高考数学理科必考题型过关练第10练含答案.docx

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高考数学理科必考题型过关练第10练含答案

第10练　化解抽象函数快捷有效的几个途径

题型一　与抽象函数有关的函数性质问题

例1　已知f（x）是定义在R上的偶函数，且以2为周期，则“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的（　　）

A．既不充分也不必要的条件

B．充分而不必要的条件

C．必要而不充分的条件

D．充要条件

破题切入点　周期函数的概念，同时考查单调性及充要条件．

答案　D

解析　①∵f（x）在R上是偶函数，

∴f（x）的图象关于y轴对称．

∵f（x）为[0,1]上的增函数，

∴f（x）为[－1,0]上的减函数．

又∵f（x）的周期为2，

∴f（x）为区间[－1＋4,0＋4]＝[3,4]上的减函数．

②∵f（x）为[3,4]上的减函数，且f（x）的周期为2，

∴f（x）为[－1,0]上的减函数．

又∵f（x）在R上是偶函数，

∴f（x）为[0,1]上的增函数．

由①②知“f（x）为[0,1]上的增函数”是“f（x）为[3,4]上的减函数”的充要条件．

题型二　与抽象函数有关的函数零点问题

例2　设函数f（x）在R上满足f（2－x）＝f（2＋x），f（7－x）＝f（7＋x），且在闭区间[0,7]上，只有f

（1）＝f（3）＝0，则方程f（x）＝0在闭区间[－2011,2011]上的根的个数为（　　）

A．802B．803C．804D．805

破题切入点　将条件转化为我们所熟悉的知识．

答案　D

解析　f（7－x）＝f（7＋x）＝f（2＋（5＋x））＝f（2－（5＋x））＝f（－3－x），

即f（x＋10）＝f（x），所以函数的周期为10，

且对称轴为x＝2，x＝7，在[0,10]内，

f

（1）＝f（3）＝f（11）＝f（13），

所以一个周期内只有2个零点，

在[0,2011]内2011＝201×10＋1有201×2＋1＝403个，

在[－2011,0]内－2011＝201×（－10）－1，

有201个周期且f（－1）≠0，此时有201×2＝402个零点，合计805，故选D.

题型三　与抽象函数有关的新概念问题

例3　设V是全体平面向量构成的集合．若映射f：

V→R满足：

对任意向量a＝（x1，y1）∈V，b＝（x2，y2）∈V，以及任意λ∈R，均有f（λa＋（1－λ）b）＝λf（a）＋（1－λ）f（b），

则称映射f具有性质P，

现给出如下映射：

①f1：

V→R，f1（m）＝x－y，m＝（x，y）∈V；

②f2：

V→R，f2（m）＝x2＋y，m＝（x，y）∈V；

③f3：

V→R，f3（m）＝x＋y＋1，m＝（x，y）∈V.

其中，具有性质P的映射的序号为________．（写出所有具有性质P的映射的序号）

破题切入点　准确把握性质P的含义．

答案　①③

解析　a＝（x1，y1），b＝（x2，y2），λa＋（1－λ）b＝（λx1＋（1－λ）x2，λy1＋（1－λ）y2）．

对于①，∵f1（m）＝x－y，

∴f（λa＋（1－λ）b）＝[λx1＋（1－λ）x2]－[λy1＋（1－λ）·y2]＝λ（x1－y1）＋（1－λ）（x2－y2），

而λf（a）＋（1－λ）f（b）＝λ（x1－y1）＋（1－λ）（x2－y2），

∴f（λa＋（1－λ）b）＝λf（a）＋（1－λ）f（b），

∴①具有性质P.

对于②，f2（m）＝x2＋y，设a＝（0,0），b＝（1,2），λa＋（1－λ）b＝（1－λ，2（1－λ）），f（λa＋（1－λ）b）＝（1－λ）2＋2（1－λ）＝λ2－4λ＋3，

而λf（a）＋（1－λ）f（b）

＝λ（02＋0）＋（1－λ）（12＋2）＝3（1－λ），

又λ是任意实数，

∴f（λa＋（1－λ）b）≠λf（a）＋（1－λ）f（b），

故②不具有性质P.

