概率论与数理统计习题集及答案Word格式文档下载.docx

1、1 丢甲、乙两颗均匀的骰子，已知点数之和为 7,则其中一颗为1的概率是 2.已知 P（A） 1/4, P（B | A） 1/3, P（A| B） 1/2,则 P（A B） 。 1 .6全概率公式1. 有10个签，其中2个“中”，第一人随机地抽一个签，不放回，第二人再随机地抽一个 签，说明两人抽“中的概率相同。2. 第一盒中有4个红球6个白球，第二盒中有 5个红球5个白球，随机地取一盒，从中 随机地取一个球，求取到红球的概率。 1 .7贝叶斯公式1.某厂产品有70%不需要调试即可出厂，另30%需经过调试，调试后有80%能出厂，求（1） 该厂产品能出厂的概率，（2 ）任取一出厂产品，求未经调试的概

2、率。2.将两信息分别编码为 A和B传递出去，接收站收到时， A被误收作B的概率为0.02，B被误收作A的概率为0.01，信息A与信息B传递的频繁程度为3 : 2，若接收站收到 的信息是A,问原发信息是 A的概率是多少？ 1 .8随机事件的独立性1.电路如图，其中 A,B,C,D为开关。设各开关闭合与否相互独立，且每一开关闭合的概率 均为p,求L与R为通路（用T表示）的概率。A B/L 1C d RC D 3. 甲，乙，丙三人向同一目标各射击一次，命中率分别为 0.4,0.5和0.6，是否命中，相 互独立， 求下列概率：（1） 恰好命中一次，（2）至少命中一次。第1章作业答案 1 .1 1： （

3、1） S HHH ,HHT ,HTH ,THH ,HTT,THT,TTH ,TTT;（2） S 0, 1, 2, 32： （1） A 1, 3, 5 B 3, 4, 5, 6;（2） A 正正，正反, B 正正，反反, C 正正，正反，反正。 1 .2 1: （1） ABC ; （2） ABC ； （3） ABC ； （4） A B C ； （5） AB AC BC ;（6） A BACBC或 ABC ABC ABC ABC ； （ 1） A Bx:x 4；AB 2 x 3 ;（3）AB x : 3 x 4；（4） AB x:0 x1或2x 5 ； （5） AB x: 1 x 4。 1 .3

4、1: （1） P（AB）=0.3, （2） P（AB）= 0.2, （3） P（A B） = 0.7. 2： P（AB）=0.4.1 .428 10 10 1 91 : （1） C8 C22 / C30 ,（2）（ （ C22 C8C22c；2）/c30，（3）1-（ c22 c8c；2）/c30.2: P43 / 43. 1 .5 1 : . 2/6; 2: 1/4。 1 .6 1:设A表示第一人“中”，则P（A） = 2/10设 B表示第二人“中”，则 P（B） = P（A）P（B|A） + P（ A）P（B| A）= _2 1 _8 2 _210 9 10 9 10两人抽“中的概率相同，

5、与先后次序无关。 随机地取一盒，则每一盒取到的概率都是 0.5，所求概率为：p = 0.5 X 0.4 + 0.5 X 0.5 = 0.45 1 .7 1 : （1） 94% （2） 70/94; 0.993; 1 .8. 1 : 用A,B,C,D表示开关闭合，于是 T = AB U CD,从而，由概率的性质及 A,B,C,D的相互独立性P（T） = P（AB） + P（CD） - P（ABCD）=P（A）P（B） + P（C）P（D） - P（A）P（B）P（C）P（D）2 2 4 2 4P P P 2p p （1） 0.4（1-0.5）（1-0.6）+（1-0.4）0.5（1-0.6）+（

6、1-0.4）（1-0.5）0.6=0.38 ;（2） 1-（1-0.4）（1-0.5）（1-0.6）=0.88.第2章随机变量及其分布 2.1 随机变量的概念，离散型随机变量1 一盒中有编号为1, 2, 3, 4, 5的五个球，从中随机地取 3个，用X表示取出的3个球中的最大号码.，试写出X的分布律.2某射手有5发子弹，每次命中率是 0.4，次接一次地射击，直到命中为止或子弹用尽为止，用X表示射击的次数，试写出X的分布律。 2.2 0 1分布和泊松分布1某程控交换机在一分钟内接到用户的呼叫次数 X是服从入=4的泊松分布，求（1）每分钟恰有1次呼叫的概率；（2）每分钟只少有1次呼叫的概率；每分钟

