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8的最大约数与最小倍数相等判断是(×
),进行这道题对与错必须综合运用八个概念,才能判断对错。
有的小学生经不起八个概念的考验,结果认为错了。
涉及到哪八个概念呢?
“约数”、一个“自然数”的约数是“有限的”,最小的是1,最大的是它本身。
“倍数”、一个自然数的倍数是“无限的”,最小的是它本身,最大的没有。
还有“相等”,等等,举例这些错误的出现,说明学生对数学概念没有掌握好。
数学概念是“双基”(即基础知识和基本技能)教学的核心内容;
是基础知识的起点;
是逻辑推理的依据;
是正确、合理、迅速运算的保证。
学生正确、清晰、完整地掌握数学概念,是掌握数学知识的基础。
如果学生对概念不明确,就无法听懂教师的讲解,无法学好新知识。
自然,也会影响学生的学习兴趣和学习效果。
如果不懂什么是“分数”和“分数单位”,就很难理解分数四则运算法则的算理,就会直接影响分数四则计算能力的提高。
正确、迅速、合理、灵活的计算能力只有在概念清楚的基础上,掌握计算法则,经过反复练习才能形成。
学生概念清楚了,解答应用题的思路才能清楚;
才能进行分析推理;
逻辑思维能力和解题能力才能不断提高。
因此,在教学中如何使学生形成概念,正确地掌握和运用概念是极为重要的。
笔者认为,数学教学过程,就是“概念的教学”。
一个好的数学教师,要把概念教学放到突出地位。
小学数学教材中那些名词述语的释义,比较抽象,对小学生来说,由于年龄小,知识不多,生活经验不足,抽象思维能力差,理解起来有一定的困难。
例如乘法概念的建立,被乘数与乘数的区分等。
由一年级开始接触直到六年级毕业前夕仍有错误发生。
因此教师在有关概念的教学过程中,一定要从小学生的年龄实际出发,这样才会收到好的教学效果。
二、教学中怎样讲清楚数学概念
(一)引进概念
1.直观形象地引入概念
数学概念比较抽象,而小学生,特别是低年级小学生,由于年龄、知识和生活的局限,其思维处在具体形象思维为主的阶段。
认识一个事物、理解一个数学道理,主要是凭借事物的具体形象。
如教师忽视小学生这个特点,而单纯抽象地进行概念教学,那么教学效果一定不会好,因此,教师在数学概念教学的过程中,一定要做到细心、耐心,尽量从学生日常生活中所熟悉的事物开始引入。
这样,学生学起来就有兴趣,思考的积极性就会高。
在教长方体表面积这一概念时,为了使学生既避免把体积与表面积弄混,又看到面与体的联系,我不仅做了一个长方体的教具,还给长方体做了一个外套包在外面,通过教具的演示,使学生清楚地看到表面积和体积是两件事。
防止了概念的混淆。
我在外套的上、下,左、右,前、后六面涂上三种不同的颜色,这样就启发了学生求长方体表面积的规律:
两个红面:
长×
宽×
2
两个白面:
高×
两个蓝面:
六个面的面积相加,再运用乘法分配律在形象直观的启迪下,在步步运用概念的过程中,逐步简便,加深理解。
在长方体外套的背面,沿着长、宽、高的数据,我还画出了正方形方格,算出表面积后,再用背面的方格印证他们计算的结果正确与否。
这节课由于使用了直观教具,学生观察得清楚、明白,对表面积的概念和计算方法,理解得清晰,掌握得牢固,教学效果很好。
又如在教平均数应用题时,我利用铅笔做教具,重温“平均分”的概念。
拿12支铅笔分给两个同学,一个给5支,一个给7支,分后问学生:
“这样叫平均分吗?
”答“不叫”。
于是我把5支和7支合起来重新分,每人1支、2支、3支……直到分完。
结果每人分得同样多6支。
这样学生再次亲眼看到平均分的过程,从而进一步理解了“平均分”这一概念的实际含义。
然后我又用9个同样大的小木块摆出三堆,第一堆1块,第二堆2块,第三堆6块,问:
“每堆一样多吗?
