集合讲义教师版Word文档格式.docx
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选C．
3.在集合A={1，a2-a-1，a2-2a+2}中，a的值可以是（）
A．0
B．1
C．2
D．1或2
当a=0时，a2-a-1=-1，a2-2a+2=2，
当a=1时，a2-a-1=-1，a2-2a+2=1，
当a=2时，a2-a-1=1，a2-2a+2=2，
由集合中元素的互异性知：
选A．
4.已知集合
，
，且
与
的元素完全相同，
求
的值
由M={a，a+d，a+2d}，P={a，aq，aq2}，其中a≠0，
则d≠0，q≠0，±
1．
∵M=P，
∴①
或②
解得①q=1，舍去；
解得②：
q=1/2或-1，其中q=-1舍去．
∴q=1/2，
综上可得：
q=1/2．
5.（2015上海模拟）a、b∈R,集合{1，a+b，a}={0，
，b}，则b-a=
根据题意，集合{1，a+b，a}＝{0，ba，b}，
又∵a≠0，
∴a+b=0，即a=-b，
∴ba＝−1，
b=1；
故a=-1，b=1，
则b-a=2，
6.已知集合
，若
，则
__________
可以解得x=-1y=0所以
-1
三．几种集合的命名
自然数集：
N；
正整数集：
N*或N+；
整数集：
Z；
有理数集：
Q；
实数集：
R。
四．集合的分类
单元素集合：
集合中有且只有一个元素；
有限集：
含有有限个元素的集合；
无限集：
含有无限个元素的集合；
空集：
不包含任何元素的集合叫做空集，用Ф表示；
（区分0、{Ф}、{0}）解题的陷阱，一定要记得空集）
五．元素与集合之间的关系与运算
集合和元素之间的关系是属于（∈）和不属于（
）
判断一个元素与集合的关系
1.（2014•浙江模拟）设集合M={0，1，2}，则（ ）
A．1∈MB．2∉MC．3∈MD．{0}∈M
由题意，集合M中含有三个元素0，1，2．
∴A选项1∈M，正确；
B选项2∉M，错误；
C选项3∈M，错误，D选项{0}∈M，错误；
故选：
A．
2.（2014•宜昌模拟）已知集合A={x|x2-3x+a＞0，x∈R}，且1∉A，则实数a的取值范围是（ ）
A．（-∞，2]B．[2，+∞）C．（-∞，-2]D．[-2，+∞）
∵1∉A，
∴1∈∁RA，
即1-3+a≤0，
解得a≤2，
故实数a的取值范围是（-∞，2]，
3.（2014•天门模拟）设集合A={-2，0，1，3}，集合B={x|-x∈A，1-x∉A}，则集合B中元素的个数为（ ）
A．1B．2C．3D．4
若x∈B，则-x∈A，
∴x的可能取值为：
2，0，-1，-3，
当2∈B时，则1-2=-1∉A，
∴2∈B；
当0∈B时，则1-0∈A，
∴0∉B；
当-1∈B时，则1-（-1）=2∉A，
∴-1∈B；
当-3∈B时，则1-（-3）=4∉A，
∴-3∈B，
综上，B={-3，-1，2}，
所以，集合B含有的元素个数为3，
故选C
4.（2014•聊城一模）定义A-B={x|x∈A且x∉B}，已知A={2，3}，B={1，3，4}，则A-B=（ ）
A．{1，4}B．{2}C．{1，2}D．{1，2，3}
∵A={2，3}，B={1，3，4}，
又∵A-B={x|x∈A且x∉B}，
∴A-B={2}
故选B．
5.（2014•洛阳一模）已知集合A={1，2，4}，则集合B={（x，y）|x∈A，y∈A}中元素的个数为（ ）
A．3B．6C．8D．9
∵A={1，2，4}，x∈A，y∈A，
∴当x=1时，y=1，2，4，此时对应3个点（1，1），（1，2），（1，4）．
当x=2时，y=1，2，4，此时对应3个点（2，1），（2，2），（2，4）．
当x=4时，y=1，2，4，此时对应3个点（4，1），（4，2），（4，4）．
故集合B含有9个元素．
D．
6.（2014•浙江模拟）定义集合P={x|x=3k+1，x∈Z}，Q={x|x=3k-1，x∈Z}，M={x|x=3k，x∈Z}，若a∈P，b∈Q，c∈M，则a2+b-c∈（ ）
A．PB．MC．QD．P∪Q
∵a∈P，b∈Q，c∈M，
设a=3k1+1，k1∈Z，b=3k2-1，k2∈Z，c=3k3，k3∈N
∴a2+b-c=（3k1+1）2+3k2-1-3k3=3（3k12+2k1+k2-k3）∈M，
B．
7.（2013•嘉兴模拟）已知函数f（x）=x2+bx+c，（b，c∈R），集合A={x丨f（x）=0}，B={x|f（f（x））=0}，若存在x0∈B，x0∉A则实数b的取值范围是（ ）
A．b≠0B．b＜0或b≥4C．0≤b＜4D．b≤4或b≥4
由题意可得，A是函数f（x）的零点构成的集合．
