东北大学线性代数第五章课后习题详解 特征值与特征向量.docx

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东北大学线性代数第五章课后习题详解特征值与特征向量

基本教学要求：

1.理解矩阵的特征值与特征向量的概念，会求矩阵的特征值与特征向量.

2.了解相似矩阵的概念和性质.

3.了解矩阵对角化的充分必要条件和对角化的方法.

4.会用正交矩阵把实对称矩阵相似对角化.

第五章矩阵的特征值与特征向量

一、矩阵的特征值与特征向量（P107）

1.定义

定义5.1设A为n阶矩阵，如果存在数λ0和非零向量ξ，使得

Aξ=λ0ξ，（5.1）

则称λ0是A的特征值，ξ是A的属于特征值λ0的一个特征向量.

特征值与特征向量的含义：

非零向量ξ使Aξ=λ0ξ

（λ0E-A）x=ο有非零解ξ

det（λ0E-A）=0

λ0是方程det（λE-A）=0的根

定义5.2设A为n阶矩阵，称行列式det（λE-A）为矩阵A的特征多项式，det（λE-A）=0为矩阵A的特征方程.

易见，若A=diag（λ1,λ2,…,λn），则λ1,λ2,…,λn是A的全部特征值.

2.求特征值与特征向量的步骤

步骤1：

计算A的特征多项式det（λE-A）；

步骤2：

因式分解det（λE-A），求出全部特征值λ1,λ2,…,λn；

步骤3：

解齐次线性方程组（λiE-A）x=ο（i=1,2,…,n），求属于λi的特征向量.

例5.1（例5.1P108）

例5.2（例5.2P109）

两例说明，不同的矩阵可以有完全相同的特征值.

例5.3（例5.3P110）这是一种类型题

3.特征值与特征向量的性质（P110）

性质5.1设λ1,λ2,…,λn是n阶矩阵A的全部特征值，则

，（5.2）

.（5.3）

其中a11+a22+…+ann称为矩阵A的迹.（性质5.1P110）

推论矩阵A可逆的充分必要条件是A的特征值都不为零.（推论P110）

性质5.2设λ是矩阵A的特征值，ξ是A的属于λ的特征向量，p（x）是关于x的多项式，则p（λ）是矩阵p（A）的特征值，ξ是p（A）属于特征值p（λ）的特征向量.（性质5.2P110）

例5.4（例5.4P111）设三阶矩阵A的特征值是1,2,3，求行列式|A*-3A+2E|.

解A（A*-3A+2E）=|A|E-3A2+2A=-3A2+2A+6E

|A*-3A+2E|=|-3A2+2A+6E|/|A|

=（-3×12+2×1+6）（-3×22+2×2+6）（-3×32+2×3+6）/6

=5×（-2）×（-15）/6=25.

注意：

如果A不可逆，在本题的条件下是不能计算|A*-3A+2E|的.

性质5.3设λ1,λ2,…,λs是矩阵A的互异特征值，ξ1,ξ2,…,ξs是分别属于它们的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs线性无关.（性质5.3P111）

性质5.4设λ1,λ2是矩阵A的两个互异的特征值，ξ1,ξ2,…,ξs和η1,η2,…,ηt分别是属于λ1,λ2的线性无关的特征向量，那么ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关.（性质5.4P111）

证设数k1,k2,…,ks和l1,l2,…,lt使

k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs+l1η1+k2η2+…+ktηt=ο.

（1）

令ξ=k1ξ1+k2ξ2+…+ksξs，η=l1η1+k2η2+…+ktηt，则ξ,η分别是λ1,λ2的特征向量.

若ξ≠ο，则η=-ξ≠ο，那么由已知条件可知，k1,k2,…,ks与l1,l2,…,lt都不全为零，但ξ+η=ο却与性质5.3矛盾.矛盾说明ξ=η=ο，式

（1）成立当且仅当k1=k2=…=ks=l1=l2=…=lt=0，即ξ1,ξ2,…,ξs,η1,η2,…,ηt线性无关.

