会计自考《线性代数》复习资料Word文档格式.docx
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1.3行列式的性质与计算
1.3.1行列式的性质
性质1行列式和它的转置行列式相等，即D=DT
性质2用数k乘行列式D中某一行（列）的所有元素所得到的行列式等于kD，行列式可以按行和按列提出公因数
注意必须按行或按列逐次提出公因数
任意一个奇数阶反对称行列式必为0，反对称行列式指的是，其中主对角线上的元素全为0，而以主对角线为轴，两边处于对称位置上的元素异号，即若D=|aij|n是反对称行列式，则它满足条件aij=—aij，i，j=1,2，…，n
性质3互换行列式的任意两行（列），行列式的值改变符号
推论如果行列式中有两行（列）相同，则此行列式的值等于0
性质4如果行列式中某两行（列）的对应元素成比例，则此行列式的值等于0
性质5行列式可以按行（列）拆开（应当逐行、逐列拆开）=
性质6把行列式D的某一行（列）的所有元素都乘以一个数以后加到另一行（列）的对应元素上去，所得的行列式仍为D
定理1.3.1n阶行列式D=|aij|n的任意一行（列）各元素与另一行（列）对应元素的代数余子式的乘积之和等于0
1.3.2行列式的计算
1.4克拉默法则
定理1.4.1
含有n个方程的n元线性方程组的一般形式为
（1.3）
它的系数构成的n阶行列式
D=称为方程组（1.3）的系数行列式
定理1.4.2（克拉默法则）如果n个方程的n元线性方程组（1.3）的系数行列式D=|aij|n≠0，则方程组（1.3）必有唯一解，Xj=，j=1,2，…，n，其中Dj是将系数行列式D中第j列元素a1j，a2j，…，anj对应地换为方程组的常数项b1，b2，…，bn得到的行列式。
说明：
在用克拉黙法则求解线性方程组时，要求方程的个数与未知量的个数相等
如果n元线性方程组（1.3）的常数项b1，b2，…，bn均为零，即
则称之为齐次线性方程组
定理1.4.3如果齐次线性方程组的系数行列式D≠0，则它只有零解。
Xj=，由于行列式Dj的第j列元素全为零，因此Dj=0，所以齐次线性方程组仅有零解。
n个方程n个未知量的齐次线性方程组只有零解当且仅当它的系数行列式不等于零；
它有非零解当且仅当它的系数行列式等于零。
第二章矩阵
2.1线性方程组与矩阵的定义
2.1.1线性方程组
含n个未知量的线性方程组称为n元线性方程组，它的一般形式为
（2.1）
方程的个数m与未知量的个数n可以相等，也可以m>
n或m<
n。
一个线性方程组的所有解的集合称为该方程组的解集；
如果两个方程组的解集相同，则称这两个方程组为同解方程组
线性方程组的初等变换
（1）把一个方程的倍数加到另一个方程上
（2）互换两个方程的位置
（3）用一个非零数乘某一个方程
对于一个线性方程组可以只写出它的系数和常数项，并把它们按原来的次序排成一张表，这张表称为线性方程组的增广矩阵。
只列出方程组中未知量系数的表称为方程组的系数矩阵。
2.1.2矩阵的概念
定义2.1.1由m×
n个数aij（i=1，2…，m；
j=1，2，…，n）排成的一个m行n列的数表称为一个m行n列矩阵。
通常用大写字母A，B，C等表示矩阵，当m=n时，称A=（aij）m×
n为n阶矩阵，或者称为n阶方阵。
只有一阶方阵才是一个数。
一个n阶方阵A从左上角到右下角的这条对角线称为A的主对角线。
n阶方阵的主对角线上的元素a11，a12，…，ann，称为此方阵的对角元。
在本课程中，对于不是方阵的矩阵，我们不定义对角元。
当m=1时，称=（a1,a2,…,an）为n维行向量，它是1×
n矩阵
当n=1时，称=为m维列向量，它是m×
1矩阵
几种常用的特殊方阵
1、n阶对角矩阵，必须是方阵
2、数量矩阵：
对角矩阵的主对角线上的元素都相同。
当元素等于1时，称它为n阶单位矩阵，记为En或In
3、n阶上三角矩阵和n阶下三角矩阵
2.2矩阵运算
2.2.1矩阵的相等
定义2.2.1设A=（aij）m×
n，B=（bij）k×
l，若m=k，n=l且aij=bij，则称矩阵A与矩阵B相等，记为A=B。
两个矩阵相等指的是，它们的行数相同，列数也相同，而且两个矩阵处于相同位置（i，j）上的一对数都必须对应相等