由f（f（x））=0，可得（x2+bx+c）2+b（x2+bx+c）+c=0，把x2+bx+c=0代入，解得c=0．
故函数f（x）=x2+bx，故由f（x）=0可得x=0，或x=-b，故A={0，-b}．
方程f（f（x））=0，即（x2+bx）2+b（x2+bx）=0，即（ax2+bx）（x2+bx+b）=0，
解得x=0，或x=-b，或x=−b±
/2．
由于存在x0∈B，x0∉A，故b2-4b≥0，解得b≤0，或b≥4．
由于当b=0时，不满足集合中元素的互异性，故舍去．
即实数b的取值范围为{b|b＜0或b≥4}，
六．集合的表示方法
1、列举法：
把元素一一列举在大括号内的表示方法；
注意：
凡是以列举法形式出现的集合，往往考察元素的互异性。
2、描述法：
有以下两种描述方式
1）代号描述：
例、程x²
-3x+2=0的所有解组成的集合，可表示为{x|x²
-3x+2=0}。
x是集合中元素的代号，竖线也可以写成冒号或者分号，竖线后面的式子的作用是描述集合中的元素符号的条件。
（代号不一样，所表示含义也不一样）】
2）文字描述：
将说明元素性质的一句话写在大括号内。
例、大于2小于5的整数}；
描述法表示的集合一旦出现，首先需要分析元素的意义，也就是说要判断元素到底是什么。
3、区间表示法：
数轴上得一段数组成的集合可以用区间表示，区间分为开区间和闭区间，开区间用小括号表示，是大于或小于的意思；
闭区间用中括号表示，是大于等于或小于等于的意思。
4、图像表示法：
数轴、坐标系、维恩图法：
用图形表示集合定义了两个集合之间的所有关系。
元素和集合的关系
1.用列举法表示集合{x|-6≤x≤4，且x为奇数}，结果是（ ）
A．∅B．{1，3}
C．{-5，-3，-1，1，3}D．{-5，-3，-1}
∵集合{x|-6≤x≤4，且x为奇数}，
∴{-5，-3，-1，1，3}，
C．
2.由元素1，2，3组成的集合可记为（ ）
A．{x=1，2，3}B．{x=1，x=2，x=3}
C．{x|x∈N+，x＜4}D．{6的质因数}
元素1，2，3组成的集合
用列举法表示为{1，2，3}，
用描述法表示为{x|x∈N+，x＜4}，
故选C．
3.下面关于集合的表示正确的个数是（ ）
①{2，3}≠{3，2}；
②{（x，y）|x+y=1}={y|x+y=1}；
③{x|x＞1}={y|y＞1}；
④{x|x+y=1}={y|x+y=1}．
A．0B．1C．2D．3
∵集合中的元素具有无序性，∴①{2，3}={3，2}，故①不成立；
{（x，y）|x+y=1}是点集，而{y|x+y=1}不是点集，故②不成立；
由集合的性质知③④正确．
4.下列集合的表示方法正确的是（ ）
A．{1，2，3，3，}B．{全体有理数}
C．0={0}D．不等式x-3＞2的解集是{x|x＞5}
对于A，不满足元素的互异性；
对于B，不需要全体；
对于C，元素与集合之间用∈；
D是用描述法，正确，
5.下列集合表示法正确的是（ ）
A．{1，1，2}
B．{全体正数}
C．{有理数}
D．不等式x2-5＞0的解集为{x2-5＞0}
∵{1，1，2}中有相同元素，根据元素的互异性，∴A错误．
B原想表示全体正数组成的集合，可其中多了“全体”两字，∴B错误．
C有理数集合的表示为{有理数}，∴C正确．
不等式x2-5＞0的解集{x|x2-5＞0}中元素为实数，{x2-5＞0}中的元素只有一个，是不等式x2-5＞0，所以两个集合中的元素不同，不相等，∴D错误．
6.下列集合中，不是方程（x+1）（x-2）=0的解集的集合是（ ）
A．{-1，2}B．{2，-1}C．{x|（x+1）（x-2）=0}D．{（-1，2）}
∵方程（x+1）（x-2）=0的解集中含有两个元素-1和2，
并不是点坐标（-1，2），
∴{（-1，2）}不是方程（x+1）（x-2）=0的解集的集合．
七．集合与集合之间的关系与运算
1、子集：
一般地，对于两个集合A,B,如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素,我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合B的子集（subset）。
记作：
A⊆B（或B⊇A）
读作：
“A包含于B”（“B包含A”）
2、真子集：
如果集合A⊆B，但存在元素X∈B，且元素X不属于集合A，我们称集合A是集合B的真子集。
3、相等集合：
一般地,对于两个集合A与B,如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素,同时集合B的任何一个元素都是集合A的元素.我们就说集合A等于集合B.
