概率论与数理统计习题集及答案Word格式文档下载.docx
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1•丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为7,则其中一颗为1的概率是
2.已知P（A）1/4,P（B|A）1/3,P（A|B）1/2,则P（AB）。
1.6全概率公式
1.有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个签，说明两人抽“中’的概率相同。
2.第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有5个红球5个白球，随机地取一盒，从中随机地取一个球，求取到红球的概率。
1.7贝叶斯公式
1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求
（1）该厂产品能出厂的概率，
（2）任取一出厂产品，求未经调试的概率。
2.将两信息分别编码为A和B传递出去，接收站收到时，A被误收作B的概率为0.02，
B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3:
2，若接收站收到的信息是A,问原发信息是A的概率是多少？
1.8
随机事件的独立性
1.电路如图，其中A,B,C,D为开关。
设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。
AB
/
L1
Cd
R
CD
3.甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为0.4,0.5和0.6，是否命中，相互独立，求下列概率：
（1）恰好命中一次，
（2）至少命中一次。
第1章作业答案
1.11：
（1）S{HHH,HHT,HTH,THH,HTT,THT,TTH,TTT};
（2）S{0,1,2,3}
2：
（1）A{1,3,5}B{3,4,5,6};
（2）A{正正，正反},B{正正，反反},C{正正，正反，反正}。
1.21:
（1）ABC;
（2）ABC；
（3）ABC；
（4）ABC；
（5）ABACBC;
（6）AB
AC
BC
或ABCABCABCABC；
（1）AB
{x:
x4}
；
⑵AB
2x3};
（3）AB{x:
3x4}；
（4）A
B{x:
:
0x
1或2
x5}；
（5）AB{x:
1x4}。
1.31:
（1）P（AB）=0.3,
（2）P（AB）=0.2,（3）P（AB）=0.7.2：
P（AB））=0.4.
1.4
28101019
1:
（1）C8C22/C30,
（2）（（C22C8C22
c；
2）/c30，（3）1-（c22c8c；
2）/c30.
2:
P43/43.
1.51:
.2/6;
2:
1/4。
1.61:
设A表示第一人“中”，则P（A）=2/10
设B表示第二人“中”，则P（B）=P（A）P（B|A）+P（A）P（B|A）
=_21_82_2
10910910
两人抽“中‘的概率相同，与先后次序无关。
随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是0.5，所求概率为：
p=0.5X0.4+0.5X0.5=0.45
1.71:
（1）94%
（2）70/94;
0.993;
1.8.1:
用A,B,C,D表示开关闭合，于是T=ABUCD,
从而，由概率的性质及A,B,C,D的相互独立性
P（T）=P（AB）+P（CD）-P（ABCD）
=P（A）P（B）+P（C）P（D）-P（A）P（B）P（C）P（D）
22424
PPP2pp
（1）0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38;
（2）1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.
第2章随机变量及其分布
2.1随机变量的概念，离散型随机变量
1一盒中有编号为1,2,3,4,5的五个球，从中随机地取3个，用X表示取出的3个球
中的最大号码.，试写出X的分布律.
2某射手有5发子弹，每次命中率是0.4，—次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为
止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。
2.201分布和泊松分布
1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数X是服从入=4的泊松分布，求
（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；
（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；
⑶每分钟最多有1次呼叫的概率；
2设随机变量X有分布律：
X23,Y〜n（X）,试求：
p0.40.6
（1）P（X=2,Y<
2）;
（2）P（YW2）;
（3）已知Y<
2,求X=2的概率。
2.3贝努里分布
1一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为0.6，计算
机是否被使用相互独立，问在同一时刻
（1）恰有2台计算机被使用的概率是多少？
（2）至少有3台计算机被使用的概率是多少？
（3）至多有3台计算机被使用的概率是多少？
（4）至少有1台计算机被使用的概率是多少？
2设每次射击命中率为0.2,问至少必须进行多少次独立射击，才能使至少击中一次的概率
不小于0.9？
2.4随机变量的分布函数
x
1设随机变量X的分布函数是：
F（x）=
0.5
x1
（1求P（X<
0）；
P0X
1;
P（X>
1）,
（2）写出X的分布律。
Ax°
x0
2设随机变量X的分布函数是：
1x，求
（1）常数A，⑵P1
0x0
2.5连续型随机变量
（3）用二种方法计算P（-0.5<
X<
0.5）.
0x1
2设连续型随机变量x0勺分布函数为：
F（x）=inx1xe
⑵并用二种方法计算P（X>
1xe
（1）求X的密度函数f（x），画出f（x）的图形,
2.6均匀分布和指数分布
4x2+4Kx+K+2=0
1设随机变量K在区间（0,5）上服从均匀分布，求方程
有实根的概率。
2假设打一次电话所用时间（单位：
分）X服从0.2的指数分布，如某人正好在你前面
走进电话亭，试求你等待：
（1）超过10分钟的概率；
（2）10分钟到20分钟的概率。
2.7正态分布
1随机变量X〜N（3,4）,⑴求P（2<
X<
5）,P（-4<
10）,P（|X|>
2）,P（X>
3）;
（2）确定c,使得P（X>
c）=P（X<
c）。
2某产品的质量指标X服从正态分布，卩=160,若要求P（120<
200）>
0.80，试问最多取多大？
2.8随机变量函数的分布
1设随机变量X的分布律为；
X
p
0.3
0.4
Y=2X-1,求随机变量X的分布律。
YX2;
求随机变量Y的密度函数。
3.
