数学人教A选修23讲义第二章 随机变量及其分布24Word下载.docx
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1.函数φμ,σ(x)中参数μ,σ的意义分别是样本的均值与方差.( ×
)
2.正态曲线是单峰的,其与x轴围成的面积是随参数μ,σ的变化而变化的.( ×
3.正态曲线可以关于y轴对称.( √ )
类型一 正态曲线的图象的应用
例1 如图所示是一个正态分布的图象,试根据该图象写出正态分布密度函数的解析式,求出随机变量总体的均值和方差.
考点 正态分布的概念及性质
题点 求正态分布的均值或方差
解 从给出的正态曲线可知该正态曲线关于直线x=20对称,最大值是
,所以μ=20.由
,解得σ=
.于是该正态分布密度函数的解析式是f(x)=
,x∈(-∞,+∞),随机变量总体的均值是μ=20,方差是σ2=(
)2=2.
反思与感悟 利用图象求正态分布密度函数的解析式,应抓住图象的两个实质性特点:
一是对称轴为x=μ,二是最大值为
.这两点确定以后,相应参数μ,σ便确定了,代入f(x)中便可求出相应的解析式.
跟踪训练1 某次我市高三教学质量检测中,甲、乙、丙三科考试成绩的直方图如图所示(由于人数众多,成绩分布的直方图可视为正态分布),则由如图曲线可得下列说法中正确的一项是( )
A.甲科总体的标准差最小
B.丙科总体的平均数最小
C.乙科总体的标准差及平均数都居中
D.甲、乙、丙的总体的平均数不相同
考点 正态分布密度函数的概念
题点 正态曲线
答案 A
解析 由题中图象可知三科总体的平均数(均值)相等,由正态密度曲线的性质,可知σ越大,正态曲线越扁平;
σ越小,正态曲线越尖陡,故三科总体的标准差从小到大依次为甲、乙、丙.故选A.
类型二 利用正态分布的对称性求概率
例2 设X~N(1,22),试求:
(1)P(-1<
X≤3);
(2)P(3<
X≤5);
(3)P(X>
5).
题点 正态分布下的概率计算
解 因为X~N(1,22),所以μ=1,σ=2.
X≤3)=P(1-2<
X≤1+2)
=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826.
(2)因为P(3<
X≤5)=P(-3≤X<
-1),
所以P(3<
X≤5)=
[P(-3<
X≤5)-P(-1<
X≤3)]
[P(1-4<
X≤1+4)-P(1-2<
X≤1+2)]
[P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)-P(μ-σ<
X≤μ+σ)]
×
(0.9544-0.6826)=0.1359.
5)=P(X≤-3)
[1-P(-3<
X≤5)]=
[1-P(1-4<
X≤1+4)]=0.0228.
引申探究
本例条件不变,若P(X>
c+1)=P(X<
c-1),求c的值.
解 因为X服从正态分布N(1,22),所以对应的正态曲线关于x=1对称.又P(X>
c-1),因此
=1,即c=1.
反思与感悟 利用正态分布求概率的两个方法
(1)对称法:
由于正态曲线是关于直线x=μ对称的,且概率的和为1,故关于直线x=μ对称的区间上概率相等.如:
①P(X<
a)=1-P(X≥a).
②P(X<
μ-a)=P(X>
μ+a).
(2)“3σ”法:
利用X落在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]内的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974求解.
跟踪训练2 已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),且P(ξ<
4)=0.8,则P(0<
ξ<
2)等于( )
A.0.6B.0.4C.0.3D.0.2
答案 C
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),
∴μ=2,对称轴是x=2.
∵P(ξ<
4)=0.8,∴P(ξ≥4)=P(ξ≤0)=0.2,
∴P(0<
4)=0.6,
2)=0.3.故选C.
类型三 正态分布的应用
例3 有一种精密零件,其尺寸X(单位:
mm)服从正态分布N(20,4).若这批零件共有5000个,试求:
(1)这批零件中尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比;
(2)若规定尺寸在24~26mm间的零件不合格,则这批零件中不合格的零件大约有多少个?
考点 正态分布的应用
题点 正态分布的实际应用
解
(1)∵X~N(20,4),∴μ=20,σ=2,∴μ-σ=18,
μ+σ=22,
于是尺寸在18~22mm间的零件所占的百分比大约是68.26%.
(2)∵μ-3σ=14,μ+3σ=26,μ-2σ=16,μ+2σ=24,
∴尺寸在24~26mm间的零件所占的百分比大约是
=2.15%.