哪堆多?
哪堆少?
”学生都能正确回答。
这时,我又把这三堆木块混到一起,重新平均分三份,每份都是3块,告诉学生“3”这个新得到的数,是这三堆木块的“平均数”。
我再演示一遍,要求学生仔细看,用心想:
“平均数”是怎样得到的。
学生看我把原来的三堆合并起来,变成一堆,再把这堆木块分做3份,每堆先分一块,再每堆分一块,这样分完,每堆正好3块。
这个演示过程,既揭示了“平均数”的概念,又有意识地渗透“总数量÷
总份数=平均数”的计算方法。
然后,又把木块按原来的样子1块,2块、6块地摆好,让学生观察,平均数“3”与原来的数比较大小。
学生说,平均数3比原来大的数小,比原来小的数大,是一个折中数,又有个学生说:
“从6块里拿出三块,其中的2块,放到原来的1块那一堆上,另外一块,放在原来2块那一堆上,就都是3块了。
”我肯定了他的意见,进一步明确,“求平均数”的过程,就是“移多补少,总数不变”。
这样,学生就形象地理解了“求平均数”这一概念的本质特征。
2.运用旧知识引出新概念
数学中的有些概念,往往难以直观表述。
如比例尺、循环小数等,但它们与旧知识都有内在联系。
我就充分运用旧知识来引出新概念。
在备课时要分析这个新概念有哪些旧知识与它有内在的联系。
利用学生已掌握的旧知识讲授新概念,学生是容易接受的。
苏霍姆林斯基说:
“教给学生能借助已有的知识去获取知识,这是最高的教学技巧之所在。
”我们都知道:
课堂教学最活跃最积极的时候,就是在已会的知识基础上启发诱导学习新知识之时。
从心理学来分析,无恐惧心理,学生容易活跃;
无畏难情绪,易于启发思维;
旧知识记忆好,容易受鼓舞;
所以运用旧知识引出新概念教学效果好。
我讲分数乘以整数的意义时,就从整数乘以整数引进,边扳书、边提问:
以下这些算式是什么意思?
12×
4
150×
2100×
1.5×
0.8×
在学生观察分析的基础上,我指出分数乘以整数的意义和整数乘法的意义相同,是求几个相同加数的和的简便运算,只不过相同的加数不是整数而是分数罢了。
这样从已知到未知,把整数乘法的意义迁移到分数乘以整数乘法的意义上的同时,巩固发展,深化了学生已学过的知识。
又如:
我教求一个数是另一个数的百分之几时,一上课我扳书课题:
“求一个数是另一个数的几倍”。
随后指着板书和学生谈话。
求一个数是另一个数的几倍用什么方法解答?
答:
用除法解答。
为什么用除法解答?
另一个数是一倍数,看一个数里面有几个另一个数,就是有几个1倍数,所以就是一个数是另一个数的几倍。
所以用除法解答。
如果在求一个数是另一个数的几倍,得不到一整倍时怎么说呢?
就说一个数是另一个数的几分之几?
(教师把原扳书“几倍”擦掉,改写为几分之几)
一个数是另一个数的几倍或几分之几,如果用百分数表示,怎样说呢?