7、最多有1次呼叫的概率；2设随机变量 X有分布律： X 2 3 , Y n （X）, 试求：p 0.4 0.6（1） P（X=2,Y 2）; （2）P（Y W 2）; （3）已知 Y 2,求 X=2 的概率。 2.3 贝努里分布1 一办公室内有5台计算机，调查表明在任一时刻每台计算机被使用的概率为 0.6，计算机是否被使用相互独立，问在同一时刻（1） 恰有2台计算机被使用的概率是多少？（2） 至少有3台计算机被使用的概率是多少？（3） 至多有3台计算机被使用的概率是多少？（4） 至少有1台计算机被使用的概率是多少？2设每次射击命中率为 0.2,问至少必须进行多少次独立射击， 才能使至少击中一次的

8、概率不小于0.9 ？ 2.4 随机变量的分布函数x1设随机变量X的分布函数是：F（x）=0.5x 1（1 求 P（X 1）, （2）写出X的分布律。Ax x 02设随机变量X的分布函数是：1 x ，求（1）常数A，P 10 x 0 2.5 连续型随机变量（3） 用二种方法计算 P（- 0.5X1 x e（1）求X的密度函数f （x），画出f （x）的图形, 2.6 均匀分布和指数分布4 x2+ 4Kx + K + 2 = 01设随机变量K在区间（0, 5）上服从均匀分布，求方程有实根的概率。2假设打一次电话所用时间（单位：分） X服从 0.2的指数分布，如某人正好在你前面走进电话亭，试求你等待

9、： （1）超过10分钟的概率；（2）10分钟 到20分钟的概率。 2.7 正态分布1 随机变量 X N （3, 4）, 求 P（2X 5） , P（-42）, P（X3）;（2）确定 c,使得 P（Xc） = P（Xc）。2某产品的质量指标 X服从正态分布，卩=160,若要求P（1200.80，试问最多 取多大？ 2.8 随机变量函数的分布1设随机变量X的分布律为；Xp0.30.4Y = 2X -1,求随机变量 X的分布律。Y X2;求随机变量Y的密度函数。3. 2lnX，求随机变量Y的密度函数。设随机变量X服从（0, 1） 上的均匀分布，丫第2章作业答案 2.1 1 : X | 3 4 5p

10、 0.1 0.3 0.6X 1 2 3 4 5p 0.4 0.6 为.4 0.6 为.6 J0.4 0.6 &6 为.6 E.4 0.6 为.6 J0.6 E.6 X 2.2 1:（1） P（X = 1） = P（X 1） -P（X 2） = 0.981684 -0.908422 = 0.073262,（2） P（X 1） = 0.981684,（3） P（X 2） = 1 -0.908422 = 0.091578P（X=2,Y W 2） = P（X=2） P（Y W 2 | X=2）= 0.4 （e 2e 2 2e 2）= 2e 2由全概率公式： P（Y 2） = P（X=2） P（Y W

11、2 | X=2） + P（X=3） P（Y 2 | X=3）2 17 3=0.4 + 0.6 1 e = 0.27067 + 0.25391 = 0.52458由贝叶斯公式：P（X=2|Y W 2）=旦冬 空引 0.27067 0.516P（Y 2）2 :f（x）1/x 10 其x e他（2） P（X2）1 In 2 2.6 13/5（1） e 2（2）e2 e4 2.7 1:（1） 0.5328, 0.9996, 0.6977, 0.5; （2） c = 3dW 31.25。 2.8 1:Y-13PfY（y）（1 y）0 y 1,3:1 y/2_e其他第3章多维随机变量 3.1 二维离散型随

12、机变量1.设盒子中有2个红球，2个白球，1个黑球，从中随机地取 3个，用X表示取到的红球 个数，用Y表示取到的白球个数，写出 （X, Y）的联合分布律及边缘分布律。2.设二维随机变量（X,Y）的联合分布律为：xy试根据卜列条件分别求 a和b的值；0.10.2a（1）P（X 1） 0.6 ;b P（X 1|Y 2） 0.5 ； （3）设 F（x）是 Y 的分布函数，F（1.5） 0.5。 3.2 二维连续型随机变量求（ 1）常数 k; （2） P（X+Y1） ; （3） P（X1/2） o 3.3 边缘密度函数f（x,y）x cf （x, y）e 0 y x0 其他 3.4 随机变量的独立性1.