2.2.2矩阵的加、减法
定义2.2.2设A=（aij）m×
n，B=（bij）m×
n是两个m×
n矩阵，由A与B的对应元素相加所得到的一个m×
n矩阵，称为A与B的和，记为A+B。
注：
当两个矩阵A与B的行数与列数分别相等时，称它们是同型矩阵，只有当两个矩阵是同型矩阵时，它们才可以相加。
由定义2.2.2知矩阵的加法满足下列运算律：
设A，B，C都是m×
n矩阵，O是m×
n零矩阵，则
（1）交换律A+B=B+A
（2）结合律（A+B）+C=A+（B+C）
（3）A+O=O+A=A
（4）消去律A+C=B+C⇔A=B
A的负矩阵，记为—A，显然有A+（—A）=（—A）+A=O，由此可以定义矩阵的减法为A—B=A+（—B）
2.2.3数乘运算
数乘运算律
（1）结合律（kl）A=k（lA）=klA，k和l为任意实数
（2）分配律k（A+B）=kA+kB，（k+l）A=kA+lA，k和l为任意实数
2.2.4乘法运算
定义2.2.4设矩阵A=（aij）m×
k，B=（bij）k×
n，令C=（cij）m×
n是由下面的m×
n个元素
Cij=ai1b1j+ai2b2j+…+aikbkj构成的m行n列矩阵，称矩阵C为矩阵A与矩阵B的乘积，记为C=AB
由此定义可以知道，两个矩阵A=（aij）和B=（bij）可以相乘当且仅当A的列数与B的行数相等，当C=AB时，C的行数=A的行数，C的列数=B的列数，C的第i行第j列元素等于矩阵A的第i行元素与矩阵B的第j列对应元素的乘积之和。
由矩阵乘法可知：
（1）单位矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换
（2）数量矩阵与任意一个同阶方阵的乘积必可交换
（3）在一般情形下，矩阵的乘法不满足交换律
（4）当AB=O时，一般不能退出A=O或B=O，这说明矩阵乘法不满足消去律
若矩阵A与B满足AB=BA，则称A与B可交换，此时A与B必为同阶方阵。
矩阵乘法不满足消去律，并不是说任意两个方阵相乘时，每一个方阵都不能从矩阵等式的同侧消去，被称为可逆矩阵的方阵一定可以从矩阵等式同侧消去。
乘法运算律
（1）矩阵乘法结合律（AB）C=A（BC）
（2）矩阵乘法分配律（A+B）C=AC+BC，A（B+C）=AB+AC
（3）两种乘法的结合律k（AB）=（KA）B=A（KB）
（4）EmAm×
n=Am×
nAm×
nEn=Am×
n
方阵的方幂
A0=EAkAl=Ak+l（Ak）l=Akl
因为矩阵乘法不满足交换律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论
（1）（A+B）2=A2+AB+BA+B2=A2+2AB+B2⇔AB=BA
（2）（A+B）（A-B）=A2-AB+BA-B2=A2-B2⇔AB=BA
（3）当AB=BA时，必有（AB）k=AkBk
（4）当A=B时，在满足可乘条件下必可推出AC=BC，CA=CB，但未必有AC=CB,CA=BC（同方向相乘可以）
因为矩阵乘法不满足消去律，所以对于n阶方阵A和B，有以下重要结论
（1）由AB=O，A≠O不能推出B=O
（2）A2=O,不能推出A=O
（3）由AB=AC，A≠O不能推出B=C
（4）由A2=B2不能推出（A+B）（A-B）=O和A=±
B
2.2.5矩阵的转置
定义2.2.5把矩阵的行与列互换得到的n×
m矩阵，称为矩阵A的转置矩阵，记作AT
转置运算律
（1）（AT）T=A
（2）（A+B）T=AT+BT
（3）（KA）T=KAT，k为实数
（4）（AB）T=BTAT
定义2.2.6设A=（aij）为n阶实方阵，若A满足AT=A，也就是说A中元素满足aij=aji，则称A为实对称矩阵。
若A满足AT=—A，也就是说A中元素满足aij=—aji，此时必有aii=0，则称A为实反对称矩阵
2.2.6方阵的行列式
定义2.2.7由n阶方阵A的元素按原来的顺序构成的行列式称为方阵A的行列式，记作|A|
注意：
（1）矩阵的行数与列数未必相等，但行列式的行数与列数必须相等
（2）当且仅当A=（aij）为n阶方阵时，才可取行列式D=|A|=|aij|n，对于不是方阵的矩阵不可以取行列式
