新课标高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形文含答案.docx
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新课标高考数学二轮复习专题3三角函数第2讲解三角形文含答案
第2讲 解三角形
正、余弦定理及其简单应用
1.(2015辽宁沈阳一模)在△ABC中,若=3,b2-a2=ac,则cosB的值为( B )
(A)(B)(C)(D)
解析:
由正弦定理及=3可得c=3a,
代入b2-a2=ac可得b2=a2,
所以cosB===.
故选B.
2.(2015大连市高三一模)已知△ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a2=b2+c2-bc,bc=4,则△ABC的面积为( C )
(A)(B)1(C)(D)2
解析:
由a2=b2+c2-bc得bc=b2+c2-a2,
所以cosA==.
又A∈(0,π),
所以A=.
所以S△ABC=bc·sinA=×4×sin=.
故选C.
3.(2015河南省郑州市第二次质量预测)已知a,b,c分别为△ABC三个内角A,B,C的对边,且(b-c)(sinB+sinC)=(a-c)·sinA,则角B的大小为( A )
(A)30°(B)45°(C)60°(D)120°
解析:
由正弦定理及条件等式可得
(b-c)(b+c)=(a-c)·a
所以a2+c2-b2=ac.
所以cosB==.
又B∈(0°,180°),
所以B=30°.
故选A.
4.(2015河南三市第三次调研)△ABC的三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且asinBcosC+csinBcosA=b,则B= .
解析:
由asinBcosC+csinBcosA=b及正弦定理得,
sinAsinBcosC+sinCsinBcosA=sinB.
因为sinB≠0,
所以sinAcosC+cosAsinC=.
即sin(A+C)=,
所以sinB=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=.
所以B=或.
答案:
或
三角恒等变换与解三角形的综合
5.在△ABC中,A,B,C的对边分别为a,b,c,若acosC,bcosB,ccosA成等差数列,则B等于( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
因为acosC,bcosB,ccosA成等差数列,
所以acosC+ccosA=2bcosB,
根据正弦定理可得sinAcosC+sinCcosA=2sinBcosB,
即sin(A+C)=2sinBcosB,
又A+B+C=π,
所以sinB=2sinBcosB,
又sinB≠0,
所以cosB=,
又B∈(0,π),
所以B=,故选C.
6.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,S表示△ABC的面积,若acosB+bcosA=csinC,S=(b2+c2-a2),则B等于( B )
(A)30°(B)45°(C)60°(D)90°
解析:
根据正弦定理得sinAcosB+sinBcosA=sin2C,
即sin(A+B)=sinC=sin2C,
因为sinC≠0,
所以sinC=1,即C=90°.
由S=(b2+c2-a2),得bcsinA=(b2+c2-a2),
即sinA==cosA,
即tanA=1,
又A∈(0°,180°),
所以A=45°,
所以B=45°.故选B.
7.(2015东北三校第一次联合模拟)已知△ABC的面积为2,且满足0<·≤4,设和的夹角为θ.
(1)求θ的取值范围;
(2)求函数f(θ)=2sin2(+θ)-cos2θ的取值范围.
解:
(1)设△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,
则由已知bcsinθ=2,0可得tanθ≥1,所以θ∈[,).
(2)f(θ)=2sin2(+θ)-cos2θ
=1-cos(+2θ)-cos2θ
=1+sin2θ-cos2θ
=2sin(2θ-)+1.
因为θ∈[,),
所以2θ-∈[,),
所以2≤2sin(2θ-)+1≤3.
即当θ=时,f(θ)max=3;
当θ=时,f(θ)min=2,
所以所求函数的取值范围是[2,3].
正、余弦定理的实际应用
8.(2015吉林模拟)一船向正北航行,看见正西方向有相距10海里的两个灯塔恰好与它在一条直线上,继续航行半小时后,看见一灯塔在船的南偏西45°,另一灯塔在船的南偏西75°,则这艘船的速度是每小时( D )
(A)5海里(B)5(-1)海里
(C)10海里(D)10(-1)海里
解析:
如图所示,
依题意有∠BAC=45°,∠BAD=75°,
所以∠CAD=30°,∠CDA=15°,
在△ACD中,
由正弦定理得==20,
则AC=20sin15°=5(-),
在直角三角形ABC中,
得AB=ACsin45°=5(-1),
于是这艘船的速度是=10(-1)(海里/小时).
故选D.
9.已知甲船正在大海上航行,当它位于A处时获知,在其正东方向相距20海里的B处有一艘渔船遇险等待营救,甲船立即以10海里/小时的速度匀速前往救援,同时把消息告知在甲船的南偏西30°,相距10海里C处的乙船,乙船当即也决定匀速前往救援,并且与甲船同时到达.
(1)试问乙船航行速度的大小;
(2)试问乙船航行的方向(试用方位角表示,结果精确到1°).
解:
(1)设C与B的距离为x海里,
所用时间为=2(小时),
则x2=AC2+AB2-2AB·ACcos120°
=102+202+2×20×10×
=700,
所以x=10.
v乙==5(海里/小时),
所以乙船航行速度为5海里/小时.