那就是求一个数是另一个数的百分之几。
教师又把扳书“几分之几”擦掉,用红粉笔改为“百分之几”。
教师:
今天我们学的是(指扳书)求一个数是另一个数的百分之几。
一个数是另一个数的百分之几,其实还是比较两个数的倍数关系。
说法变了、本质没变,是由一个数是另一个数的几倍发展来的,仍用除法解答。
必须看准哪个数和哪个数比较,问题的顺序就是除法算式的次序,再指扳书课题,第一个数是被除数,“是”字相当除号,第二个数是除数。
只不过求的结果要用百分数表示。
这样很快很自然就引进了新概念。
以旧带新,也就是由已知到未知,这是教学中经常用到的方法。
除上面所举的由旧概念引出新概念以外,有时也用计算引出新概念。
如通过小数除法的计算引出“循环小数”的概念。
从求出几个数各自的“倍数”从而引出“公倍数”、“最小公倍”等概念。
总之,把已有的知识作为学习新知识的基础,以旧带新,再化新为旧,如此循环往复,既促使学生明确了概念,又掌握了新旧概念间的联系。
3.通过实践认识事物本质、形成概念
常言说,实践出真知,手是脑的老师。
学生通过演示学具,可以理解一些难以讲解的概念。
如一年级小学生初学数的大小比较。
是用小鸡小鸭学具,一一对比。
如一只小鸡对一只小鸭,第二只小鸡对第二只小鸭,……直到第六只小鸡没有小鸭对比了,就叫小鸡比小鸭多1只。
又如二年级小学生学习“同样多”这个概念也是用学具红花和黄花,学生先摆5朵红花、再摆和红花一般多的5朵黄花,这样就把“同样多”这个数学概念,通过演示(手),思维(脑),形成概念,符合实践、认识,再实践、再认识的规律。
这比老师演示、学生看,老师讲解、学生听效果好,印象深、记忆牢。
小学几何初步知识教学,也往往是由学生独立操作学具,或集体研究演示学具得到许多认识,形成概念的。
我讲长方形的面积的计算时,事先我让他们准备许多一平方厘米的小方片,装在塑料袋里,用白纸画一个长5厘米、宽3厘米的长方形和一个边长4厘米的正方形。
课上复习了什么叫作面积,什么叫作一平方米、一平方厘米等,以及常用的面积单位有哪些后,首先让学生用数方格的方法算书上长方形面积,然后用目测比较长、正方形面积的大小。
学生交头接耳,课堂一阵活跃,有的说长方形面积大、有的说正方形面积大,还有的沉默在渴望知道谁大谁小的情绪中。
我要求同学先用一平方厘米方片测量,再小组讨论,讨论好选代表到幻灯机前演示。
学生立即投入到求“面积”这一新知识的探讨中。
我行间巡视,各组讨论得非常热烈积极,在测量长方形面积时有的顺长摆5个一平方厘米,继而摆3排,也有的竖着每排摆3个一平方厘米,一共摆5排,算出面积是15个1平方厘米,又讨论怎么算出来,最后让一位同学代表演示,列式为(平方厘米)。
不少的小组表示意见一致,这时我提出质疑,长和宽是两个长度,怎么一乘就是面积多少的数呢?
学生默默地想,仔细地分析,最后老师点拨了一下说:
“计算面积前,已知道用面积单位,这个长方形长、宽都是厘米,所以就得用1平方厘米来测量计算,并用红粉笔板书出“1平方厘米”,然后重复学生的讲解,因为长5厘米,所以第一排就是1平方厘米×
5,又因宽3厘米,所以就是3排,是3个5平方厘米,接续扳书成:
1平方厘米×
5×
3=15平方厘米,宽是多少就再乘几。
所以求长方形面积就是同学所讨论的结论:
用长的数乘以宽的数,就是面积多少的数。
板书长方形面积=长×
宽。
这样,概念的引出比老师演示学生看,老师讲解学生听,理解深刻、印象牢固。
长方形周长和面积也不易混淆,这样不仅可以激发学生的学习兴趣,调动学生的积极性帮助学生更好地掌握基础知识和基本规律,而且还可以提高他们观察、思维、以及独立解决问题的能力。
(二)讲清概念的本质特征
1.从具体到抽象,揭示概念的本质
在教学中既要注意适应学生以形象思维为主的特点,也要注意培养他们的抽象思维能力。
在概念教学中,要善于为学生创造条件,引导他们通过观察、思考、探求概念的含义,沿着由感性认识到理性认识的认知过程去掌握概念。
这样,可以培养学生的逻辑思维能力。
如圆周率这个概念比较抽象。
我在上课的前一天,布置每个学生用硬纸板做一个圆,半径自定,第二天带一把尺子。
如果所做圆的直径是公制的,就带米尺,是市制的就带市尺。
上课时,我让每个同学在课堂练习本上写出三项内容:
①写出自己做的圆的直径;
②滚动自己的圆(老师先示范说明),量出圆周的长度,写在练习本上;
③计算出圆的周长是直径的几倍。
全班做完后,我要求每个学生汇报自己的计算结果。
教师把结果一个一个地板书,然后引导学生分析:
甲圆:
直径1寸,周长3.1寸,周长是直径的3.1倍。
乙圆:
直径1寸,周长3.2寸,周长是直径的3.2倍。
丙圆:
直径1分米,周长3.1分米,周长是直径的3.1倍。
丁圆:
直径2厘米,周长6.3厘米,周长是直径的3.15倍。
圆的周长与它的直径有什么关系呢?