因此尺寸在24~26mm间的零件大约有5000×
2.15%≈108(个).
反思与感悟 解答正态分布的实际应用题,其关键是如何转化,同时应熟练掌握正态分布在(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ],(μ-3σ,μ+3σ]三个区间内的概率,在此过程中用到归纳思想和数形结合思想.
跟踪训练3 在某次考试中,某班同学的成绩服从正态分布N(80,52),现已知该班同学成绩在80~85分的有17人,该班同学成绩在90分以上的有多少人?
解 ∵成绩服从正态分布N(80,52),
∴μ=80,σ=5,则μ-σ=75,μ+σ=85,
∴成绩在(75,85]内的同学占全班同学的68.26%,成绩在(80,85]内的同学占全班同学的34.13%,设该班有x人,则x·
34.13%=17,解得x≈50.
∵μ-2σ=80-10=70,μ+2σ=80+10=90,
∴成绩在(70,90]内的同学占全班同学的95.44%,成绩在90分以上的同学占全班同学的2.28%,即有50×
2.28%≈1(人),即成绩在90分以上的仅有1人.
1.设两个正态分布N(μ1,σ
)(σ1>
0)和N(μ2,σ
)(σ2>
0)的密度函数图象如图所示,则有( )
A.μ1<
μ2,σ1<
σ2B.μ1<
μ2,σ1>
σ2
C.μ1>
σ2D.μ1>
解析 根据正态曲线的特点:
正态分布曲线是一条关于直线x=μ对称,在x=μ处取得最大值的连续曲线:
当μ一定时,σ越大,曲线的最高点越低且较平稳,反过来,σ越小,曲线的最高点越高且较陡峭.故选A.
2.正态分布N(0,1)在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率为P1,P2,则二者大小关系为( )
A.P1=P2B.P1<P2
C.P1>P2D.不确定
题点 正态曲线性质的应用
解析 根据正态曲线的特点,图象关于x=0对称,可得在区间(-2,-1)和(1,2)上取值的概率P1,P2相等.
3.设随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),且二次方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为
,则μ等于( )
A.1B.2
C.4D.不能确定
解析 因为方程x2+4x+ξ=0无实数根的概率为
,由Δ=16-4ξ<
0,得ξ>
4,即P(ξ>
4)=
=1-P(ξ≤4),故P(ξ≤4)=
,所以μ=4.
4.已知服从正态分布N(μ,σ2)的随机变量在区间(μ-σ,μ+σ],(μ-2σ,μ+2σ]和(μ-3σ,μ+3σ]内取值的概率分别为68.26%,95.44%和99.74%.若某校高一年级1000名学生的某次考试成绩X服从正态分布N(90,152),则此次考试成绩在区间(60,120]内的学生大约有( )
A.997人B.972人C.954人D.683人
解析 依题意可知μ=90,σ=15,故P(60<
X≤120)=P(90-2×
15<
X≤90+2×
15)=0.9544,1000×
0.9544≈954,故大约有学生954人.
5.设随机变量X~N(2,9),若P(X>
c-1).
(1)求c的值;
(2)求P(-4<
X<
8).
解
(1)由X~N(2,9)可知,密度函数关于直线x=2对称(如图所示),
又P(X>
c-1),
故有2-(c-1)=(c+1)-2,
∴c=2.
(2)P(-4<
X≤8)=P(2-2×
3<
X≤2+2×
3)=0.9544.
1.理解正态分布的概念和正态曲线的性质.
2.正态总体在某个区间内取值的概率求法
(1)熟记P(μ-σ<
X≤μ+σ),P(μ-2σ<
X≤μ+2σ),P(μ-3σ<
X≤μ+3σ)的值.
(2)充分利用正态曲线的对称性和曲线与x轴之间的面积为1这两个特点.
①正态曲线关于直线x=μ对称,从而在关于x=μ对称的区间上概率相等.
a)=1-P(X≥a),P(X<
μ+a),
若b<
μ,则P(X<
μ-b)=
.
一、选择题
1.设有一正态总体,它的概率密度曲线是函数f(x)的图象,且f(x)=φμ,σ(x)=
,则这个正态总体的均值与标准差分别是( )
A.10与8B.10与2
C.8与10D.2与10
答案 B
解析 由正态密度函数的定义可知,总体的均值μ=10,方差σ2=4,即σ=2.