判断两个集合的关系
1.（2012•福建）已知集合M={1，2，3，4}，N={-2，2}，下列结论成立的是（ ）
A．N⊆MB．M∪N=MC．M∩N=ND．M∩N={2}
由M={1，2，3，4}，N={-2，2}，可知-2∈N，但是-2∉M，则N⊄M，故A错误
∵M∪N={1，2，3，4，-2}≠M，故B错误
M∩N={2}≠N，故C错误，
D正确
故选D
2.（2012•黑龙江）已知集合A={x|x2-x-2＜0}，B={x|-1＜x＜1}，则（ ）
B．A⊊BB．B⊊AC．A=BD．A∩B=∅
由题意可得，A={x|-1＜x＜2}
∵B={x|-1＜x＜1}
在集合B中的元素都属于集合A，但是在集合A中的元素不一定在集合B中，例如x=32
∴B⊊A
故选B
3.（2011•浙江）若P={x|x＜1}，Q={x|x＞1}，则（ ）
A．P⊆QB．Q⊆PC．∁RP⊆QD．Q⊆∁RP
∵P={x|x＜1}，
∴CRP={x|x≥1}
∵Q={x|x＞1}，
∴Q⊆CRP
4.（2014•上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=（ ）
A．2B．1C．0D．-1
根据集合相等的条件可知，若{a，b}={a2，b2}，
则a＝a2b＝b2①或a＝b2b＝a2②，
由①得a＝0或a＝1b＝0或b＝1，
∵ab≠0，∴a≠0且b≠0，即a=1，b=1，此时集合{1，1}不满足条件．
若b=a2，a=b2，则两式相减得a2-b2=b-a，即（a-b）（a+b）=-（a-b），
∵互异的复数a，b，
∴a-b≠0，即a+b=-1，
☆题型-2：
判断一个集合子集、真子集的个数
1.（2012•湖北）已知集合A{x|x2-3x+2=0，x∈R}，B={x|0＜x＜5，x∈N}，则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为（ ）
由题意可得，A={1，2}，B={1，2，3，4}
∵A⊆C⊆B
∴满足条件的集合C有{1，2，}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}共4个
2.（2011•安徽）设集合A={1，2，3，4，5，6}，B={4，5，6，7，8}，则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是（ ）
A．57B．56C．49D．8
集合A的子集有：
{1}，{2}，{3}，{4}，{5}，{6}，{1，2}，{1，3}，{1，4}，{1，5}，…，{1，2，3，4，5，6}，∅，共64个；
又S∩B≠∅，B={4，5，6，7，8}，
所以S不能为：
{1}，{2}，{3}，{1，2}，{1，3}，{2，3}，{1，2，3}，∅共8个，
则满足S⊆A且S∩B≠∅的集合S的个数是64-8=56．
3.（2010•天津）设集合A={x||x-a|＜1，x∈R}，B={x||x-b|＞2，x∈R}．若A⊆B，则实数a，b必满足（ ）
A．|a+b|≤3B．|a+b|≥3C．|a-b|≤3D．|a-b|≥3
∵A={x|a-1＜x＜a+1}，B={x|x＜b-2或x＞b+2}
因为A⊆B，所以a+1≤b-2或a-1≥b+2，
即a-b≤-3或a-b≥3，
即|a-b|≥3．
4、（2005•天津）设集合A={x|0≤x＜3且x∈N}的真子集的个数是（ ）
A.16B.8C.7D.4
∵集合A={x|0≤x＜3且x∈N}={0，1，2}，
∴集合A的真子集是：
φ，{0}，{1}，{2}，{0，1}，{0，2}，{1，2}，
共有7个，
5、（2008•四川）集合A={-1，0，1}，A的子集中，含有元素0的子集共有（ ）
A.2个B.4个C.6个D.8个
根据题意，在集合A的子集中，
含有元素0的子集有{0}、{0，1}、{0，-1}、{-1，0，1}，四个；
☆题型-3：
根据两个集合的关系求一个集合中参数的取值范围
1.已知集合A={x|x2-2x-3=0}；
B={x|ax-1=0},若B
A,则a的值为__________
∵A={x|x2-2x-3=0}={-1，3}，
∴若B⊆A，
则若a=0，即B=∅时，满足条件B⊆A．
若a≠0，则B={x|ax-1=0}={1/a}，
要使B⊆A，则1/a=-1或1/a=3，
解得a=-1，或a=1/3．
综上a=0或a=-1或a=1/3，
∴由a的值构成的集合为{-1，0，1/3}．
