北师大版度高中数学必修1同步习题模块综合检测.docx
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北师大版度高中数学必修1同步习题模块综合检测
模块综合检测
（时间:
120分钟 满分:
150分）
一、选择题（本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的）
1满足A∪{1,-1}={1,0,-1}的集合A共有（ ）
A.2个B.4个
C.8个D.16个
解析:
根据题意,集合可能为{0},{0,1},{0,-1},{0,1,-1},共有4个,故选B.
答案:
B
2下列四个函数中,与y=x表示同一函数的是（ ）
A.y=（）2B.y=
C.y=D.y=
解析:
A选项中,函数的定义域为{x|x≥0},两个函数的定义域不同.
B选项中,函数的定义域为{x|x≠0},两个函数的定义域不同.
C选项中,函数的定义域为{x|x>0},两个函数的定义域不同.
D选项中,函数的定义域为R,对应法则相同,所以成立.故选D.
答案:
D
3函数f（x）=+lg（1+x）的定义域是（ ）
A.（-∞,-1）B.（1,+∞）
C.（-1,1）∪（1,+∞）D.（-∞,+∞）
解析:
根据题意,使f（x）=+lg（1+x）有意义,
应满足解得f（x）的定义域为（-1,1）∪（1,+∞）,故选C.
答案:
C
4已知幂函数y=f（x）的图像经过点,则f（4）的值为（ ）
A.16B.2
C.D.
解析:
设幂函数为y=xα,
∵幂函数y=f（x）的图像经过点,
∴=2α,
解得α=-,y=,f（4）=,故选C.
答案:
C
5下列函数图像中,能用二分法求零点的是（ ）
解析:
由函数图像可得,A中的函数没有零点,故不能用二分法求零点,故排除A.B和D中的函数有零点,但函数在零点附近两侧的符号相同,故不能用二分法求零点,故排除.只有C中的函数存在零点且函数在零点附近两侧的符号相反,故能用二分法求函数的零点,故选C.
答案:
C
6三个数0.76,60.7,log0.76的大小关系为（ ）
A.0.76B.0.76<60.7C.log0.76<60.7<0.76
D.log0.76<0.76<60.7
解析:
由对数函数y=log0.7x的图像和性质,
可知log0.76<0,由指数函数y=0.7x,y=6x的图像和性质,可知0.76<1,60.7>1,所以log0.76<0.76<60.7.故选D.
答案:
D
7已知函数f（x）=,其定义域是[-8,-4）,则下列说法正确的是（ ）
A.f（x）有最大值,无最小值
B.f（x）有最大值,最小值
C.f（x）有最大值,无最小值
D.f（x）有最大值2,最小值
解析:
函数f（x）==2+,即有f（x）在[-8,-4）上是减少的,
则x=-8处取得最大值,且为,由x=-4取不到,即最小值取不到,故选A.
答案:
A
8函数f（x）=的零点个数为（ ）
A.2B.3C.4D.5
解析:
根据函数f（x）=绘出图像大致如图,由图像可知零点个数为2.
答案:
A
9函数f（x）=2|x|-1在区间[-1,2]的值域是（ ）
A.[1,4]B.
C.[1,2]D.
解析:
函数f（x）=2t-1在R上是增函数,
∵-1≤x≤2,∴0≤|x|≤2,∴t∈[0,2].
∴f（0）≤f（x）≤f
（2）,即≤f（x）≤2.
∴函数的值域是.故选B.
答案:
B
10已知函数f（x）=-x2+4x+a,x∈[0,1],若f（x）有最小值-2,则f（x）的最大值为（ ）
A.1B.0C.-1D.2
解析:
函数f（x）=-x2+4x+a=-（x-2）2+a+4,
∵x∈[0,1],∴函数f（x）=-x2+4x+a在[0,1]上是增加的.
∴当x=0时,f（x）有最小值f（0）=a=-2,
当x=1时,f（x）有最大值f
（1）=3+a=3-2=1,故选A.
答案:
A
11已知f（x）是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞）都有<0,若f（lgx）>f
（1）,则x的取值范围是（ ）
A.B.∪（1,+∞）
C.D.（0,1）∪（10,+∞）
解析:
由于f（x）是偶函数,对任意的a,b∈[0,+∞）都有<0,
则偶函数f（x）在[0,+∞）是减少的,
则f（lgx）>f
（1）,即为f（|lgx|）>f
（1）,
即有|lgx|<1,即-1答案:
C
12若函数f（x）=是定义在（-∞,+∞）上的减函数,则a的取值范围是（ ）
A.B.
C.D.
解析:
由题意可得解得≤a<,故选A.
答案:
A
二、填空题（本大题共4小题,每小题5分,共20分.把答案填在题中的横线上）
13已知f（x+1）=x2-2x,则f
（2）= .
解析:
令x+1=t,∴x=t-1.
∴f（t）=（t-1）2-2（t-1）=t2-4t+3.
∴f（x）=x2-4x+3.∴f
（2）=-1.
答案:
-1
14若f（x）=+a是奇函数,则a= .
解析:
∵f（x）=+a是奇函数,
∴f（-x）=-f（x）对于任意的x≠0都成立.
∴+a=--a.
∴+a=-a.
∴2a==1.∴a=.
答案:
15已知函数y=f（x）在（0,3）上是增函数,函数y=f（x+3）是偶函数,则f,f,f
（2）的大小关系为 .
解析:
∵f（x+3）是偶函数,
∴f（x）的图像关于直线x=3对称.
∴f=f,f=f.