2.已知随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2)(σ>
0),P(ξ≤4)=0.84,则P(ξ≤0)等于( )
A.0.16B.0.32
C.0.68D.0.84
解析 ∵随机变量ξ服从正态分布N(2,σ2),∴μ=2,
∵P(ξ≤4)=0.84,
∴P(ξ≥4)=1-0.84=0.16,
∴P(ξ≤0)=P(ξ≥4)=0.16.
3.已知某批零件的长度误差(单位:
毫米)服从正态分布N(0,32),从中随机取一件,其长度误差落在区间(3,6]内的概率为( )(附:
若随机变量ξ服从正态分布N(μ,σ2),则P(μ-σ<
ξ≤μ+σ)=68.26%,P(μ-2σ<
ξ≤μ+2σ)=95.44%)
A.4.56%B.13.59%
C.27.18%D.31.74%
解析 由正态分布的概率公式,知P(-3<
ξ≤3)=0.6826,P(-6<
ξ≤6)=0.9544,
故P(3<
ξ≤6)=
=0.1359=13.59%,故选B.
4.在如图所示的正方形中随机投掷10000个点,则落入阴影部分(曲线C为正态分布N(0,1)的密度曲线)的点的个数的估计值为( )(附:
若X~N(μ,σ2),则P(μ-σ<X≤μ+σ)=0.6826,P(μ-2σ<X≤μ+2σ)=0.9544)
A.2386B.2718C.4772D.3413
答案 D
解析 由X~N(0,1)知,P(-1<X≤1)=0.6826,
∴P(0≤X≤1)=
0.6826=0.3413,故S≈0.3413.
∴落在阴影部分的点的个数x的估计值为
,∴x=10000×
0.3413=3413,故选D.
5.设X~N(μ1,σ
),Y~N(μ2,σ
),这两个正态分布密度曲线如图所示.下列结论中正确的是( )
A.P(Y≥μ2)≥P(Y≥μ1)
B.P(X≤σ2)≤P(X≤σ1)
C.对任意正数t,P(X≤t)>
P(Y≤t)
D.对任意正数t,P(X≥t)>
P(Y≥t)
解析 由题图可知μ1<
0<
σ2,
∴P(Y≥μ2)<
P(Y≥μ1),故A错;
P(X≤σ2)>
P(X≤σ1),故B错;
当t为任意正数时,由题图可知P(X≤t)>
P(Y≤t),
而P(X≤t)=1-P(X≥t),P(Y≤t)=1-P(Y≥t),
∴P(X≥t)<
P(Y≥t),故C正确,D错.
6.如果正态总体的数据落在(-3,-1)内的概率和落在(3,5)内的概率相等,那么这个正态总体的均值是( )
A.0B.1C.2D.3
解析 正态总体的数据落在这两个区间里的概率相等,说明在这两个区间上位于正态曲线下方的面积相等,区间(-3,-1)和(3,5)的长度相等,说明正态曲线在这两个区间上是对称的.因为正态曲线关于直线x=μ对称,μ的概率意义就是均值,而区间(-3,-1)和(3,5)关于x=1对称,所以正态总体的均值是1.
7.已知一次考试共有60名学生参加,考生的成绩X~N(110,52),据此估计,大约应有57人的分数在区间( )
A.(90,110]B.(95,125]
C.(100,120]D.(105,115]
解析 ∵X~N(110,52),∴μ=110,σ=5.
因此考试成绩在区间(105,115],(100,120],(95,125]上的概率分别是0.6826,0.9544,0.9974.由于一共有60人参加考试,故可估计成绩位于上述三个区间的人数分别是60×
0.6826≈41,60×
0.9544≈57,60×
0.9974≈60.
8.在某市2018年1月份的高三质量检测考试中,理科学生的数学成绩服从正态分布N(98,100).已知参加本次考试的全市理科学生约有9450人,如果某学生在这次考试中的数学成绩是108分,那么他的数学成绩大约排在全市第( )
A.1500名B.1700名
C.4500名D.8000名
解析 因为理科生的数学成绩X服从正态分布N(98,100),所以P(X≥108)=
[1-P(88<
X≤108)]=
[1-P(μ-σ<
X≤μ+σ)]=
(1-0.6826)=0.1587,所以0.1587×
9450≈1500,故该学生的数学成绩大约排在全市第1500名.
二、填空题
9.已知随机变量X服从正态分布N(a,4),且P(X≤1)=0.5,则实数a的值为.
答案 1
解析 ∵X服从正态分布N(a,4),∴正态曲线关于直线x=a对称,又P(X≤1)=0.5,故a=1.
