高中数学北师大版必修四教学案第一章 9 三角函数的简单应用 Word版含答案.docx

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高中数学北师大版必修四教学案第一章9三角函数的简单应用Word版含答案

讲一讲

．某海滨浴场的海浪高度（单位：

）是时间（≤≤，单位：

）的函数，下表是测得的某日各时的浪高数据：

经长期观测，函数＝（）的图像可以近似地看成函数＝（ω＋φ）＋（>，ω>）的图像．

（）根据上表数据，求＝（ω＋φ）＋的解析式；

（）依据规定，当海浪高度高于时才对冲浪者开放，请依据（）的结论，判断一天内从上午到晚上（：

～：

），开放冲浪场所的具体时间段，有多长时间可供冲浪者进行活动？

[尝试解答]　（）由表中的数据，知最小正周期＝小时，ω＝＝，φ＝，

故函数解析式为＝＋.由＝时，＝得＋＝，

由＝时，＝得＝，∴＝，

故函数解析式为＝＋.

（）由题意可知，当>时才对冲浪者开放，

即＋>，>，

则π－<<π＋，∈，

即－<<＋（∈），

又∵≤≤，∴＝，∴<<，

故在规定时间从上午：

到晚上：

，有个小时的时间可供冲浪者进行活动，开放冲浪场所的具体时间段为上午：

到下午：

.

根据给出的函数模型，利用表中的数据，找出变化规律，运用已学的知识与三角函数的知识，求出函数解析式中的参数，将实际问题转化三角方程或三角不等式，然后解方程或不等式，可使问题得以解决．

练一练

．在一个港口，相邻两次高潮发生时间相距，低潮时水的深度为，高潮时为，一次高潮发生在月日：

.每天涨潮落潮时，水的深度（）与时间（）近似满足关系式＝（ω＋φ）＋（>，ω>）．

（）若从月日：

开始计算时间，选用一个三角函数来近似描述该港口的水深（）和时间（）之间的函数关系；

（）月日：

该港口水深约为多少？

（保留一位小数）

（）月日这一天该港口共有多少时间水深低于?

解：

（）依题意知＝＝，

故ω＝，＝＝，

＝－＝，

所以＝（＋φ）＋；

又因为＝时，＝，所以（＋φ）＝，

所以φ＝－，所以＝（－）＋.

（）＝时，＝（－）＋

＝＋≈（）．

（）令（－）＋＜，

有（－）＜－，

因此π＋＜－＜π＋（∈），

所以π＋＜＜π＋π，∈，

所以＋＜＜＋.

令＝，得∈（，）；令＝，得∈（，）．

故这一天共有小时水深低于.

讲一讲

．如图所示的为一个观览车示意图，该观览车的半径为，圆上最低点与地面的距离为，转动一圈，图中与地面垂直，以为始边，逆时针转动θ角到，设点与地面的距离为.

（）求与θ之间的函数关系式；

（）设从开始转动，经过秒到达，求与之间的函数关系式；

（）求缆车首次到达最高点所用的时间．

[尝试解答]　（）以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，

则以为始边，为终边的角为θ－，

故点的坐标为

（（θ－），（θ－）），

∴＝＋（θ－）＝－θ（θ≥）．

（）点在圆上转动的角速度是，

故秒转过的弧度数为，

∴＝－，∈[，＋∞）．

（）到达最高点时，＝.

由＝－，得×＝π，∴＝.

∴缆车首次到达最高点所用的时间为.

解答三角函数应用题的一般步骤：

练一练

．如图，一只蚂蚁绕一个竖直放置的圆环逆时针匀速爬行，已知圆环的半径为，

圆环的圆心距离地面的高度为，蚂蚁每分钟爬行一圈，若蚂蚁的起始位置在最低点处．

（）试确定在时刻（单位：

）时蚂蚁距离地面的高度（单位：

）；

（）在蚂蚁绕圆环爬行的一圈内，有多长时间蚂蚁距离地面超过?