推论矩阵A的全部互异特征值的所有线性无关的特征向量都是线性无关的.（P112）

二、矩阵相似对角化（P112）

1.定义

定义5.3设A,B为n阶矩阵，若有可逆矩阵P，使

P-1AP=B，

则称B是A的相似矩阵，或称A与B相似，称运算P-1AP是对A做相似变换，P是把A变为B的相似变换矩阵.

A相似BP,P-1AP=B.

2.矩阵相似的性质

定理5.1相似矩阵有相同的特征值.（定理5.1P112）.

证因为A相似BP,P-1AP=B，所以

det（λE-B）=det（λE-P-1AP）=det[P-1（λE-A）P]

=det（P-1）det（λE-A）det（P）=det（λE-A）.

从而A与B有相同的特征值.

定理5.1的逆命题不成立.例如，与的特征值相同，但它们不相似.

推论1若A与对角矩阵diag（λ1,λ2,…,λn）相似，则λ1,λ2,…,λn是A的n个特征值.（推论P112）

推论2若A与B相似，则det（A）=det（B）.

推论3设A与B相似，f（x）是多项式，则f（A）与f（B）相似，且det[f（A）]=det[f（B）].

例5.5（例5.5P112）设矩阵与相似，求a,b的值.

解A与B相似

例5.6设A与D相似，且D=diag（-1,2,0,1），求det（2A5-3A4+A2-4E）.

解A与D相似2A5-3A4+A2-4E与2D5-3D4+D2-4E相似

|2A5-3A4+A2-4E|=|2D5-3D4+D2-4E|

=（2×（-1）5-3×（-1）4+（-1）2-4）（2×25-3×24+22-4）（-4）（2×15-3×14+12-4）

=-211.

3.矩阵相似对角化（P113）

分析：

A与D=diag（λ1,λ2,…,λn）相似P,P-1AP=D.

若设P=（ξ1,ξ2,…,ξn），则

P-1AP=DA（ξ1,ξ2,…,ξn）=（ξ1,ξ2,…,ξn）D

Aξi=λiξi,i=1,2,…,n

ξi（i=1,2,…,n）是A的属于λi的特征向量，且ξ1,ξ2,…,ξn线性无关

由此，有如下重要结论：

定理5.2n阶矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量.（定理5.2P114）

推论如果n阶矩阵A有n个互异的特征值，则A与对角矩阵相似.（推论P114）

例如，例5.1中的A不能与对角矩阵相似，而例5.2中的A与diag（1,1,4）相似.

例5.7对于例5.2中的A，求A2014.

解由于A的3个特征向量ξ1=（2,-1,0）T,ξ2=（4,0,-1）T,ξ3=（1,1,0）T线性无关，所以A与diag（1,1,4）相似.令P=（ξ3,ξ1,ξ2），则A=Pdiag（4,1,1）P-1，

关于特征值与特征向量，还有如下结论.

定理5.3设λ0是n阶矩阵A的k重特征值，则属于λ0的线性无关的特征向量的个数不大于k.（定理5.3P115）

定理5.3表明，若λ是n阶矩阵A的k重特征值，则n-R（λ0E-A）≤k，且A的线性无关特征向量的总数≤n.

推论设λ1,λ2,…,λs是n阶矩阵A的全部互异特征值，其重数分别为k1,k2,…,ks，那么矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是属于λi（i=1,2,…,s）的线性无关的特征向量恰有ki个，即R（λiE-A）=n-ki（i=1,2,…,s）.（推论2P116）

推论表明，矩阵A与对角矩阵相似的充分必要条件是，每个特征值的重数等于属于它的线性无关特征向量的个数.

例如，例5.1、例5.2.