方阵的行列式有如下性质：
设A，B为n阶方阵，k为数，则
（1）|AT|=|A|
（2）|KA|=Kn|A|
（3）|AB|=|A|.|B|
任意奇数阶反对称矩阵的行列式必为零
2.2.7方阵多项式
任意给定一个多项式f（x）=amxm+am-1xm-1+…+a1x+a0和任意给定一个n阶方阵A，都可以定义一个n阶方阵f（A）=amAm+am-1Am-1+…+a1A+a0En，称为f（A）为A的方阵多项式
在方阵多项式中，末项必须是数量矩阵a0En而不是常数a0，方阵多项式是以多项式形式表示的方阵。
2.3方阵的逆矩阵
定义2.3.1设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=En，则称A是可逆矩阵，并称方阵B为A的逆矩阵，记为A-1，即A-1=B，若满足AB=BA=En的方阵B不存在，则称A为不可逆矩阵
定理2.3.1可逆矩阵A的逆矩阵是唯一的
AA-1=A-1A=En|AA-1|=|En|=1，即|A|.|A-1|=1，从而|A-1|=|A|-1
只有方阵才可能是可逆矩阵，且可逆矩阵的逆矩阵一定是方阵
定义2.3.2设A=（aij）n×
n，Aij为|A|的元素aij的代数余子式，则矩阵
称为A的伴随矩阵，记为A*。
由伴随矩阵的定义可以看出，在构造A的伴随矩阵时，Aij必须放在A*中的第j行第i列的交叉位置上，即|A|的第i行元素的代数余子式构成A*的第i列元素
AA*=|A|EnA*A=|A|En若行列式|A|≠0，则可以在它们的两边乘以，得
A（）=En（）A=En
定理2.3.2n阶方阵A为可逆矩阵⇔|A|≠0
求逆矩阵公式A-1=
推论设A，B均为n阶矩阵，并且满足AB=En，则A，B都可逆，且A-1=B，B-1=A
这个推论表明，以后我们验证一个矩阵是另一个矩阵的逆矩阵时，只需要证明一个等式AB=En或BA=En成立即可
可逆矩阵的基本性质设A，B为同阶的可逆方阵，常数k≠0，则
（1）A-1为可逆矩阵，且（A-1）-1=A
（2）AB为可逆矩阵，且（AB）-1=B-1A-1
（3）kA为可逆矩阵，且（kA）-1=A-1
（4）AT为可逆矩阵，且（AT）-1=（A-1）T
（5）可逆矩阵可以从矩阵等式的同侧消去，即当P为可逆矩阵时，有PA=PB⇔A=B；
AP=BP⇔A=B
（6）设A是n阶可逆矩阵，我们记A0=En，并定义A-k=（A-1）k，其中k为任意正整数，则有AkAl=Ak+l，（Ak）l=Akl，这里k和l为任意整数（包括负整数、零和正整数）
矩阵不能做分母
只有当把求出的逆矩阵与矩阵A相乘，它们的乘积是单位矩阵时，才能确保它是A的逆矩阵
设A为n阶方阵，则|A*|=|A|n-1
设A为n阶方阵，则当P为可逆矩阵时，A为对称矩阵⇔PTAP为对称矩阵
凡是需要通过方阵等式求出逆矩阵的问题，经常用凑逆矩阵法：
对于需要求逆矩阵的A，借助于A所满足的方阵等式，凑出一个矩阵X使得AX=En或XA=En
2.4分块矩阵
对于任意一个m×
n矩阵A=（aij）m×
n，常采用以下两种特殊的分块方法：
行向量表示法A=其中=（），i=1，2，…，m
列向量表示法A=其中=，j=1，2，…，n
前者称为A按行分块，后者称为将A按列分块
2.4.1分块矩阵的加法
2.4.2数乘分块矩阵
2.4.3分块矩阵的转置
分块矩阵转置时，不但看做元素的子块要转置，而且每个子块是一个子矩阵，它内部也要转置
例：
A==AT==
2.4.4分块矩阵的乘法和分块方阵求逆
利用伴随矩阵方法求逆A-1=
容易直接验证如下特殊分块方阵求逆公式的正确性
（1）当A和D是任意两个可逆矩阵时，有
=特别=
（2）当B和C是任意两个可逆矩阵时，有
=特别=
2.5矩阵的初等变换与初等方阵
2.5.1初等变换
定义2.5.1对一个矩阵A=（aij）m×
n施行以下三种类型的变换，称为矩阵的初等行（列）变换，统称为矩阵的初等变换：
（1）交换A的某两行（列）
（2）用一个非零的数k乘A的某一行（列）
（3）把A中某一行（列）的k倍加到另一行（列）上
必须注意：