学生通过观察、思考,分析,很快就发现不管圆的大小如何,每个圆的周长都是直径的3倍多一点。
教师指出:
“这个倍数是个固定的数,数学上叫做“圆周率”。
这样,引导学生把大量感性材料,加以分析综合,抽象概括抛弃事物非本质东西(如圆的大小,纸板的颜色,测量用的单位等)抓住事物的本质特征(不论圆的大小,周长总是直径的3倍多一点)。
形成了概念。
2.用“变式”引导学生理解概念的本质
在学生初步掌握了概念之后,我经常变换概念的叙述方法,让学生从各个侧面来理解概念。
概念的表述方式可以是多种多样的。
如质数,可以说是“一个自然数除了1和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数。
”有时也说成“仅仅能被1和它本身整除的数叫做质数”。
学生对各种不同的叙述都能理解,就说明他们对概念的理解是透彻的,是灵活的,不是死背硬记的。
有时变概念的非本质特征,让学生来辨析,加深他们对本质特征的理解。
如我教梯形时,在按教材讲了梯形认识后,再揭示图27,问它是不是梯形?
当学生回答后,我再让他们指出这个梯形的上底、下底和高。
接着出示图28,要求和前一样。
最后出示图29,要求学生说出图中有无梯形?
并分别指出这些梯形的高,上底和下底。
有的学生认出a是梯形,有的认出b是梯形,还有的认出a+b是个大梯形。
这样改变一下形式,就能了解到他们对梯形的认识,以及对它的底和高是否确实理解和掌握了。
3.要避虚求实,透彻理解概念的本质
学生掌握概念的过程中还存在“虚”和“浮”的现象,所谓虚指的是虚假,不实实在在地理解,“浮”即浮于表面认识,不能自觉深入去探讨其本质因素。
例如求比一个数多几的数,学生常常说成求一个数比一个数多几,这显然是两个完全不同的概念,前者是求一个比已知数多上几的新数,用加法求。
后者是已知两个数求它们相差多少,用减法求。
这说明学生对这两个概念含混不清。
又如小数基本性质是“小数末尾添上零或去掉零、小数大小不变”,而不是小数点末尾,这显然也是完全不同的两个概念。
再比如一米多长,一平方分米多大,学生比划不出长短、大小,这都说明对概念的理解模模糊糊似是而非,不肯定,不透彻,这都说明学生对概念的本质特征,未能很好地理解与掌握。
我教乘法分配定律时,当师生总结出“(a+b)×
c=a×
c+b×
c”这一规律后,我马下板书“c×
(a+b)”并问学生:
“可以使用乘法分配定律计算吗?
为什么?
”学生回答:
“可以,因为乘法算式中两个因数可以相互交换,积不变。
”我又问:
“a×
c,可以使用乘法分配律计算吗?