(2)设∠ACB=θ,则=,=,
则sinθ=,得θ≈41°,
所以乙船应朝北偏东71°的方向沿直线前往B处救援.
一、选择题
1.(2013湖南卷)在锐角△ABC中,角A,B所对的边长分别为a,b.若2asinB=b,则角A等于( D )
(A)(B)(C)(D)
解析:
根据正弦定理,2sinAsinB=sinB,
所以sinA=,
又△ABC为锐角三角形,
所以A=.故选D.
2.(2015广东卷)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若a=2,c=2,cosA=且b(A)3(B)2(C)2(D)
解析:
由余弦定理a2=b2+c2-2bccosA,即4=b2+12-6b⇒b2-6b+8=0⇒(b-2)(b-4)=0,由b3.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若(a2+c2-b2)tanB=ac,则角B的值是( B )
(A)(B)或
(C)或(D)
解析:
由(a2+c2-b2)tanB=ac得a2+c2-b2=,
根据余弦定理得cosB=,
所以cosB==,
即tanBcosB=,
即sinB=,
又B∈(0,π),
所以B=或B=.
故选B.
4.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,已知8b=5c,C=2B,则cosC等于( A )
(A)(B)-(C)±(D)
解析:
因为C=2B,
所以sinC=sin2B=2sinBcosB,
根据正弦定理有=,
所以==,
所以cosB==×=.
所以cosC=cos2B=2cos2B-1=2×-1=.故选A.
5.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a,b,c成等比数列.若sinB=,cosB=,则a+c等于( C )
(A)(B)(C)3(D)2
解析:
因为a,b,c成等比数列,
所以b2=ac.
又sinB=,cosB=,
所以cosB==.
所以ac=13.
由余弦定理知,
a2+c2-b2=2accosB=2×13×=24.
所以a2+c2=24+b2=24+ac=24+13=37.
所以(a+c)2=a2+c2+2ac=37+2×13=63.
所以a+c==3.选C.
6.(2015丹东一模)如图,从气球A上测得正前方的河流的两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高是60m,则河流的宽度BC等于( B )
(A)30(+1)m(B)120(-1)m
(C)180(-1)m(D)240(-1)m
解析:
如图,∠DAB=15°,
因为tan15°=tan(45°-30°)==2-.
在Rt△ADB中,
又AD=60,
所以DB=AD·tan15°=60×(2-)=120-60.
在Rt△ADC中,
∠DAC=60°,AD=60,
所以DC=AD·tan60°=60.
所以BC=DC-DB=60-(120-60)=120(-1)(m).
所以河流的宽度BC等于120(-1)m.
故选B.
7.(2015深圳调研)在△ABC中,a,b,c分别为角A,B,C所对的边,若a=2bcosC,则此三角形一定是( C )
(A)等腰直角三角形
(B)直角三角形
(C)等腰三角形
(D)等腰三角形或直角三角形
解析:
因为a=2bcosC,
所以由余弦定理得,a=2b·,
整理得b2=c2,则此三角形一定是等腰三角形.故选C.
8.△ABC的三内角A,B,C所对边的长分别为a,b,c,设向量p=(sinB,a+c),q=
(sinC-sinA,b-a).若∃λ∈R,使p=λq,则角C的大小为( C )
(A)(B)(C)(D)
解析:
因为∃λ∈R,使p=λq,
所以p∥q,
所以有(b-a)sinB-(a+c)(sinC-sinA)=0,
由正弦定理得b2-ab-c2+a2=0,
cosC==.
又C∈(0,π),
所以C=.故选C.
9.(2015洛阳模拟)在△ABC中,D是BC边上的点,AB=2,AD=,AC=4,∠C=30°,∠BAC>∠B,则BD等于( B )
(A)2或4(B)1或3(C)3或2(D)4或1
解析:
在△ABC中,由正弦定理,
得sinB==,
所以∠B=45°或∠B=135°,
又∠BAC>∠B,
所以∠B=45°.
因为AD=,
则在△ABD中,
由余弦定理得AD2=AB2+BD2-2AB·BD·cos45°,
即5=8+BD2-2×2×BD×cos45°,
解得BD=1或BD=3.故选B.
10.设△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且a2+b2=mc2(m为常数),若
tanC(tanA+tanB)=2tanA·tanB,则m的值为( A )
(A)2(B)4(C)7(D)8
解析:
因为tanC(tanA+tanB)=2tanAtanB,
所以=tanC.
即=.
所以sinAsinBcosC=sinC·sin(A+B)=sin2C.
由正弦定理,上式可化为abcosC=c2, ①
由余弦定理知,cosC=.②
由①②得,a2+b2=2c2.
因为a2+b2=mc2,
所以m=2.选A.
二、填空题
11.(2015北京卷)在△ABC中,a=3,b=,∠A=,则∠B= .
解析:
由正弦定理=,
得=⇒sinB=,
因为a>b,
所以∠B=.
答案:
12.(2015宁夏石嘴山高三联考)已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cosC=