利用相似三角形测高.docx

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利用相似三角形测高

课时课题：

第四章第6节利用相似三角形测高

授课人：

课型：

新授课

课题

4.6利用三角形相似测高

总第1课时

课标解读

本节课是义务教育课程标准实验教科书北师大版九年级（上）第四章《图形的相似》第四节.本节课的内容是继《探索三角形相似的条件》之后的复习与应用.它将生活中一些无法直接测量物体高度的实际问题转化成数学问题，利用学生已有的相似三角形的知识采用不同的方法给予解决.通过对此问题的解决方案的探究，渗透数学识模和建模的思想，从而提高学生解决实际问题的能力，增强应用意识，了解相似图形在现实生活中的应用.

学情分析

学生活动经验基础:

在相关知识的学习过程和学生的实际生活中，学生已经经历了一些测量活动，解决过一些简单的现实问题，获得了一些数学活动经验:

同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力.

目标要求

1.通过测量旗杆的高度，综合运用三角形相似的性质、定义解决实际问题，发展问题应用意识，加深对相似三角形的认识和理解.

2.通过利用相似三角形解决实际问题中不能直接测量的物体的长度问题，体会数学转化思想，并体会如何用己所学的数学知识解决实际问题.

重点难点

重点:

综合运用相似三角形判定、性质解决实际问题.

难点:

解决学生在操作过程中如何与课本中有关知识相联系.关键:

抓住测量方法，结合所学，进行问题的解决

教法学法

小组合作学习

评价任务

评价任务1---理解利用太阳光或是标杆测量旗杆高度的原理并能设计测量顶部不可到达物体高度的方案.

评价任务2---利用三角形相似的有关知识解决生活中的问题

教学过程

二次备课

课前准备：

带领数学学习小组的同学在校园内实地测量旗杆的高度，采用“利用阳光下的影子”、“利用标杆”、“利用镜子的反射”三种方法测量旗杆的高度，记录数据，同时拍摄视频.

一、课堂预学

（一）目标引学，感悟导入

师：

同学们，近期我们学习了很多关于相似三角形的知识，有什么作用呢？

请观看视频.播放视频《相似三角形的应用——神秘的金字塔》，学生认真观看.

师：

科学家泰勒斯是如何测量金字塔高度的我们先不揭秘，今天这节课我们就来重走科学家的探究之路.

（二）回顾旧知，铺垫探究

问题1：

相似三角形对应边和对应角有哪些性质？

问题2：

相似三角形的判定方法有哪些

处理方式：

学生口头回答.两角分别相等的两个三角形相似;两边成比例且夹角相等的两个三角形相似;三边成比例的两个三角形相似.

评价任务：

能正确回答，评价等级为A；在听大家回答后可以达成，评价等级为B.请同学们在评价表上给自己评分.

设计意图：

通过学生回忆三角形相似的有关知识，为下一步测量高度提供理论依据.通过提出新的测量学校旗杆的问题引入新课.

二、课堂互学

探究活动1:

利用阳光下的影子来测量旗杆的高度.

安排学生阅读课本103页的相关内容了解测量方法后观看学习小组的第一组测量过程.

操作方法：

一名学生在直立于旗杆影子的顶端处测出该同学的影长和此时旗杆的影长．

点拨：

把太阳的光线看成是平行的．

图1

∵太阳的光线是平行的，

∴AE∥CB

∴∠AEB＝∠CBD

∵人与旗杆是垂直于地面的

∴∠ABE＝∠CDB

∴△ABE∽△CBD

∴即

处理方式：

提出问题：

利用阳光下的影子测量旗杆的高度，哪些是我们可以直接测量的数据？

学生通过思考明确，只要测量出人的影长BE，旗杆的影长BD，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了.学生看多媒体课件口答证明过程.当学生能顺利说出的时候，教师引导学生构成四条对应边成比例,知三求一.多媒体展示过程

设计意图：

本活动的设计意在引导学生通过自主探究、合作交流，学会对相似三形

原理在实际生活中的运用.从简单的情境出发，引导学生讲抽象的公式原理与实际生活相结合，解决简单的问题.当学生能顺利说出的时候，教师引导学生构成四条对应边成比例,知三求一.多媒体展示过程.

探究活动2：

利用标杆.