例5.8（例5.6P116）

把矩阵A相似变换为对角矩阵的步骤：

步骤1求n阶矩阵A的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs；

步骤2求齐次线性方程组（λiE-A）x=ο（i=1,2,…,s）的基础解系（即求A的n个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn）；

步骤3相似变换矩阵P=（ξ1,ξ2,…,ξn），P使得

.

三、实对称矩阵的相似对角化

1.实对称矩阵的特征值与特征向量的性质

定理5.4实对称矩阵的特征值都是实数.（定理5.4P117）

定理5.4表明：

实对称矩阵的特征向量必为实向量，从而每个特征值的特征向量空间的“基础解系”可正交化.

定理5.5实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量是正交的.（定理5.5P118）

定理5.5表明：

实对称矩阵不同特征值的特征向量空间的“基础解系”互相正交.

例5.9（例5.7P118）设3阶实对称矩阵A不可逆，且满足，求矩阵A的全部特征值与特征向量.

解已知条件表明k（1,1,0）T（k≠0）是A的属于1的全部特征向量，k（0,0,1）T（k≠0）是A的属于3的全部特征向量.由于A不可逆，所以1,3,0是A的全部特征值，且属于0的一个特征向量显然为（1,-1,0）T，属于0的全部特征向量为k（1,-1,0）T（k≠0）.

2.实对称矩阵的正交相似对角化（P118）

定理5.6设A为实对称矩阵，则必有正交矩阵Q，使Q-1AQ=QTAQ为对角矩阵.（定理5.6P118）

定理5.6指出，实对称矩阵必相似对角矩阵，且可正交相似对角矩阵.结合定理5.3的推论，有如下结论.

推论设λ0是n阶实对称矩阵A的k重特征值，那么属于λ0的线性无关的特征向量恰有k个.（推论P120）

把实对称矩阵正交相似对角化的步骤（P120）

步骤1求n阶矩阵A的全部互异特征值λ1,λ2,…,λs；

步骤2求齐次线性方程组（λ1E-A）x=ο（i=1,2,…,s）的基础解系（即求A的n个线性无关的特征向量ξ1,ξ2,…,ξn）；

步骤3将每个基础解系分别正交化、规范化（即求n个正交规范的线性无关的特征向量ε1,ε2,…,εn）；

步骤4正交相似变换矩阵为Q=（ε1,ε2,…,εn），Q使得

.

例5.10（例5.8P121）

例5.11（例5.9P122）设3阶实对称矩阵A的特征值为1,-1,0，向量α1=（1,1,0）T,α2=（0,0,1）T分别是属于特征值1和-1的特征向量，求矩阵A和An.

解易见，α3=（1,-1,0）T是属于特征值0的特征向量，正交相似变换矩阵使得

四、习题（P127）

选择题

1.C

2.B

3.D

4.B

提示：

方法一两矩阵相似0,2,b是3个特征值

|2E-A|=0,|bE-A|=0

a=0,b任意

选B

方法二两矩阵相似0,2,b是3个特征值

当a=0，得λ1=0,λ2=（b+2+|b-2|）/2,λ3=（b+2-|b-2|）/2.此时，

若b≥2，得λ1=0,λ2=b,λ3=2；若b<2，得λ1=0,λ2=2,λ3=b.故选B.

当a=2,b=0，得λ1=0,λ2=4,λ3=-2，排除C,D.

5.B

提示：

6.D

提示：

方法一

设λ是A的特征值，则

λ2+λ=0（λ2+λ是A2+A的特征值）

λ=0或1（说明A的特征值只能是0或1）

R（A）=30是A的单特征值-1是A的3重特征值

选D

方法二R（A）=30是A的单特征值

A2+A=OA（A+E）=OR（A）+R（A+E）≤4

E+A-A=E4≤R（E+A）+R（A）

R（E+A）=1-1是A的3重特征值

选D

二、填空题

1.提示：

设λ是βαT的非零特征值，ξ是βαT属于λ的特征向量

（βαT）ξ=λξ（βαT）（βαT）ξ=λ（βαT