2lnX，求随机变量Y的密度函数。
设随机变量X服从（0,1）上的均匀分布，丫
第2章作业答案
2.11:
X|345
p0.10.30.6
X12345
p0.40.6为.40.6为.6J0.40.6&
6为.6E.40.6为.6J0.6E.6X
2.21:
（1）P（X=1）=P（X>
1）-P（X>
2）=0.981684-0.908422=0.073262,
（2）P（X>
1）=0.981684,
（3）P（X<
1）=1-P（X>
2）=1-0.908422=0.091578
P（X=2,YW2）=P（X=2）P（YW2|X=2）=0.4（e^2e22e2）=2e2
由全概率公式：
P（Y<
2）=P（X=2）P（YW2|X=2）+P（X=3）P（Y<
2|X=3）
2173
=0.4+0.61e=0.27067+0.25391=0.52458
由贝叶斯公式：
P（X=2|YW2）=旦冬空引0.270670.516
P（Y2）
2:
f（x）
1/x1
0其
xe
他
（2）P（X
2）
1In2
2.61
3/5
（1）e2
（2）e2e4
2.71:
（1）0.5328,0.9996,0.6977,0.5;
（2）c=3
dW31.25。
2.81:
Y
-1
3
P
fY（y）
（1<
y）
0y1
3:
1y/2
_e
其他
第3章多维随机变量
3.1二维离散型随机变量
1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取3个，用X表示取到的红球个数，用Y表示取到的白球个数，写出（X,Y）的联合分布律及边缘分布律。
2.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：
x\y
试根据卜列条件分别求a和b的值；
0.1
0.2
a
（1）P（X1）0.6;
b
⑵P（X1|Y2）0.5；
（3）设F（x）是Y的分布函数，F（1.5）0.5。
3.2二维连续型随机变量
求
（1）常数k;
（2）P（X+Y<
1）;
（3）P（X<
1/2）o
3.3边缘密度函数
f（x,y）
xc
f（x,y）
e0yx
0其他
3.4随机变量的独立性
1.（X,Y）的联合分布律如下，
试根据下列条件分别求a和b的值;
⑴P（Y1）1/3；
1/9
⑵P（X1|Y2）0.5;
（3）已知X与Y相互独立。
2.（X,Y）的联合密度函数如下，求常数
c,并讨论X与丫是否相互独立?
cxy0x1,0y1
0其他
第3章作业答案
3.11:
X\Y
0.7
0.
3.2
（1）a=0.1b=0.3
（2）a=0.2b=0.2
（3）a=0.3b=0.1
3.4
1：
（1）k=
1；
8；
fx
（x）
3.3
J（y）
fx（x）
4.1
1.盒中有
（A）1；
（2）P（X<
1/2,Y<
1/2）=1/8
（2）P（X+Y<
1）=1/6;
1/2）=1/16。
（3）P（X+Y<
1）=1/3
21厂dy
2（1x2）（1y2）
（1x
（4）P（X<
1/2）=3/8。
2（1
）（1
-^dx
y）（1
y2）
xe
（1）a=1/6c=6,
b=7/18;
X与Y相互独立。
⑵a=4/9b=1/9；
随机变量的数字特征
数学期望
5个球，其中2个红球，随机地取3个，用
1.5;
（B）1.2；
（C）
（3）
a=1/3,b=2/9。
X表示取到的红球的个数，则EX是:
（D）2.
3x2
2.设X有密度函数：
f（x）8
求E（X）,E（2X1）,E（匕），并求X
大于数学期望E（X）的概率。
3.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为:
已知E（XY）0.65,
则a和b的值是：
（A）a=0.1,b=0.3;
（B）a=0.3,b=0.1;
X\y
（C）a=0.2,b=0.2;
（D）a=0.15,b=0.25。
4•设随机变量（X,Y）的联合密度函数如下:
EX,EY,E（XY
1）。
f（x,y）
xy
1,0
4.2数学期望的性质
相互独立。
4.3方差
4.4常见的几种随机变量的期望与方差
1设X〜
（2），丫〜B（3,0.6），相互独立，则E（X2Y）,D（X2Y）的值分别是:
（A）-1.6和4.88；
（B）-1和4;
（C）1.6和4.88；
（D1.6和-4.88.
（A）0和8；
（B）1和7；
（C）2和6；
（D）3和5.