13、 （X, Y）的联合分布律如下，试根据下列条件分别求 a和b的值; P（Y 1） 1/3 ；1/9 P（X 1| Y 2） 0.5 ; （3）已知X与Y相互独立。2. （X,Y）的联合密度函数如下，求常数c,并讨论X与丫是否相互独立?cxy 0 x 1,0 y 10 其 他第3章作业答案 3.1 1 :X Y0.70. 3.2 （1） a=0.1 b=0.3（2） a=0.2 b=0.2（3） a=0.3 b=0.1 3.41：（1） k =1 ；8 ；fx（x） 3.3J（y）fx（x） 4.11.盒中有（A） 1；（2） P（X1/2, Y1/2） = 1/8（2） P（X+Y1） = 1

14、/6 ;1/2） = 1/16。（3） P（X+Y1） = 1/32 1 厂 dy2 （1 x2）（1 y2）（1 x（4） P（X1/2） = 3/8。2（1）（1-dx y ） （1y2）xe（1） a=1/6 c = 6,b=7/18;X与Y相互独立。 a=4/9 b=1/9 ；随机变量的数字特征数学期望5个球，其中2个红球，随机地取 3个，用1.5 ;（B） 1.2 ；（C）（3）a = 1/3, b = 2/9。X表示取到的红球的个数，则 EX是:（D） 2.3x22.设X有密度函数：f （x） 8求 E（X）, E（2X 1）, E（匕），并求 X大于数学期望E（X）的概率。3.设

15、二维随机变量（X,Y）的联合分布律为:已知 E（XY） 0.65,则a和b的值是：（A） a=0.1, b=0.3 ; （ B） a=0.3, b=0.1;Xy（C） a=0.2, b=0.2;（D） a=0.15, b=0.25。4 设随机变量（X, Y）的联合密度函数如下:EX, EY, E（XY1）。f（x, y）xy1,0 4.2 数学期望的性质相互独立。 4.3 方差 4.4 常见的几种随机变量的期望与方差1 设X（2），丫B（3, 0.6），相互独立，则E（X 2Y）, D（X 2Y）的值分别是: （A） -1.6 和 4.88 ； （ B）-1 和 4; （C） 1.6 和 4.

16、88 ； （ D 1.6 和-4.88.（A） 0 和 8；（B） 1 和 7； （ C） 2 和 6； （ D） 3 和 5. 4.6 独立性与不相关性 矩1. 下列结论不正确的是（ ）（A） X与丫相互独立，则X与丫不相关；（B） X与Y相关，则X与Y不相互独立；（C） E（XY） E（X）E（Y），则 X 与 Y相互独立;（D） f（x,y） fx（x”Y（y），则 X 与丫不相关;2.若 COV （X,Y） 0，则不正确的是（ ）（D ）既不必要，也不充分。 X与丫不相关，但不独立。D（X） D（Y）；（C） D（XY） D（X）D（Y） ； （D） D（X Y）X 、Y1 .-1/8

17、3. （ X,Y ）有联合分布律如下，试分析X与Y的相关性和独立性。4. E（XY） E（X）E（Y）是 X 与丫不相关的（ ）（A）必要条件；（B）充分条件：（C）充要条件；5. E（XY） E（X）E（Y）是X与丫相互独立的（ ）（A ） 必要条件；（C）充要条件;6.设随机变量（X, Y）有联合密度函数如下：试验证第4章作业答案 4.1 1: B; 2 : 3/2, 2, 3/4, 37/64 ; 3 : D ; 4 : 2/3 , 4/3 , 17/9 ; 4.2 1 : D; 4.3 1: 7/2, 35/12; 11/36; 4.4 1 : A 2 : B ; 4.5 1: 0.2

