当x≥5时,f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5≤x≤6}.
综上,不等式f(x)≥x2-8x+15的解集为{x|5-≤x≤6}.
3.(2019·湖北荆州一模)已知函数f(x)=|x-a|,不等式f(x)≤3的解集为[-6,0].
(1)求实数a的值;
(2)若f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,求实数m的取值范围.
解:
(1)由f(x)≤3,得|x-a|≤3,
因为a-3≤x≤a+3,又f(x)≤3的解集为[-6,0],
所以a=-3.
(2)因为f(x)+f(x+5)=|x+3|+|x+8|≥|x+3-(x+8)|=5,
又f(x)+f(x+5)≥2m对一切实数x恒成立,
所以2m≤5,即m≤.
4.(2018·高考全国卷Ⅲ)设函数f(x)=|2x+1|+|x-1|.
(1)画出y=f(x)的图象;
(2)当x∈[0,+∞)时,f(x)≤ax+b,求a+b的最小值.
解:
(1)f(x)=
y=f(x)的图象如图所示.
(2)由
(1)知,y=f(x)的图象与y轴交点的纵坐标为2,且各部分所在直线斜率的最大值为3,故当且仅当a≥3且b≥2时,f(x)≤ax+b在[0,+∞)上成立,因此a+b的最小值为5.
[综合题组练]
1.(2019·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)=|2x+2|-|2x-2|,x∈R.
(1)求不等式f(x)≤3的解集;
(2)若方程+a=x有三个实数根,求实数a的取值范围.
解:
(1)原不等式等价于或或解得x≤,
所以不等式f(x)≤3的解集为.
(2)方程+a=x可变形为a=x+|x-1|-|x+1|,
令h(x)=x+|x-1|-|x+1|=
作出函数h(x)的图象如图,
于是由题意可得-12.设函数f(x)=|2x+3|+|x-1|.
(1)解不等式f(x)>4;
(2)若存在x0∈使不等式a+1>f(x0)成立,求实数a的取值范围.
解:
(1)由题意得f(x)=
则f(x)>4⇔或或⇔x<-2或01.
所以不等式f(x)>4的解集为(-∞,-2)∪(0,+∞).
(2)存在x0∈使不等式a+1>f(x0)成立⇔a+1>f(