对矩阵施行初等变换则是变换过程，除恒等变换以外，一般来说变换前后的两个矩阵不是相等的，因此，用箭号“→”连接变换前后的矩阵，而且不需要将矩阵改号或提取公因数
定义2.5.2若矩阵A经过若干次初等变换变为B，则称A与B等价，记为AB
矩阵之间的等价关系有以下三条性质：
（1）反身性AA
（2）对称性若AB，则BA
（3）传递性若AB，BC，则AC
2.5.2初等方阵
定义2.5.3由单位矩阵E经过一次初等变换得到的矩阵称为初等方阵
（1）交换E的第i，j两行（列），得到的初等方阵记为Pij
（2）用非零常数k乘E的第i行（列），得到的初等方阵记为Di（k）
（3）将E的第j行的k倍加到第i行上（或第i列的k倍加到第j列上），i<
j，得到的初等方阵记为Tij（k）
将E的第i行的k倍加到第j行上（或第j列的k倍加到第i列上），i<
j，得到的初等方阵记为Tji（k）
任意一类初等方阵一定是可逆矩阵，而且任意一类初等方阵的逆矩阵仍然是同一类的初等方阵
定理2.5.1Pij左（右）乘A就是互换A的第i行（列）和第j行（列）
Di（k）左（右）乘A就是用非零数k乘A的第i行（列）
Tij（k）左乘A就是把A中第j行的k倍加到第i行上
Tji（k）右乘A就是把A中第i列的k倍加到第j列上
2.5.3矩阵的等价标准形
定理2.5.2任意一个m×
n矩阵A，一定可以经过有限次初等行变换和初等列变换化成如下形式的m×
矩阵：
，这是一个分块矩阵，其中Er为r阶单位矩阵，而其余子块都是零块矩阵。
称为A的等价标准形
定理2.5.3任意一个m×
n矩阵A，一定存在m阶可逆矩阵P和n阶可逆矩阵Q，使得PAQ=
2.5.4用初等行变换求可逆矩阵的逆矩阵
定理2.5.4n阶方阵A是可逆矩阵的⇔存在可逆矩阵P，Q使得PAQ=En（即A等价于单位矩阵）⇔A可以写成若干个初等方阵的乘积
具体方法：
用初等行变换把n×
2n矩阵（A，En）化成（En，A-1），当（A，En）的左半部分化为单位矩阵En时，右半部分就是A-1了，如果前n列不可能化为单位矩阵，则说明A不是可逆矩阵。
用初等行变换方法求逆矩阵时，不能同时用初等列变换
2.5.5用矩阵的初等变换求解矩阵方程
最常见的矩阵方程有以下两类：
（1）设A是n阶可逆矩阵，B是n×
m矩阵，求出矩阵X满足AX=B，即X=A-1B
方法：
用初等行变换把分块矩阵（A，B）化成（E，A-1B），即（A，B）→（E，A-1B）
（2）设A是n阶可逆矩阵，B是m×
n矩阵，求出矩阵X满足XA=B，即X=BA-1
X满足XA=B⇔XT满足ATXT=BT，从而有XT=（AT）-1BT=（BA-1）T
用初等行变换把（AT，BT）化成（En，（BA-1）T），即（AT，BT）→（En，XT）
关于矩阵方程的另一种常用求解方法是：
先求出逆矩阵A-1，然后求出AX=B的解X=A-1B或者XA=B的解X=BA-1
2.6矩阵的秩
定义2.6.1在m×
n矩阵A中，非零子式的最高阶数称为A的秩，记为r（A）
定理2.6.1对矩阵施行初等变换，不改变矩阵的秩
推论设A为m×
n矩阵，P和Q分别为m阶和n阶可逆矩阵，则r（PA）=r（A），r（AQ）=r（A）
定义2.6.2满足下列两个条件的矩阵称为阶梯形矩阵：
（1）如果存在全零行，则全零行都位于矩阵中非零行的下方
（2）各非零行中从左边数起的第一个非零元素（称为主元）的列指标j随着行指标的递增而严格增大
如果对矩阵A施行初等行变换，得到其阶梯形矩阵后，进一步进行初等行变换，将阶梯形矩阵的主元全化为1，且这些主元1所在列的其他元素全化为零，得到的阶梯形矩阵称为A的简化行阶梯形矩阵或称为A的行最简形矩阵。
定理2.6.2对于任意一个非零矩阵，都可以通过初等行变换把它化成阶梯形矩阵
简化行阶梯形矩阵与阶梯形矩阵的区别：
简化行阶梯形矩阵的主元都是1，而且除主元1以外，它所在列的其他元素全部被化成了0
关于矩阵的秩，有以下结论：
（1）设A=（aij）m×
n，则r（A）≤min{m，n}
（2）r（AT）=r（A），实际上A与AT中的最高阶非零子式的阶数必相同
（3）n阶方阵A为可逆矩阵⇔|A|≠0⇔r（A）=n，所以可逆矩阵常称为满秩矩阵，秩为m的m×
n矩阵称为行满秩矩阵，秩为n的m×
n矩阵称为列满秩矩阵
