整理第十章曲线积分Word格式.docx

1、 把曲线分成n小段, s1, s2, , sn（si也表示弧长）; 任取（i , i）si, 得第i小段质量的近似值（i , i）si; 整个物质曲线的质量近似为;令=maxs1, s2, , sn0, 则整个物质曲线的质量为. 这种和的极限在研究其它问题时也会遇到. 定义 设L为xOy面内的一条光滑曲线弧, 函数f（x, y）在L上有界. 在L上任意插入一点列M1, M2, , Mn-1把L分在n个小段. 设第i个小段的长度为si, 又（i, i）为第i个小段上任意取定的一点, 作乘积f（i, i）si, （i=1, 2, , n ）, 并作和, 如果当各小弧段的长度的最大值0, 这和的极限

2、总存在, 则称此极限为函数f（x, y）在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作, 即其中f（x, y）叫做被积函数, L 叫做积分弧段. 设函数f（x, y）定义在可求长度的曲线L上, 并且有界. 将L任意分成n个弧段: s1, s2, , sn, 并用si表示第i段的弧长; 在每一弧段si上任取一点（i, i）, 作和 令=maxs1, s2, , sn, 如果当0时, 这和的极限总存在, 则称此极限为函数f（x, y）在曲线弧L上对弧长的曲线积分或第一类曲线积分, 记作 曲线积分的存在性: 当f（x, y）在光滑曲线弧L上连续时, 对弧长的曲线积分是存在的. 以后我们总假定f

3、（x, y）在L上是连续的. 根据对弧长的曲线积分的定义,曲线形构件的质量就是曲线积分的值, 其中（x, y）为线密度. 对弧长的曲线积分的推广: 如果L（或）是分段光滑的, 则规定函数在L（或）上的曲线积分等于函数在光滑的各段上的曲线积分的和. 例如设L可分成两段光滑曲线弧L1及L2, 则规定 闭曲线积分: 如果L是闭曲线, 那么函数f（x, y）在闭曲线L上对弧长的曲线积分记作 对弧长的曲线积分的性质: 性质1 设c1、c2为常数, 则 性质2 若积分弧段L可分成两段光滑曲线弧L1和L2, 则 性质3设在L上f（x, y）g（x, y）, 则特别地, 有 二、对弧长的曲线积分的计算法 根据

4、对弧长的曲线积分的定义, 如果曲线形构件L的线密度为f（x, y）, 则曲线形构件L的质量为 另一方面, 若曲线L的参数方程为x=（t）, y= （t） （t）,则质量元素为, 曲线的质量为即 定理 设f（x, y）在曲线弧L上有定义且连续, L的参数方程为 x=（t）, y=（t） （t）, 其中（t）、（t）在, 上具有一阶连续导数, 且2（t）+2（t）0, 则曲线积分存在, 且（）. 证明（略） 应注意的问题: 定积分的下限一定要小于上限. 讨论: （1）若曲线L的方程为y=（x）（axb）, 则=?提示: L的参数方程为x=x, y=（x）（axb）, （2）若曲线L的方程为x=（y

5、）（cyd）, 则 L的参数方程为x=（y）, y=y（cyd）, （3）若曲的方程为x=（t）, y=（t）, z=（t）（t）, 则. 例1 计算, 其中L是抛物线y=x2上点O（0, 0）与点B（1, 1）之间的一段弧. 解 曲线的方程为y=x2 （0x1）, 因此例2 计算半径为R、中心角为2的圆弧L对于它的对称轴的转动惯量I（设线密度为=1）. 解 取坐标系如图所示, 则 曲线L的参数方程为 x=Rcos, y=Rsin （-）. 于是 =R3（-sin cos）. 例3 计算曲线积分, 其中为螺旋线x=acost、y=asint、z=kt上相应于t从0到达2的一段弧. 解 在曲线上

6、有x2+y2+z2=（a cos t）2+（a sin t）2+（k t）2=a2+k 2t 2, 并且小结: 用曲线积分解决问题的步骤: （1）建立曲线积分; （2）写出曲线的参数方程 （ 或直角坐标方程） , 确定参数的变化范围; （3）将曲线积分化为定积分; （4）计算定积分. 10. 2 对坐标的曲线积分一、对坐标的曲线积分的概念与性质 变力沿曲线所作的功:目前，获得人们的偏好、支付意愿或接受赔偿的意愿的途径主要有以下三类：从直接受到影响的物品的相关市场信息中获得；从其他事物中所蕴含的有关信息间接获得；通过直接调查个人的支付意愿或接受赔偿的意愿获得。5.建设项目环境影响评价文件的重新报批和重新审核（3）生产、储存烟花爆竹的建设项目；一、环境影响评价的发展与管理体系、相关法律法规体系和技术导则的应用2.环境影响评价工程师职业资格制度（1）生产力变动法（2）疾病成本法与人力资本法1）规划实施对环境可能造成影响的分析、预测和评估。主要包括资源环境承载能力分析、不良环境影响的分析和预测以及与相关规划的环境协调性分析。（2）可能造成轻度环境影响的建设项目，编制环境影响报告表，对产生的环境影响进行分析或者专项评价；既包括天然的自然环境，也包括人工改造后的自然环境。