10.设随机变量X~N(4,σ2),且P(4<
8)=0.3,则P(X<
0)=.
答案 0.2
解析 概率密度曲线关于直线x=4对称,在4右边的概率为0.5,在0左边的概率等于8右边的概率,即0.5-0.3=0.2.
11.某正态分布密度函数是偶函数,而且该函数的最大值为
,则总体落入区间(0,2]内的概率为.
答案 0.4772
解析 正态分布密度函数是f(x)=
,x∈(-∞,+∞),若它是偶函数,则μ=0,
∵f(x)的最大值为f(μ)=
,∴σ=1,
X≤2)=
P(-2<
P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)=
0.9544=0.4772.
三、解答题
12.已知随机变量X~N(μ,σ2),且其正态曲线在(-∞,80)上是增函数,在(80,+∞)上为减函数,且P(72<
X≤88)=0.6826.
(1)求参数μ,σ的值;
(2)求P(64<X≤72).
解
(1)由于正态曲线在(-∞,80)上是增函数,
在(80,+∞)上是减函数,
所以正态曲线关于直线x=80对称,即参数μ=80.
又P(72<
结合P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826,可知σ=8.
(2)因为P(μ-2σ<
X≤μ+2σ)
=P(64<
X≤96)
=0.9544.
又因为P(X≤64)=P(X>
96),
所以P(X≤64)=
(1-0.9544)
0.0456=0.0228.
所以P(X>
64)=0.9772.
又P(X≤72)=
[1-P(72<
X≤88)]
(1-0.6826)=0.1587,
72)=0.8413,
P(64<
X≤72)
=P(X>
64)-P(X>
72)
=0.1359.
13.某人骑自行车上班,第一条路线较短但拥挤,到达时间X(分钟)服从正态分布N(5,1);
第二条路线较长不拥挤,X服从正态分布N(6,0.16).若有一天他出发时离点名时间还有7分钟,问他应选哪一条路线?
若离点名时间还有6.5分钟,问他应选哪一条路线?
解 还有7分钟时:
若选第一条路线,即X~N(5,1),能及时到达的概率
P1=P(X≤7)
=P(X≤5)+P(5<
X≤7)
+
X≤μ+2σ).
若选第二条路线,即X~N(6,0.16),能及时到达的概率
P2=P(X≤7)
=P(X≤6)+P(6<
P(μ-2.5σ<
X≤μ+2.5σ).
因为P1<
P2,所以应选第二条路线.
同理,还有6.5分钟时,应选第一条路线.
四、探究与拓展
14.为了了解某地区高三男生的身体发育状况,抽查了该地区1000名年龄在17.5岁至19岁的高三男生的体重情况,抽查结果表明他们的体重X(kg)服从正态分布N(μ,22),
且正态分布密度曲线如图所示,若体重大于58.5kg小于等于62.5kg属于正常情况,则这1000名男生中属于正常情况的人数约为.
答案 683
解析 依题意可知,μ=60.5,σ=2,故P(58.5<
X≤62.5)=P(μ-σ<
X≤μ+σ)=0.6826,从而属于正常情况的人数为1000×
0.6826≈683.
15.从某企业生产的某种产品中抽取500件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图.
(1)求这500件产品质量指标值的样本平均数
和样本方差s2(同一组中的数据用该组区间的中点值作代表);
(2)由直方图可以认为,这种产品的质量指标值Z服从正态分布N(μ,σ2),其中μ近似为样本平均数
,σ2近似为样本方差s2.
①利用该正态分布,求P(187.8<
Z≤212.2);
②某用户从该企业购买了100件这种产品,记X表示这100件产品中质量指标值位于区间(187.8,212.2]的产品件数,利用①的结果,求E(X).
(附:
≈12.2)
题点 正态分布的综合应用
解
(1)抽取产品的质量指标值的样本平均数
和样本方差s2分别为
=170×
0.02+180×
0.09+190×
0.22+200×
0.33+210×
0.24+220×
0.08+230×
0.02=200,
s2=(-30)2×
0.02+(-20)2×
0.09+(-10)2×
0.22+0×
0.33+102×
0.24+202×
0.08+302×
0.02=150.
(2)①由
(1)知,Z~N(200,150),
从而P(187.8<
Z≤212.2)=P(200-12.2<
Z≤200+12.2)=0.6826.
②由①知,一件产品的质量指标值位于区间(187.8,212.2]的概率为0.6826,依题意知X~B(100,0.6826),
所以E(X)=100×
0.6826=68.26.