又f（x）在（0,3）上是增函数,
∴f（2）即f（2）答案:
f（2）16给出下列五个命题:
①函数y=f（x）,x∈R的图像与直线x=a可能有两个不同的交点;
②函数y=log2x2与函数y=2log2x是相等函数;
③对于指数函数y=2x与幂函数y=x2,存在x0,当x>x0时,有2x>x2成立;
④对于函数y=f（x）,x∈[a,b],若有f（a）·f（b）<0,则f（x）在（a,b）内有零点;
⑤已知x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,则x1+x2=5.
其中正确的序号是 .
解析:
对于①,函数表示每个x对应唯一的y值,是一种对应关系,根据定义进行判定即可判断①错;对于②,函数y=log2x2与函数y=2log2x的定义域不等,故不是相等函数,故②错;对于③,当x0取大于等于4的值都可使当x>x0时,有2x>x2成立,故③正确;对于④,只有函数y=f（x）在区间[a,b]上连续,才有f（a）·f（b）<0,f（x）在（a,b）内有零点,故④错;
对于⑤,∵x+lgx=5,∴lgx=5-x.
∵x+10x=5,∴10x=5-x.
∴lg（5-x）=x.如果作变量代换y=5-x,
则lgy=5-y.
∵x1是方程x+lgx=5的根,x2是方程x+10x=5的根,
∴x1=5-x2,∴x1+x2=5.故正确.
答案:
③⑤
三、解答题（本大题共6小题,共70分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17（10分）计算:
（1）;
（2）log225·log3·log5.
解
（1）原式=
=+1-1
=2·=2.
（2）原式=log252·log32-4·log53-2==16.
18（12分）已知全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1}.
（1）求∁UA,A∩（∁UB）;
（2）若C={x|1-a≤x≤2a+1},且C⊆A,求实数a的取值范围.
解
（1）∵全集U={x|-5≤x≤3},A={x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},
∴∁UA={x|-1≤x≤3},∁UB={x|-5≤x<-1或1≤x≤3}.
∴A∩（∁UB）={x|-5≤x<-1}.
（2）∵C={x|1-a≤x≤2a+1},
当1-a>2a+1,即a<0时,C=⌀,满足C⊆A;
当1-a≤2a+1,即a≥0时,C≠⌀,
由C⊆A得,-5≤1-a≤2a+1≤-1,a无解.
综上所述,满足C⊆A的实数a的取值范围为（-∞,0）.
19（12分）已知f（x）是二次函数,若f（0）=0,且函数f（x+1）=f（x）+x+1.
（1）求f（x）的解析式;
（2）求f（x）在x∈[-1,2]上的值域;
（3）令g（x）=f（x）-,判断函数g（x）是否存在零点,若存在,求出所有零点;若不存在,请说明理由.
解
（1）设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）,f（0）=0,则c=0.
由题意f（x+1）=f（x）+x+1,得
a（x+1）2+b（x+1）=ax2+bx+x+1,
即ax2+（2a+b）x+a+b=ax2+（b+1）x+1,
∴
解得a=b=.
∴f（x）=x2+x.
（2）f（x）=,x∈[-1,2],
最小值为f=-,最大值为f
（2）=3,
∴f（x）在[-1,2]上的值域是.
（3）由g（x）=f（x）-=0,
可得x2+x-=0,
∴x3+x2-2=0.
∴（x-1）（x2+2x+2）=0.
∴x=1,即函数g（x）的零点是1.
20（12分）为了估计山上积雪融化后对下游灌溉的影响,在山上建立了一个观察站,测量最大积雪深度x与当年灌溉面积y.现有连续10年的实测资料,如下表所示.
年序
最大积雪深度x（cm）
灌溉面积y（公顷）
1
15.2
28.6
2
10.4
21.1
3
21.2
40.5
4
18.6
36.6
5
26.4
49.8
6
23.4
45.0
7
13.5
29.2
8
16.7
34.1
9
24.0
45.8
10
19.1
36.9
（1）描点画出灌溉面积y随最大积雪深度x变化的图像;
（2）建立一个能基本反映灌溉面积变化的函数模型y=f（x）,并画出图像;
（3）根据所建立的函数模型,若今年最大积雪深度为25cm,则可以灌溉土地多少公顷?
解
（1）描点作图①如下所示:
图①
图②
（2）从图①中可以看到,数据点大致落在一条直线附近,由此,我们假设灌溉面积y和最大积雪深度x满足线性函数模型y=a+bx.
取其中的两组数据（10.4,21.1）,（24.0,45.8）,
代入y=a+bx,得
可算得a≈2.4,b≈1.8.
这样,我们得到一个函数模型y=2.4+1.8x.作出函数图像如图②,可以发现,这个函数模型与已知数据的拟合程度较好,这说明它能较好地反映最大积雪深度与灌溉面积的关系.
（3）由y=2.4+1.8×25,求得y=47.4,
即当积雪深度为25cm时,可以灌溉土地47.4公顷.
21（12分）已知f（x）=g（x）=.
（1）求y=g（x）的解析式,并画出其图像;
（2）写出方程xf[g（x）]=2g[f（x）]的解集.
解
（1）当x<1时,x-1<0,x-2<0,
此时g（x）==1.
当1≤x<2时,x-1≥0,x-2<0,
此时g（x）=.
当x≥2时,x-1>0,x-2≥0,
此时g（x）==2.
故y=g（x）=其图像如图.
（2）∵g（x）>0,
∴f[g（x）]=2,x∈R.
∴方程xf[g（x）]=2g[f（x）]即为x2=其解集为{-,2}.
22（12分）已知函数f（x）=.
（1）求证:
函数f（x）在区间（-1,+∞）上是增加的;
（2）设g（x）=f（2x）,求证:
函数g（x）是奇函数;
（3）在
（2）的前
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