整理第十章曲线积分Word格式.docx

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把曲线分成n小段,∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn（∆si也表示弧长）;

任取（ξi,ηi）∈∆si,得第i小段质量的近似值μ（ξi,ηi）∆si;

整个物质曲线的质量近似为

;

令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn}→0,则整个物质曲线的质量为

.

这种和的极限在研究其它问题时也会遇到.

定义设L为xOy面内的一条光滑曲线弧,函数f（x,y）在L上有界.在L上任意插入一点列M1,M2,⋅⋅⋅,Mn-1把L分在n个小段.设第i个小段的长度为∆si,又（ξi,ηi）为第i个小段上任意取定的一点,作乘积f（ξi,ηi）∆si,（i=1,2,⋅⋅⋅,n）,并作和

如果当各小弧段的长度的最大值λ→0,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x,y）在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分,记作

即

其中f（x,y）叫做被积函数,L叫做积分弧段.

设函数f（x,y）定义在可求长度的曲线L上,并且有界.

将L任意分成n个弧段:

∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn,并用∆si表示第i段的弧长;

在每一弧段∆si上任取一点（ξi,ηi）,作和

令λ=max{∆s1,∆s2,⋅⋅⋅,∆sn},如果当λ→0时,这和的极限总存在,则称此极限为函数f（x,y）在曲线弧L上对弧长的

曲线积分或第一类曲线积分,记作

曲线积分的存在性:

当f（x,y）在光滑曲线弧L上连续时,对弧长的曲线积分

是存在的.以后我们总假定f（x,y）在L上是连续的.

根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分

的值,其中μ（x,y）为线密度.

对弧长的曲线积分的推广:

如果L（或Γ）是分段光滑的,则规定函数在L（或Γ）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和.例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2,则规定

闭曲线积分:

如果L是闭曲线,那么函数f（x,y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作

对弧长的曲线积分的性质:

性质1设c1、c2为常数,则

性质2若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2,则

性质3设在L上f（x,y）≤g（x,y）,则

特别地,有

二、对弧长的曲线积分的计算法

根据对弧长的曲线积分的定义,如果曲线形构件L的线密度为f（x,y）,则曲线形构件L的质量为

另一方面,若曲线L的参数方程为

x=ϕ（t）,y=ψ（t）（α≤t≤β）,

则质量元素为

曲线的质量为

即

定理设f（x,y）在曲线弧L上有定义且连续,L的参数方程为

x=ϕ（t）,y=ψ（t）（α≤t≤β）,

其中ϕ（t）、ψ（t）在[α,β]上具有一阶连续导数,且ϕ'

2（t）+ψ'

2（t）≠0,则曲线积分

存在,且

（α<

β）.

证明（略）

应注意的问题:

定积分的下限α一定要小于上限β.

讨论:

（1）若曲线L的方程为y=ψ（x）（a≤x≤b）,则

=?

提示:

L的参数方程为x=x,y=ψ（x）（a≤x≤b）,

（2）若曲线L的方程为x=ϕ（y）（c≤y≤d）,则

L的参数方程为x=ϕ（y）,y=y（c≤y≤d）,

（3）若曲Γ的方程为x=ϕ（t）,y=ψ（t）,z=ω（t）（α≤t≤β）,

则

.

例1计算

其中L是抛物线y=x2上点O（0,0）与点B（1,1）之间的一段弧.

解曲线的方程为y=x2（0≤x≤1）,因此

例2计算半径为R、中心角为2α的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度为μ=1）.

解取坐标系如图所示,则

曲线L的参数方程为

x=Rcosθ,y=Rsinθ（-α≤θ<

α）.

于是

=R3（α-sinαcosα）.

例3计算曲线积分

其中Γ为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2π的一段弧.

解在曲线Γ上有x2+y2+z2=（acost）2+（asint）2+（kt）2=a2+k2t2,并且

小结:

用曲线积分解决问题的步骤:

（1）建立曲线积分;

（2）写出曲线的参数方程（或直角坐标方程）,确定参数的变化范围;

（3）将曲线积分化为定积分;

（4）计算定积分.

10.2对坐标的曲线积分

一、对坐标的曲线积分的概念与性质

变力沿曲线所作的功:

目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：

①从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；

②从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；

③通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。

5.建设项目环境影响评价文件的重新报批和重新审核

（3）生产、储存烟花爆竹的建设项目；

一、环境影响评价的发展与管理体系、相关法律法规体系和技术导则的应用

2.环境影响评价工程师职业资格制度

（1）生产力变动法

（2）疾病成本法与人力资本法

1）规划实施对环境可能造成影响的分析、预测和评估。

主要包括资源环境承载能力分析、不良环境影响的分析和预测以及与相关规划的环境协调性分析。

（2）可能造成轻度环境影响的建设项目，编制环境影响报告表，对产生的环境影响进行分析或者专项评价；

②既包括天然的自然环境，也包括人工改造后的自然环境。