对于③，f3（m）＝x＋y＋1，

f（λa＋（1－λ）b）＝[λx1＋（1－λ）x2]＋[λy1＋（1－λ）y2]＋1

＝λ（x1＋y1）＋（1－λ）（x2＋y2）＋1，

又λf（a）＋（1－λ）f（b）＝λ（x1＋y1＋1）＋（1－λ）（x2＋y2＋1）

＝λ（x1＋y1）＋（1－λ）（x2＋y2）＋λ＋（1－λ）

＝λ（x1＋y1）＋（1－λ）（x2＋y2）＋1，

∴f（λa＋（1－λ）b）＝λf（a）＋（1－λ）f（b）．

∴③具有性质P.

综上，具有性质P的映射的序号为①③.

总结提高　

（1）让抽象函数不再抽象的方法主要是赋值法和单调函数法，因此学会赋值、判断并掌握函数单调性和奇偶性是必须过好的两关，把握好函数的性质．

（2）解答抽象函数问题时，学生往往盲目地用指数、对数函数等来代替函数来解答问题而导致出错，要明确抽象函数是具有某些性质的一类函数而不是具体的某一个函数，因此掌握这类函数的关键是把握函数的性质以及赋值的方法．

1．设f（x）为偶函数，对于任意的x>0，都有f（2＋x）＝－2f（2－x），已知f（－1）＝4，那么f（－3）等于（　　）

A．2B．－2

C．8D．－8

答案　D

解析　∵f（x）为偶函数，

∴f

（1）＝f（－1）＝4，f（－3）＝f（3），

当x＝1时，f（2＋1）＝（－2）·f（2－1），

∴f（3）＝（－2）×4＝－8，∴f（－3）＝－8.

2．对于函数y＝f（x），x∈R，“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的（　　）

A．充分而不必要条件

B．必要而不充分条件

C．充要条件

D．既不充分也不必要条件

答案　B

解析　若函数y＝f（x）是奇函数，则f（－x）＝－f（x）．此时|f（－x）|＝|－f（x）|＝|f（x）|，因此y＝|f（x）|是偶函数，其图象关于y轴对称，但当y＝|f（x）|的图象关于y轴对称时，未必能推出y＝f（x）为奇函数，故“y＝|f（x）|的图象关于y轴对称”是“y＝f（x）是奇函数”的必要而不充分条件．

3．函数f（n）＝logn＋1（n＋2）（n∈N*），定义：

使f

（1）·f

（2）·…·f（k）为整数的数k（k∈N*）叫做企盼数，则在区间[1,10]内这样的企盼数共（　　）

A．2个B．3个C．4个D．5个

答案　A

解析　依题意有f

（1）＝log23，f

（2）＝log34，f（3）＝log45，…，f（k）＝logk＋1（k＋2），则有f

（1）·f

（2）·f（3）·…·f（k）＝log2（k＋2）．令log2（k＋2）＝m，则k＝2m－2，由k∈[1,10]得1≤2m－2≤10，∴3≤2m≤12，∵k∈N*，∴m＝2,3，故所求的企盼数共有2个．

4．设函数f（x）和g（x）分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（　　）

A．f（x）＋|g（x）|是偶函数

B．f（x）－|g（x）|是奇函数

C．|f（x）|＋g（x）是偶函数

D．|f（x）|－g（x）是奇函数

答案　A

解析　由f（x）是偶函数，可得f（－x）＝f（x），由g（x）是奇函数可得g（－x）＝－g（x），故|g（x）|为偶函数，

∴f（x）＋|g（x）|为偶函数．

5．（2014·攀枝花模拟）定义在R上的偶函数f（x）满足f（2－x）＝f（x），且在[－3，－2]上是减函数，α，β是钝角三角形的两个锐角，则下列不等式中正确的是（　　）