“可以把算式中的c提出来,就是a×
c=(a+b)×
c,这实际上把乘法分配律反过来使用。
”有的学生还能举例说明:
10+5×
30=5×
(10+30)就是说10个5,加上30个5,等于40个5。
这样,学生对乘法分配律的理解,不是停留在表面上,而是比较深刻了。
4.对近似的概念加以对比辨析
在小学数学中,有些概念的含义接近,但本质属性有区别。
除法中等分概念与包含概念、整除与除尽、数位与位数、体积与容积,减少与减少到等等相对应概念,存在许多共同点与内在联系。
对这类概念,学生常常容易混淆,必须把它们加以比较,避免互相干扰。
比较,主要是找出它们的相同点和不同点,这就要对进行比较的两个概念加以分析,看各有哪些本质特点。
然后把它们的共同点和不同点分别找出来,使学生既看到进行比较对象的内在联系,又看到它们的区别。
这样,学的概念就会更加明确。
我教了整除这个概念后,就让学生比较“整除”与“除尽”的异同。
我先让同学看下面的算式:
1)8÷
2=4
(2)48÷
8=6
(3)30÷
7=4……2(4)8÷
5=1.6
(5)6÷
0.2=30(6)1.8÷
3=0.6
引导学生分析、比较:
第(3)题是有余数的除法,当然不能说被除数让除数“整除”或者“除尽”;
其它各题都可以说被除数被除数除尽了,但是只有第
(1)、第
(2)两题被除数、除数是自然数,商是整数而没有余数,这两道题既可说被除数被除数除尽,又可以说“被除数”能被“除数”整除。
从上面的分析,可以看出:
“除尽”包含着“整除”,整除是“除尽”的一种特殊情况。
又如我教锥体体积时,为了课上实验时准确,给学生留有清楚的印象,事先我做了一个使学生看得见高的圆锥体教具,并把与圆锥等底等高的玻璃缸画上两条白漆线段,把玻璃缸容积分为三等份,实验时我用带色的水灌满圆锥形的容器里,问圆锥里边的水是什么形状的?
(圆锥形状)马上倒入等底等高的圆柱玻璃缸内,正好到圆柱形玻璃缸内的第一道横线。
连续倒完三次,玻璃缸内水升到缸顶面。
每次倒水都留有充分的时间让学生观察思考,其后,还让学生动手实验,印证这一关系。
随即提出几个问题。
帮助学生分析判断:
师问:
圆柱体体积和圆锥体体积哪个大?
生答:
圆柱体体积大。
因为三个圆锥体体积的水倒入圆柱体缸内才满。
圆锥体体积和圆柱体体积哪个小?
圆锥体体积小。
因为我看到三个圆锥体体积才是一个圆柱体体积。
以圆锥体体积为一倍,圆柱体体积相当等底等高圆锥体体积的几倍?
三倍。
以圆柱体体积为一倍,等底等高圆锥体体积是圆柱体体积的几分之几?
三分之一。
我们怎样求圆锥体体积呢?
除以3和乘以1/3,哪种方法简便?
乘以1/3简便,因为可以约分,计算简便。
对近似的概念经常引导学生进行比较和区分,既能培养学生对易混概念自觉地进行比较的习惯,也能提高学生理解概念的能力。
多年来教学实践的体会:
重视培养学生的比较思想有几点好处:
(1)有利于培养学生思维的逻辑性。
(2)有利于提高学生的分析问题的能力。
(3)有利于培养学生系统化的思维方式。
5.教师启发、引导、帮助学生总结归纳出概念的含义
教学中学生的主体地位是必要的,但教师在教学的全过程中的主导地位也不能忽视。
教师应发挥好主导作用。
教师与学生的主、客体地位是相互依存相互规定,在一定条件下又相互转化。
在概念教学中,教师要善于为学生创造条件,让学生沿着观察、思维、理解、表达的过程,由感性到理性的过程,由具体到抽象的过程去掌握概念。
这样极易调动学生的积极性、主动性,也可以教会学生去发现真理。
比如我教质数,合数两个概念。
我先板书九个数:
1、2、4、5、6、8、9、11、12,让三个好同学在复习检查时分别写出每个数的约数来。
为了便于学生观察,有意识地做如下的排列,学生写出下列答案:
1——1 2——1、2 6——1、2、3、6
4——1、2、4 5——1、5 8——1、2、4、8
9——1、3、9 11——1、11 12——1、2、3、4、6、12
订正后,让学生仔细观察,找自然数的约数规律。
学生观察后发现了规律。
有的说有三种规律,有的则认为四种情况。
我表扬同学观察分析得好。
是三种规律。
于是又启发他们看是哪三种?
①一个自然数只有一个约数;
②一个自然数有两个约数;
③一个自然数有三个以上约数。
在这个情况下,我再次启发提问:
一个约数的是什么样的数?