2.7矩阵与线性方程组
定理2.7.1n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是系数矩阵A=（aij）m×
n的秩r（A）<
推论1含有n个方程的n元齐次线性方程组Ax=0有非零解的充分必要条件是|A|=0，且当它有非零解时，必有无穷多个非零解
推论2若方程组Ax=0中方程的个数小于未知量的个数，则方程组必有非零解
第三章向量空间
3.1n维向量概念及其线性运算
3.1.1n维向量及其线性运算
定义3.1.1由n个数a1，a2，…..，an组成的有序数组（a1，a2，…..，an）称为一个n维向量，数ai称为该向量的第i个分量（i=1，2，…，n）。
向量的维数指的是向量中的分量个数。
向量可以写成一行（a1，a2，…..，an）；
也可以写成一列：
，前者称为行向量，后者称为列向量，列向量也可以写成（a1，a2，…..，an）T的形式
定义3.1.2所有分量都是零的n维向量称为n维零向量。
不同维数的零向量是不相等的。
把向量的各个分量都取相反数组成的向量，称为的负向量
定义3.1.3如果n维向量=（a1，a2，…..，an）与n维向量=（b1，b2，…..，bn）的对应分量都相等，称向量与相等，记作
定义3.1.4（向量的加法）设n维向量=（a1，a2，…..，an），=（b1，b2，…..，bn），则与的和是向量=（）
定义3.1.5（数与向量的乘法）设=（a1，a2，…..，an）是一个n维向量，k为一个数，则数k与的乘积称为数乘向量，简称为数乘，记作k，并且k=（ka1，ka2，…..，kan）
向量的加法运算及数乘运算统称为向量的线性运算
向量的运算满足下列8条运算律：
设、、都是n维向量，k，l是数，则
（1）=
（2）（）+=（）
（3）+0=
（4）+（-）=0
（5）1×
=
（6）k（）=
（7）（k+l）=k+l
（8）（kl）=k（）
3.1.2向量的线性组合
1、向量的线性组合
定义3.1.6设1，2，…..，m是一组n维向量，k1，k2，…..，km是一组常数，则称
为1，2，…..，m的一个线性组合，常数k1，k2，…..，km称为该线性组合的组合系数。
若一个n维向量可以表示成
则称是1，2，…..，m的线性组合，或称可用1，2，…..，m线性表出（或线性表示），仍称k1，k2，…..，km为组合系数，或表出系数。
零向量可以用任意一组同维数的向量线性表出，=称它为零向量的平凡表出式
若干个同维数的向量所组成的集合叫做向量组，m个向量1，2，…..，m组成的向量组可记为R：
1，2，…..，m或R=｛1，2，…..，m｝
n维标准单位向量组=（0，…0，1，0，…，0），i=1，2，…，n，中第i个分量为1，其余分量为0。
显然，任意一个n维向量=（1，2，…..，n）都可以唯一地表示成这n个标准单位向量的线性组合
2、向量的线性表出关系的几何解释
任意取定2维非零向量、，则可用线性表出⇔=k，即与共线（或称为平行），这就是要求与的对应分量成比例
3、线性组合的矩阵表示法
向量=（1，2，…..，n）T可用向量组
1=（11，21，…..，n1）T，…，m=（1m，2m，…..，nm）T
线性表出的充分必要条件是存在m个数k1，k2，…..，km使得
（3.1）
利用向量的线性运算，（3.1）式可以写成如下的m元线性方程组：
（3.2）
那么，存在m个数k1，k2，…..，km使得（3.1）式成立当且仅当方程组（3.2）有解。
构造n×
m矩阵A=（1，2，…..，m），并令x=（1，2，…..，m）T，根据分块矩阵的乘法规则，方程组（3.2）可写成矩阵形式：
=（1，2，…..，m），或简写成Ax=
于是满足（3.1）式的表出系数k1，k2，…..，km就是线性方程组Ax=的解
若方程组（3.2）有唯一解，则表明可用1，2，…..，m线性表出，且表示法是唯一的
若方程组（3.2）有无穷多个解，则表明可用1，2，…..，m线性表出，且表示法不唯一
若方程组（3.2）无解，则表明不能用1，2
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