A．f（sinα）>f（cosβ）B．f（sinα）

C．f（cosα）f（cosβ）

答案　B

解析　因为f（x）为R上的偶函数，所以f（－x）＝f（x），

又f（2－x）＝f（x），所以f（x＋2）＝f（2－（x＋2））＝f（－x）＝f（x），

所以函数f（x）以2为周期，

因为f（x）在[－3，－2]上是减函数，

所以f（x）在[－1,0]上也是减函数，

故f（x）在[0,1]上是增函数，

因为α，β是钝角三角形的两个锐角，

所以α＋β<，α<－β，

则0

故f（sinα）

6．已知函数y＝f（x）和y＝g（x）的定义域及值域均为[－a，a]（常数a>0），其图象如图所示，则方程f（g（x））＝0根的个数为（　　）

A．2B．3C．5D．6

答案　D

解析　由f（x）的图象可知方程f（x）＝0有三个根，分别设为x1，x2，x3，因为f（g（x））＝0，所以g（x）＝x1，g（x）＝x2或g（x）＝x3，因为－a

7．如图，偶函数f（x）的图象如字母M，奇函数g（x）的图象如字母N，若方程f（f（x））＝0，f（g（x））＝0的实根个数分别为m，n，则m＋n＝________.

答案　12

解析　由图象可知偶函数f（x）的1个零点是0，另外2个零点分别在区间（－2，－1）与（1,2）中，值域是[－1,1]；奇函数g（x）的1个零点是0，另外2个零点分别在区间（－1,0）与（0,1）中，值域是[－2,2]．①只有当f（x）＝0时，f（f（x））＝0，故实根个数m＝3.②存在3个实数x，使g（x）＝0，f（g（x））＝0；存在3个实数x，使g（x）∈（－2，－1），f（g（x））＝0；存在3个实数x，使g（x）∈（1,2），f（g（x））＝0，故实根个数n＝9.从而m＋n＝12.

8．设y＝f（x）是定义在R上的偶函数，满足f（x＋1）＝－f（x），且在[－1,0]上是增函数，给出下列关于函数y＝f（x）的判断：

①y＝f（x）是周期函数；

②y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称；

③y＝f（x）在[0,1]上是增函数；

④f（）＝0.

其中正确判断的序号是________．

答案　①②④

解析　由f（x＋1）＝－f（x）可得f（x＋2）＝f（x），①正确；因为y＝f（x）是定义在R上的偶函数，可知y＝f（x）的图象关于直线x＝1对称，②正确；显然③错误；由f（－＋1）＝－f（－）＝－f（）＝f（）得f（）＝0，④正确．

9．函数f（x）的定义域为A，若x1，x2∈A且f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2，则称f（x）为单函数．例如，函数f（x）＝2x＋1（x∈R）是单函数．下列命题：

①函数f（x）＝x2（x∈R）是单函数；

②若f（x）为单函数，x1，x2∈A且x1≠x2，则f（x1）≠f（x2）；

③若f：

A→B为单函数，则对于任意b∈B，它至多有一个原象；

④函数f（x）在某区间上具有单调性，则f（x）一定是单函数．

其中的真命题是________．（写出所有真命题的序号）

答案　②③

解析　当f（x）＝x2时，不妨设f（x1）＝f（x2）＝4，有x1＝2，x2＝－2，此时x1≠x2，故①不正确；由f（x1）＝f（x2）时总有x1＝x2可知，当x1≠x2时，f（x1）≠f（x2），故②正确；若b∈B，b有两个原象时，不妨设为a1，a2，可知a1≠a2，但f（a1）＝f（a2），与题中条件矛盾，故③正确；函数f（x）在某区间上具有单调性时整个定义域上不一定单调，因而f（x）不一定是单函数，故④不正确．故答案为②③.

10．（2013·湖南）设函数f（x）＝ax＋bx－cx，其中c>a>0，c>b>0.

（1）记集合M＝{（a，b，c）|a，b，c不能构成一个三角形的三条边长，且a＝b}，则（a，b，c）∈M所对应的f（x）的零点的取值集合为________．

（2）若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是_______