故答案为：
{-1，0，1/3}．
2.已知A={x|-3
x
4},B={x|2m-1
m+1}，若B
A,求实数m的取值范围。
集合A={x|-3≤x≤4}，B={x|2m-1＜x＜m+1}，且B⊆A
①B=Φ时，2m-1≥m+1，故m≥2
②B≠Φ时，m＜2
且2m−1≥−3m+1≤4
故-1≤m≤3
综上，实数m的取值范围：
m≥-1
3.若集合A={x|x2+x-6=0},B={x|mx+1=0},B
A,求m的值。
A={x|x2+x-6=0}={2，-3}，若B⊆A，①若B=∅，即方程mx+1=0无解．m=0．②B≠∅，m≠0，mx+1=0的解是x=-1/m．依题意得，−1/m=-3，或2，∴m=1/3或−1/2．
m所能取的一切值构成的集合为{−1/2，0，1/3}
{−1/2，0，1/3}．
八．集合与集合之间运算
交集：
一般地，对于给定的两个集合A和集合B的交集是指含有所有既属于A又属于B的元素，而没有其他元素的集合。
并集：
一般地，对于两个给定的集合A,B，把所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合（两个集合全部元素加起来的全部元素所组成的集合）叫做并集，记作A∪B，读作“A并B”
A∪B={xIx∈A或x∈B}
补集：
若给定全集S，则A在S中的相对补集称为A的绝对补集（或简称补集），写作∁sA，即：
∁SA=S−A
求两个集合的并集、交集、补集
1.（2012·
陕西）集合M＝{x|lgx>
0}，N＝{x|x2≤4}，则M∩N＝（ ）．
A．（1,2）B．[1,2）
C．（1,2]D．[1,2]
解
（1）由题意得M＝（1，＋∞），N＝[－2,2]，故M∩N＝（1,2]．答案：
C
2.（2012·
山东）已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，则（∁UA）∪B为（ ）．
A．{1,2,4}B．{2,3,4}
C．{0,2,4}D．{0,2,3,4}
解：
∵∁UA＝{0,4}，B＝{2,4}，∴（∁UA）∪B＝{0,2,4}．答案：
3．（2012·
北京高考）已知集合A＝{x∈R|3x＋2＞0}，B＝{x∈R|（x＋1）（x－3）＞0}，则A∩B＝（ ）
A．（－∞，－1） B.
C.
D．（3，＋∞）
∵A＝
，B＝{x|x<
－1，或x>
3}，∴A∩B＝{x|x>
3}．答案：
D
4.（2013·
威海模拟）已知集合A＝{1,2a}，B＝{a，b}，若A∩B＝
，则A∪B＝（ ）
A.
B.
D.
由A∩B＝
得2a＝
，解得a＝－1，则b＝
.所以A＝
，B＝
，则A∪B＝
.
答案：
5.设U＝R，集合A＝{x|x2＋3x＋2＝0}，B＝{x|x2＋（m＋1）x＋m＝0}．若（∁UA）∩B＝∅，则m的值是________．
A＝{－2，－1}，由（∁UA）∩B＝∅，得B⊆A，
∵方程x2＋（m＋1）x＋m＝0的判别式Δ＝（m＋1）2－4m＝（m－1）2≥0，∴B≠∅.
∴B＝{－1}或B＝{－2}或B＝{－1，－2}．
①若B＝{－1}，则m＝1；
②若B＝{－2}，则应有－（m＋1）＝（－2）＋（－2）＝－4，且m＝（－2）·
（－2）＝4，这两式不能同时成立，∴B≠{－2}；
③若B＝{－1，－2}，则应有－（m＋1）＝（－1）＋（－2）＝－3，且m＝（－1）·
（－2）＝2，由这两式得m＝2.
经检验知m＝1和m＝2符合条件．
∴m＝1或2.
答案 1或2
6.（2013·
武汉模拟）已知A，B均为集合U＝{1,2,3,4,5,6}的子集，且A∩B＝{3}，（∁UB）∩A＝{1}，（∁UA）∩（∁UB）＝{2,4}，则B∩（∁UA）＝________.
依题意及韦恩图得，B∩（∁UA）＝{5,6}．
{5,6}
7.（2012·
辽宁）已知全集U＝{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}，集合A＝{0,1,3,5,8}，集合B＝{2,4,5,6,8}，则（∁UA）∩（∁UB）等于（ ）．
A．{5,8}B．{7,9}
C．{0,1,3}D．{2,4,6}
解析 根据集合运算的性质求解．因为A∪B＝{0,1,2,3,4,5,6,8}，所以（∁UA）∩（∁UB）＝∁U（A∪B）＝{7,9}．
答案 B
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