（0,1）内的零点个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
[解析] 本小题考查函数的零点与用导数判断函数的单调性，考查分析问题、解决问题的能力．
∵f（x）＝2x＋x3－2,0<
1，∴f′（x）＝2xln2＋3x2>
0在（0,1）上恒成立，∴f（x）在（0,1）上单调递增．
又f（0）＝20＋0－2＝－1<
0，f
（1）＝2＋1－2＝1>
0，f（0）f
（1）<
0，则f（x）在（0,1）内至少有一个零点，
又函数y＝f（x）在（0,1）上单调递增，则函数f（x）在（0,1）内有且仅有一个零点．
[点评] 有时也可以把函数零点的个数转化成两函数图象的公共点个数．
12．函数y＝x3＋ax＋b在（－1,1）上为减函数，在（1，＋∞）上为增函数，则（ ）
A．a＝1，b＝1B．a＝1，b∈R
C．a＝－3，b＝3D．a＝－3，b∈R
[答案] D
[解析] f′（x）＝3x2＋a，由条件f′
（1）＝0，
∴a＝－3，b∈R.
[点评] 如果f（x）在（a，b）上单调增（减），在（b，c）上单调减（增），且f（b）有定义，则必有f′（b）＝0.
13．若函数y＝f（x）的导函数在区间[a，b]上是增函数，则函数y＝f（x）在区间[a，b]上的图象可能是（ ）
[解析] 考查导函数的基本概念及导数的几何意义．
∵导函数f′（x）是增函数，
∴切线的斜率随着切点横坐标的增大，逐渐增大，
故选A.
[点评] B图中切线斜率逐渐减小，C图中f′（x）为常数，D图中切线斜率先增大后减小．
14．已知函数y＝xf′（x）的图象如图
（1）所示（其中f′（x）是函数f（x）的导函数），下面四个图象中，y＝f（x）的图象大致是（ ）
[解析] 当0<
1时xf′（x）<
∴f′（x）<
0，故y＝f（x）在（0,1）上为减函数．
当x>
1时xf′（x）>
0，∴f′（x）>
0，故y＝f（x）在（1，＋∞）上为增函数，因此否定A、B、D故选C.
15．已知函数f（x）＝x3－ax2＋4，若函数y＝f（x）在（0,2）内单调递减，则实数a的取值集合是____________；
若函数y＝f（x）的单调递减区间是（0,2），则实数a的取值集合是________．
[答案] {a|a>
3} {3}
[解析] y′＝3x2－2ax，
（1）由题意知3x2－2ax≤0在区间（0,2）内恒成立，
即a≥
x在区间（0,2）上恒成立，∴a≥3.
（2）由题意不等式3x2－2ax<
0的解集是（0,2），∴
＝2，∴a＝3.
[点评] 要注意区分f（x）在区间A内单调递减和f（x）的单调递减区间为A.
16．设函数f（x）＝x3－3ax2＋3bx的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11）．
（1）求a、b的值；
（2）讨论函数f（x）的单调性．
[解析]
（1）求导得f′（x）＝3x2－6ax＋3b.
由于f（x）的图象与直线12x＋y－1＝0相切于点（1，－11），所以f
（1）＝－11，f′
（1）＝－12，
即
解得a＝1，b＝－3.
（2）由a＝1，b＝－3得
f′（x）＝3x2－6ax＋3b＝3（x2－2x－3）
＝3（x＋1）（x－3）．
令f′（x）>
0，解得x<
－1或x>
3；
又令f′（x）<
0，解得－1<
3.
所以当x∈（－∞，－1）时，f（x）是增函数；
当x∈（3，＋∞）时，f（x）也是增函数；
当x∈（－1,3）时，f（x）是减函数．
17．设函数f（x）＝x（ex－1）－ax2.
（1）若a＝
，求f（x）的单调区间；
（2）当x≥0时f（x）≥0，求a的取值范围．
[解析]
（1）a＝
时，f（x）＝x（ex－1）－
x2，
f′（x）＝ex－1＋xex－x＝（ex－1）（x＋1）．
当x∈（－∞，－1）时，f′（x）>
0；
当x∈（－1,0）时，f′（x）<
当x∈（0，＋∞）时，f′（x）>
故f（x）在（－∞，－1]，[0，＋∞）上单调递增，在[－1，0]上单调递减．
（2）f（x）＝x（ex－1－ax）．
令g（x）＝ex－1－ax，则g′（x）＝ex－a.
若a≤1，则当x∈（0，＋∞）时，g′（x）>
0，g（x）为增函数，而g（0）＝0，从而当x≥0时g（x）≥0，即f（x）≥0.
当a>
1，则当x∈（0，lna）时，g′（x）<
0，g（x）为减函数，而g（0）＝0，从而当x∈（0，lna）时g（x）<
0，即f（x）<
0，不合题意．
综合得a的取值范围为（－∞，1]．
1．已知函数f（x）＝x3＋ax2＋（2a－3）x－1.
（1）若f（x）的单调减区间为（－1,1），则a的取值集合为________．
（2）若f（x）在区间（－1,1）内单调递减，则a的取值集合为________．
[答案]
（1）{0}
（2）{a|a<
0}
[解析] f′（x）＝3x2＋2ax＋2a－3＝（x＋1）（3x＋2a－3）．
（1）∵f（x）的单调减区间为（－1,1），
∴－1和1是方程f′（x）＝0的两根，
∴
＝1，∴a＝0，∴a的取值集合为{0}．
（2）∵f（x）在区间（－1,1）内单调递减，∴f′（x）<
0在（－1,1）内恒成立，又二次函数y＝f′（x）开口向上，一根为－1，∴必有
>
1，∴a<
∴a的取值集合为{a|a<
0}．
[点评] f（x）的单调减区间为（m，n），则必有f′（m）＝0，f′（n）＝0或x＝m，x＝n是函数f（x）的不连续点，f（x）在区间（m，n）上单调递减，则（m，n）是f（x）的单调减区间的子集，f′（x）≤0在（m，n）上恒成立．
2．已知函数f（x）＝ax－lnx，若f（x）＞1在区间（1，＋∞）内恒成立，实数a的取值范围为________．
[答案] a≥1
[解析] 由已知a＞
在区间（1，＋∞）内恒成立．
设g（x）＝
，则g′（x）＝－
＜0 （x＞1），
∴g（x）＝
在区间（1，＋∞）内单调递减，
∴g（x）＜g
（1），
∵g
（1）＝1，
＜1在区间（1，＋∞）内恒成立，
∴a≥1.
3．求证：
方程x－
sinx＝0只有一个根x＝0.
[证明] 设f（x）＝x－
sinx，x∈（－∞，＋∞），
则f′（x）＝1－
cosx＞0，
∴f（x）在（－∞，＋∞）上是单调递增函数．
而当x＝0时，f（x）＝0，
∴方程x－
sinx＝0有唯一的根x＝0.
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