4.6独立性与不相关性矩
1.下列结论不正确的是（）
（A）X与丫相互独立，则X与丫不相关；
（B）X与Y相关，则X与Y不相互独立；
（C）E（XY）E（X）E（Y），则X与Y相互独立;
（D）f（x,y）fx（x”Y（y），则X与丫不相关;
2.若COV（X,Y）0，则不正确的是（）
（D）既不必要，也不充分。
X与丫不相关，但不独立。
D（X）D（Y）；
（C）D（XY）D（X）D（Y）；
（D）D（XY）
X、Y
1.
-
1/8
3.（X,Y）有联合分布律如下，试分析
X与Y的相关性和独立性。
4.E（XY）E（X）E（Y）是X与丫不相关的（）
（A）必要条件；
（B）充分条件：
（C）充要条件；
5.E（XY）E（X）E（Y）是X与丫相互独立的（）
（A）必要条件；
（C）充要条件;
6.设随机变量（X,Y）有联合密度函数如下：
试验证
第4章作业答案
4.11:
B;
2:
3/2,2,3/4,37/64;
3:
D;
4:
2/3,4/3,17/9;
4.21:
D;
4.31:
7/2,35/12;
11/36;
4.41:
A2:
B;
4.51:
0.2,0.355;
-1/144,—1/11;
4.61:
C;
3:
X与Y不相关，但X与Y不相互独立；
4:
5:
A;
第5章极限定理
*§
5.1大数定理§
5.2中心极限定理
1.一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用，其余29只备用，当使用的一只损坏时，立即换上备用件，利用中心极限定理求30只元
件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。
2.某一随机试验，“成功”的概率为0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理分别求最多“成功”6次的概率的近似值。
第5章作业答案
5.22:
0.1788;
0.889,0.841;
第6章数理统计基础
6.1数理统计中的几个概念
1.有n=10的样本；
1.2,1.4,1.9,2.0,1.5,1.5,1.6,1.4,1.8,1.4，则样本
均值X=，样本均方差S，样本方差S2。
2•设总体方差为b2有样本X1,X2,,Xn,样本均值为X，则Cov（X-X）。
6.2数理统计中常用的三个分布
1.查有关的附表，下列分位点的值：
Z°
.9=,為（5）=,t0.9（10）=
2•设X1,X2,,Xn是总体2（m）的样本，求E（X）,D（X）。
6.3一个正态总体的三个统计量的分布
22
1•设总体X~N（,），样本X1,X2,,Xn，样本均值X，样本方差S，贝y
xX
6.3
1.N（0,1）,t（n1）,2（n
1）,
2（n）;
第6章作业答案
第7章参数估计
7.1矩估计法和顺序统计量
鼠法
1.设总体X的密度函数为：
f（x）
■,x
一10x
”r,
有样本X1,X2,,Xn，求未
其
丿、
他
知参数的矩估计。
2.每分钟通过某桥量的汽车辆数X
~（）
，为估计
的值，
在实地随机地调查了20次，
每次1分钟，结果如下：
次数：
34
5
6
量数：
9
53
7
4
试求的一阶矩估计和二阶矩估计。
7.2极大似然估计
（、
1）x0
，有样本X1,X2,,Xn,求
未知参数的极大似然估计。
7.3估计量的评价标准
1.设总体X服从区间（a,1）上的均匀分布，有样本X1,X2,,Xn，证明召2X1是a的无偏估计。
2.设总体X〜（），有样本X1,X2,,Xn，证明aX（1a）S是参数的无偏估计
（0a1）。
7.4参数的区间估计
1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度X~N（,2）,抽取9根纤维，测
量其纤度为：
1.36,1.49,1.43,1.41,1.27,1.40,1.32,1.42,1.47，试求的置信度为0.95的置信区间，
（1）若20.0482,
（2）若2未知
2.2.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查16个另件，测量其长度，得x12.075mm,s=0.0494mm,设另件长度X~N（,2）,取置信度为0.95,
（1）求2的置信区间，
（2）求的置信区间。
第7章作业答案
X2
7.11：
（）2；
5，4.97；
1X
7.211）2；
InXi
i1
7.3
7.41:
（1.377，1.439），（1.346，1.454）；
（0.0013，0.0058）；
（0.036,0.076）
第8章假设检验
8.1假设检验的基本概念
1.某种电子元件的阻值（欧姆）X〜N（1000,400）,随机抽取25个元件，测得平均电
阻值X992，试在0.1下检验电阻值的期望是否符合要求？
2.在上题中若2未知，而25个元件的均方差S25，则需如何检验，结论是什么？
8.2假设检验的说明
1.设第一道工序后，半成品的某一质量指标X~N（,64）,品质管理部规定在进入下一工
序前必需对该质量指标作假设检验H0:
0，H1:
0；
n16，当X与0的绝
对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。
8.3一个正态总体下参数的假设检验
1.成年男子肺活量为3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一
定时期后，测定他们的肺活量，得平均值为x3808毫升，设方差为21202，试检
验肺活量均值的提高是否显著（取0.02）？
第8章作业答案
8.1
1：
拒绝H0:
1000-2:
?
J•
接受H。
：
1000；
8.2
1:
0.1；
8.3
拒绝H0；
升级会员 