解：

（）以圆心为原点，建立如图所示的平面直角坐标系，设时蚂蚁到达点，则蚂蚁转过的角的弧度数为＝，

于是点的纵坐标＝（－）＝－.

∴＝＋＝－（≥）．

（）由－>得<，

又由≤≤，得≤≤π，

∴<<，解得<<.

所以一圈内有的时间蚂蚁距离地面超过.

下表是某地一年中天测量的白昼时间统计表（时间近似到小时）

日期

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

月

日

日期

位置

序号

白昼

时间

（小时）

（）以日期在天中的位置序号为横坐标，白昼时间为纵坐标，画出这些数据的散点图；

（）试选用一个函数来近似描述一年中白昼时间与日期位置序号之间的函数关系；（注：

一年按天计算）

（）用（）中的函数模型估计该地一年中大约有多少天白昼时间大于小时．

[巧思]　解答本题的关键是根据表中数据准确画出散点图，再根据散点图的特征确定函数模型，并求出其解析式，进而可解答问题（）．

[妙解]　（）如图所示

（）由散点图知白昼时间与日期序号之间的函数关系近似为＝（ω＋φ）＋，

由图形知函数的最大值为，最小值为，

即＝，＝，

由－＝，得＝；

由＋＝，得＝；

又＝，∴ω＝.

当＝时，＋φ＝，

∴φ＝－.

∴＝＋（≤≤，∈＋）．

（）由>，得>，

∴<－<，

＋<<＋，

∴≤≤.

∴该地大约有天白昼时间大于小时．

．将单摆的摆球拉至平衡位置左侧无初速释放，并同时开始计时，取平衡位置为坐标原点，且向右为正，则下列振动图像中正确的是（　　）

解析：

选　依题意＝时，位移最小．

．某人的血压满足函数关系式（）＝π＋，其中（）为血压，为时间，则此人每分钟心跳的次数为（　　）

．．

．．

解析：

选＝＝，∴＝＝.

.如图，质点在半径为的圆周上逆时针运动，其初始位置为（，－），角速度为，那么点到轴的距离关于时间的函数图像大致为（　　）

解析：

选　根据点的坐标可得∠＝，故∠＝－，设（，），则由三角函数的定义，可得∠＝，即（－）＝⇒＝（－），因此点到轴的距离＝＝（－），根据解析式可得选项图像符合条件．

.如图，单摆从某点开始来回摆动，离开平衡位置的距离和时间的函数关系式为＝，那么单摆来回摆动一次所需的时间为．

解析：

＝＝.

答案：

．一个物体相对于某一固定位置的位移（）和时间（）之间的对应值如表所示：

－

－

－

－

则可近似地描述该物体的位移和时间之间关系的一个三角函数为．

解析：

由表中数据可设函数解析式为：

＝（ω＋φ）（>），则＝，＝，ω＝＝＝，将（，－）代入函数解析式中，有φ＝－，得到φ＝－，故函数解析式为＝＝－.

答案：

＝－

.如果某地夏天从～时用电量变化曲线近似满足函数＝（ω＋φ）＋.如图所示．

（）求这一天的最大用电量及最小用电量；

（）写出这段曲线的函数解析式．

解：

（）最大用电量为万度，最小用电量为万度．

（）观察题图可知，从～时的图像是＝（ω＋φ）＋的半个周期的图像，

∴＝×（－）＝，＝×（＋）＝.

∵×＝－，∴ω＝.

∴＝＋.

将＝，＝代入上式，解得φ＝，

∴所求解析式为＝＋，∈[，]．

一、选择题

．为了使函数＝ω（ω>）在区间[，]上至少出现次最大值，则ω的最小值是（　　）

．ππ

π．π

解析：

选　由≤，得≤，即≤，ω≥π.

.如图为一半径为的水轮，水轮圆心距离水面，已知水轮每分钟旋转圈，水轮上的点到水面的距离（）与时间（）满足函数关系＝（ω＋φ）＋，则有（　　）

．ω＝，＝．ω＝，＝

．ω＝，＝．ω＝，＝

解析：

选　依题意＝，且水轮每转一圈，故周期＝，ω＝＝.

