量子力学与统计物理习题解答.docx
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量子力学与统计物理习题解答
量子力学与统计物理习题解答
第一章
1.一维运动粒子处于
的状态，式中>0，求
（1）归一化因子A；
（2）粒子的几率密度；
（3）粒子出现在何处的几率最大？
解：
（1）
令，则
由归一化的定义
得
（2）粒子的几率密度
（3）在极值点，由一阶导数
可得方程
而方程的根
；；
即为极值点。
几率密度在极值点的值
；；
由于P（x）在区间（0，1/）的一阶导数大于零，是升函数；在区间（1/，）的一阶导数小于零，是减函数，故几率密度的最大值为，出现在处。
2.一维线性谐振子处于状态
（1）求归一化因子A；
（2）求谐振子坐标小的平均值；
（3）求谐振子势能的平均值。
解：
（1）
由归一化的定义
得
（2）
因被积函数是奇函数，在对称区间上积分应为0，故
（3）
将、代入，可得
是总能量的一半，由能量守恒定律
可知动能平均值
和势能平均值相等，也是总能量的一半。
3．设把宽为的一维无限深势阱的坐标原点取在势阱中点，有
试通过具体解定态薛定谔方程，证明势阱中粒子的波函数为
粒子的能量为
证明：
势函数与时间无关，是定态问题。
由于是无限深势阱，粒子不可能到达阱外，因此在阱外
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
上式可变形为
令，则方程化为
该方程的通解为
在边界上，波函数应满足连续性条件，即
将通解代入有
由此可得
A和B不能同时为零，否则解无意义。
，则必有
，则必有
由此可得方程的解为
由归一化条件
可知
解得
故在阱内的波函数为
粒子的能量
波函数的两个表达式还可统一为一个表达式
书中例题与习题的不同是将坐标原点取在势阱的左边界上，其解为
因此只要作坐标平移代换，将坐标原点移到势阱中心，立即可得到习题的结果。
4．带电荷q的一维谐振子在外电场E作用下运动，，试证明粒子的能量和波函数分别为
证明：
势函数与时间无关，是定态问题。
定态薛定谔方程为
上式可改写为
即
作代换，，则方程化为标准的一维谐振子方程
其解为
能量为
代换回去得能量
波函数
我们看一下谐振子所受的力
由F=0可知谐振子的平衡点不再是
而是平移到
作代换，无非是将坐标原点移到新的平衡点，移到新的平衡点后，与标准谐振子的力函数表达式完全相同。
5．有一维势垒如下图所示，自由粒子沿方向向势垒运动，，求粒子的透射系数D。
提示：
写出表达式；令，解出积分限b；利用（2-104）式得D，并注意简化运算。
解：
由
可得
故
6．粒子在三维无限深势阱
中运动，求粒子的波函数和能量。
解：
势能不含时间是定态问题。
在阱外，波函数
在阱内，波函数满足定态薛定谔方程
令，则方程可化为标准形式
令
代入方程有
除以XYZ，可得
要使上式成立，必然有
即
由波函数的连续性可知在边界上
由方程和边界条件可得
由归一化条件可得
；；
或
波函数
能量
第四章
1．试证为和的共同本征函数，并求出相应的本征值。
证明：
满足的本征方程，是的本征函数，本征值是。
满足的本征方程，也是的本征函数，本征值是。
故为和的共同本征函数。
2．设粒子在被限制在半径为的球内运动，其势能函数为
求粒子角动量为零时的波函数和能量。
提示：
利用（4-50）式，注意到，令。
解：
在球外，波函数
在球内，波函数满足定态薛定谔方程
因角动量为零，即，方程变为常微分方程
上式可改写为
令，代入得
进一步改写为
令，代入得标准二阶常微分方程
方程的通解为
在球心，由波函数有限性可知（注意），即
得
在边界上，由波函数连续性可知
即
得
波函数
由归一化条件
可得
波函数
能量
在球心处，波函数
3．氢原子处于基态，求电子出现在距离氢核二倍玻尔轨道半径以外的几率。
解：
4．分别求出氢原子处于2s态和2p态时,电子径向分布几率取最大值时的r值。
这两个r值是否等于相应的波尔轨道半径?
解：
2s态径向分布几率
令
即
得
因
所以、和不是最大点。
因
和是极大值点，但，所以是最大值点。
5．求出氢原子p态电子（l=1）当m=1时的角分布几率，所得结果与旧量子论关于电子沿确定轨道运动的概念是否一致？
解：
若电子沿确定轨道运动，即沿确定空间曲线运动，则电子只应出现在该曲线上。
但上式表明角分布几率与无关，电子不是分布在曲线上，而是分布在空间一个相当宽的区域。
故电子不是沿确定轨道运动，与旧量子论概念不一致。
第五章
1.一维非线性谐振子处于势场，求该非线性谐振子基态的一级近似能量。
解：
无微扰项
为线性谐振子，其基态波函数
微扰项
基态的一级近似能量
因被积函数是奇函数，第一项积分
因被积函数是偶函数，第二项积分
即
3.有两个谐振子组成的耦合谐振子，其能量算符
式中为两谐振子的相互作用能量，可视为。
试证：
（1）此耦合谐振子的零级近似能量
（2）此耦合谐振子第一激发态（N=1）能量的一级修正
证明：
（1）
微扰项
无微扰项
无微扰时的定态薛定谔方程
因算符仅与x1有关、仅与x2有关，可分离变量，令
则前述方程可分离为两个独立的方程
每一个独立的方程描述了一独立的一维谐振子，其能量
总能量
（2）N=1时，耦合谐振子有两种状态，即谐振子1处于第一激发态，谐振子2处于基态
谐振子2处于第一激发态，谐振子1处于基态
两种状态具有同样的能量，是简并的。
微扰矩阵元
由于被积函数是奇函数，在对称区间上积分为0，故
同理
积分
故
同理
代入久期方程有
即
解得
5．一体系的能级为二度兼并，对应的本征函数为、，试证此体系有微扰作用时，体系能量的一级修正
并写出各的表达式。
证明：
由久期方程
可得
展开化简得
代入二次方程求根公式有
式中
；
；
6.对有兼并情况，当零级近似波函数为，已知。
试证能量的一级修正
。
证明1：
两边乘并积分
由厄米算符的性质，积分
故有
由零级近似波函数为的正交归一性
得
证明2：
因
故
由归一化条件知，则
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