18、, 0.355;- 1/144, 1/11; 4.6 1: C; 3: X与Y不相关，但 X与Y不相互独立；4: 5: A ;第5章极限定理* 5.1 大数定理 5.2 中心极限定理1. 一批元件的寿命（以小时计）服从参数为0.004的指数分布，现有元件30只，一只在用， 其余29只备用，当使用的一只损坏时， 立即换上备用件，利用中心极限定理求 30只元件至少能使用一年（8760小时）的近似概率。2.某一随机试验，“成功”的概率为 0.04，独立重复100次，由泊松定理和中心极限定理 分别求最多“成功” 6次的概率的近似值。第5章作业答案 5.2 2: 0.1788; 0.889, 0.841

19、 ;第6章数理统计基础 6.1 数理统计中的几个概念1.有 n=10 的样本；1.2, 1.4, 1.9, 2.0, 1.5, 1.5, 1.6, 1.4, 1.8, 1.4，则样本均值X = ，样本均方差S ，样本方差S2 。2 设总体方差为b2有样本X1,X2, ,Xn,样本均值为X，则Cov（X-X） 。 6.2 数理统计中常用的三个分布1.查有关的附表，下列分位点的值：Z.9= , 為（5）= , t0.9 （10）= 2设 X1,X2, ,Xn 是总体 2（m）的样本，求 E（X）, D（X）。 6.3 一个正态总体的三个统计量的分布2 21 设总体X N（,），样本X1,X2, ,

20、Xn，样本均值X，样本方差S，贝yx X 6.31. N（0, 1）, t（n 1）, 2（n1）,2（n）;第6章作业答案第7章参数估计 7.1 矩估计法和顺序统计量鼠法1.设总体X的密度函数为： f（x）, x一1 0 x” r ,有样本X1,X2, ,Xn，求未其丿、他知参数 的矩估计。2.每分钟通过某桥量的汽车辆数 X （），为估计的值，在实地随机地调查了 20次，每次1分钟，结果如下：次数：3 456量数：95 374试求 的一阶矩估计和二阶矩估计。 7.2 极大似然估计（、1）x 0，有样本X1,X2, ,Xn ,求未知参数 的极大似然估计。 7.3 估计量的评价标准1. 设总体X

21、服从区间（a, 1）上的均匀分布，有样本 X1, X2, , Xn，证明召2X 1是a 的无偏估计。2. 设总体X（），有样本X1,X2, ,Xn，证明aX （1 a）S是参数 的无偏估计（0 a 1 ）。 7.4 参数的区间估计1.纤度是衡量纤维粗细程度的一个量，某厂化纤纤度 X N（ , 2）,抽取9根纤维，测量其纤度为：1.36 , 1.49 , 1.43 , 1.41 , 1.27 , 1.40 , 1.32 , 1.42 , 1.47，试求 的置 信度为0.95的置信区间，（1）若 2 0.0482, （2）若 2未知2. 2.为分析某自动设备加工的另件的精度，抽查 16个另件，测量

22、其长度，得 x 12.075 mm, s = 0.0494 mm,设另件长度 X N（ , 2）,取置信度为0.95 , （1 ）求2的置信区 间，（2）求的置信区间。第7章作业答案X 2 7.1 1： （ ）2 ； 5， 4.97 ；1 X 7.2 1 1）2 ；In Xii 1 7.3 7.4 1 :（ 1.377，1.439），（ 1.346，1.454）；（ 0.0013，0.0058）； （0.036, 0.076）第8章假设检验 8.1 假设检验的基本概念1. 某种电子元件的阻值（欧姆） XN（1000, 400）,随机抽取25个元件，测得平均电阻值X 992，试在 0.1下检验电

23、阻值的期望 是否符合要求？2. 在上题中若 2未知，而25个元件的均方差S 25，则需如何检验，结论是什么？ 8.2 假设检验的说明1.设第一道工序后，半成品的某一质量指标 X N（ , 64）,品质管理部规定在进入下一工序前必需对该质量指标作假设检验 H0: 0，H1 : 0； n 16，当X与0的绝对偏差不超过3.29时，许进入下一工序，试推算该检验的显著性水平。 8.3 一个正态总体下参数的假设检验1.成年男子肺活量为 3750毫升的正态分布，选取20名成年男子参加某项体育锻练一定时期后，测定他们的肺活量， 得平均值为x 3808毫升，设方差为 2 1202，试检验肺活量均值的提高是否显著（取 0.02）？第8章作业答案 8.11 ：拒绝H 0 :1000 - 2 :? J 接受H。：1000 ； 8.21: 0.1 ； 8.3拒绝H0 ；