．一简谐运动的图像如图，则下列判断正确的是（　　）

．该质点的振动周期为

．该质点的振幅为

．该质点在和时速度最大

．该质点在和时加速度最大

解析：

选　周期为×（－）＝，故错；

由题中图像可知，振幅为，故正确；

在最高点时，速度为零，加速度最大，故，错．

．下表是某城市年月平均气温（单位：

°）.

月份

平均气温

月份

平均气温

若用表示月份，表示平均气温，则下面四个函数模型中最合适的是（　　）

．＝．＝＋

．＝－＋．＝＋

解析：

选　由数据得到，从月到月是上升的趋势，只有满足要求．

二、填空题

．一根长的线，一端固定，另一端悬挂一个小球，小球摆动时离开平衡位置的位移（）与时间（）的函数关系式是＝（＋），其中是重力加速度，当小球摆动的周期是时，线长等于．

解析：

因为周期＝，所以＝＝π，

则＝.

答案：

.如图是一弹簧振子做简谐运动的图像，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子的振动函数的一个解析式为．

解析：

设函数的解析式为＝（ω＋φ）（≥）

由图像知＝，＝×（－）＝（），

所以ω＝＝π，∴＝（π＋φ）．

又π×＋φ＝，所以φ＝.

所以函数解析式为＝（π＋）（≥）．

答案：

＝（π＋）（≥）

．在两个弹簧上各挂一个质量分别为和的小球，做上下自由振动．已知它们在时间（）离开平衡位置的位移和分别由下列两式确定：

＝（＋）；＝.则在时间＝时，与的大小关系是．

解析：

当＝时，＝－，＝－，

∴＝.

答案：

＝

．（江苏高考）函数（）＝（ω＋φ）（，ω，φ为常数，＞，ω＞）的部分图像如图所示，则（）的值是．

解析：

由图可知：

＝，＝－＝，所以＝π，ω＝＝，又函数图像经过点（，），所以×＋φ＝π，则φ＝，故函数的解析式为ƒ（）＝（＋），所以ƒ（）＝＝.

答案：

三、解答题

.如图，表示电流Ι与时间的关系式Ι＝（ω＋φ）（>，ω>）在一个周期内的图像．

（）试根据图像写出Ι＝

（ω＋φ）的解析式：

（）若函数Ι＝（ω＋φ）在任意一段秒的时间内能同时取最大值和最小值－，那么正整数ω的最小值为多少？

解：

（）由题图可知＝，＝－（－）＝，

所以ω＝＝π.又因为（，）在函数图像上，

所以×π＋φ＝π＋π，∈，

所以φ＝π＋π，∈，所以Ι＝（π＋π）；

（）依题意有≤，即≤.所以ω≥π，

又因为ω∈＋，所以ω的最小正整数为.

．海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮．在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋，下面是在某港口某季节每天的时间与水深关系表：

时刻

水深米

时刻

水深米

时刻

水深米

：

：

：

：

：

：

：

：

：

（）选用一个函数来近似描述这个港口的水深与时间的函数关系，并求出函数的解析式；

（）一条货船的吃水深（船底与水面的距离）为米，安全条例规定至少要有米的安全间隙（船底与洋底的距离），该船何时能进入港口？

在港口能呆多久？

解：

（）以时间为横坐标，水深为纵坐标，通过画草图可知用函数＝（ω＋φ）＋（>，ω>）来刻画水深与时间之间的对应关系．

由题意得

解得＝，＝，φ＝.

∴这个港口的水深与时间的关系可用

＝＋近似描述．

（）货船需要的安全水深为＋＝米，

所以≥时就可以进港，令

＋＝⇒＝.

在区间[，]内，＝或者＝π－，

解得＝或＝.

由周期性可得在[，]内＝或＝，

∴货船可以在时进港，早晨时出港；或在中午时进港，下午时出港，每次在港口停留小时.