两个的是什么样的?
三个以上又是什么样的约数?
学生则发现一个的只有1;
两个的则有1还有本身;
三个以上的则有1、自己本身、还有其它的约数。
最后老师一一肯定,并由学生看书后总结出质数、合数概念,这时学生很受鼓舞,认为自己发现了真理。
对质数、合数的概念印象极为深刻永不忘记。
我又有意识地让学生研究“1”到底算哪类?
学生沉默了,我说:
“从书上找找是怎么说的?
知道的就发言”。
通过学生的口,说出“1”既不是质数,也不是合数。
我问:
“为什么”?
学生答:
因为“1”的约数只占一条,算1就没有本身,算本身又没有“1”,这样可比老师直接告诉、或叮咛他们注意主动。
让学生在教师的帮助下,把大量感性材料经过分析综合,抽象概括。
抛弃事物和现象的非本质的东西,抓住事物和现象的本质特征形成概念。
因为是学生付出了脑力劳动而获取得到的,所以记忆牢固。
(三)运用概念巩固概念
教学中不仅要求学生理解概念,而且还要使学生熟记并灵活地运用概念。
我认为概念的记忆与应用是相辅相成的。
因此在教学中,加强练习,及时复习并做归纳整理,对巩固概念具有特殊意义。
1.启发学生多思,巩固概念,开扩学生思维的广度,加深理解概念,从理解中求巩固。
在学生初步理解了概念以后,教师要提出恰当的思考问题,让学生进一步思考。
既使学生一时答不上来,也会促使他们开动脑筋思想,这是加深理解和巩固概念的良好办法。
如二年级小学生刚刚学过乘法概念,学完表内乘法(乘数最大是9)后,在复习乘法意义时,我问:
乘数是10呢?
20呢?
36呢?
100呢?
虽然问题超出了当时的教学范围,但却起到了促进学生积极思考问题的作用,有利于学生加深对乘法意义的理解。
学了百分数概念,并
吗?
”启发他们对百分数概念的深入思考。
经过议论之后,有的说不一样,有的说一样,有的表示沉默,但学生头脑中思维活动很激烈,渴望解决这个问题。
这时我表态说:
“意义不一样。
你们可以再想想怎么不一样呢?
”学
确切的数量。
9%不能加单位名称,它是表示两个数的倍数关系的。
”
又如,推导出圆面积公式之后,我提问:
“‘半径×
半径’得到一个什么样的数值?
”引导学生想象。
学生回答后,再用幻灯映出一个圆,以及这个圆的半径为边长的正方形加以印证(见图30)。
我再问,“半径×
半径”再乘以2比圆面积大还是小?
(比圆面积小)随即映出图31。
“半径×
半径再乘以4比圆面积大还是小?
”(比圆面积大)随即映出图32。
这时学生具体形象地体会到圆的面积比r2×
2大,比r2×
4小。
留一定思考时间再问:
“那么乘以几才正好和圆面积相等?
”(乘以3个多点)这样就使学生扩大了思考范围,加深了对圆面积公式的理解。
2.通过计算及用规范化语言表述,巩固概念
掌握概念对计算有指导作用,反之,通过计算对理解和巩固概念也起促进作用。
如整除、约数、倍数这三个概念互相之间联系密切,不懂整除就不能很好地理解约数与倍数。
当学生明确了整数概念后,我就用幻灯片或小黑板写出很多组除法算式:
8÷
221÷
718÷
923÷
5
10÷
530÷
624÷
650÷
10
12÷
348÷
835÷
860÷
12
15÷
450÷
940÷
772÷
14
我指着一个算式问学生:
“8能不能被2整除?
”,一般是先由教师示范回答问题,然后学生照着老师的样子一一回答。
学生回答:
“8÷
2,8和2都是自然数,8除以2,商是4,没有余数。
我说8能被2整除。
”……我还指着50÷
9问学生:
“50能不能被9整除?
”学生回答“50和9都是自然数,50除以9,商是5、余数是5,所以50不能被9整除。
”……就这样