操作方法：

选一名学生为观测者，在他和旗杆之间的地面上直立一根高度已知的标杆，观测者前后调整自己的位置，使旗杆顶部、标杆顶部与眼睛恰好在同一直线上时，分别测出他的脚与旗杆底部，以及标杆底部的距离即可求出旗杆的高度．

如图，过点A作AN⊥DC于N，交EF于M．

点拨：

∵人、标杆和旗杆都垂直于地面

∴∠ABF＝∠EFD＝∠CDH＝90°

∴人、标杆和旗杆是互相平行的

∵EF∥CN

∴∠1＝∠2

∵∠3＝∠3，△AME∽△ANC，

∴

∵人与标杆的距离、人与旗杆的距离，标杆与人的身高的差EM都已测量出，

∴能求出CN

∵∠ABF＝∠CDF＝∠AND＝90°

∴四边形ABND为矩形．

∴DN＝AB，

∴能求出旗杆CD的长度．

处理方式：

通过提问使学生明确哪些是我们可以直接测量的数据,要测量出人的脚到标杆的距离BF，到旗杆的距离BD，要测量标杆的高度EF，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度了．也可以过点B做AC平行线解决，使学生感受到方法的多样性.

学生看多媒体课件口答证明过程.

设计意图：

本活动的设计难度比上一个例子高些，意在让学生在学会初步运用三角形相似的基础上举一反三，学会对相似三角形原理在实际生活中的运用.

评价任务2：

1.能找出图形中的相似三角形.

2.能证明三角形相似并用已知线段表示旗杆的高度.

3.能够利用所给数据求出旗杆的高度..

能列式独立完成评价等级为A；在小组成员的帮助下完成并且正确，评价等级为B.否则为C.安排学生结合自己的学习情况进行打分.

探究活动3：

想一想：

你还有哪些测量旗杆高度的方法？

比如利用镜子或是三角板.画出示意图

学生小组讨论.

展示学生的设计图.

结合学生的回答，适时播放第三组利用镜子的反射测量旗杆的高度视频.

操作方法：

选一名学生作为观测者．在他与旗杆之间的地面上平放一面镜子，固定镜子的位置，观测者看着镜子来回调整自己的位置，使自己能够通过镜子看到旗杆项端．测出此时他的脚与镜子的距离、旗杆底部与镜子的距离就能求出旗杆的高度．

图3

点拨：

入射角＝反射角

∵入射角＝反射角

∴∠AEB＝∠CED

∵人、旗杆都垂直于地面

∴∠B＝∠D＝90°

∴△ABE∽△CDE

∴

处理方式：

提出问题利用镜子的反射测量旗杆的高度,哪些是我们可以直接测量的数据？

明确测量出人与镜子的距离BE，旗杆与镜子的距离DE，再知道人的身高AB，就可以求出旗杆CD的高度.多媒体展示过程.

教师提出问题：

这三种测量方法的实际操作中，我们需要注意些什么呢？

学生思考后回答，有学生回答不全时，找其他同学补充.运用方法1时把太阳光近似地看成平行光线，计算时还要用到观测者的身高.运用方法2时观测者的眼睛与标杆的顶端和旗杆的顶端“三点共线”，标杆与地面要垂直，在计算时还要用到观测者的眼睛离地面的高度.运用方法3时应注意入射角等于反射角的现象.

设计意图：

本活动的设计难度意在影响学生学会触类旁通解决问题，同时在将数学原理与实际活动相结合的运用过程中，需要注意数据测量、计算的误差，学会思考、总结，能够较为精准地理解数学，在生活中正确运用.

评价任务三：

能列式独立完成方案设计评价等级为A；在小组成员的帮助下完成并且正确，评价等级为B.否则为C.安排学生结合自己的学习情况进行打分.

探究活动4：

议一议，上述几种测量方法各有什么优缺点？

提示：

从工具、测量原理、测量数据、计算过程等角度进行交流.

学生依据表格进行回答，多媒体展示答案.

每组号：

对照老师的总结，答案正确率到85%以上，评价等级为A；组内广泛交流并在老师指导下能明白的，评价等级B；每组号：

在小组成员的帮助下完成，评价等级为B，

探究活动5：

例1如图所示,一位同学想利用树影测出树高，他在某时刻测得直立的标杆高1米,影长是0.9米,但他去测树影时,发现树影的上半部分落在墙CD上,他测得BC=2.7米,CD=1.2米.你能帮他求出树高为多少米吗？

提示：

辅助线常见的添加方法

方法一方法二方法三

处理方式：

活学活用小组交流处理方案，学生口答说出不同方法构造相似三角形解决实际问题.

评价任务5：

每组号：

能够正确计算出树高，评价等级为A；纠错后能达到，评价等级为B；每组号：

教师讲评后能做到，评价等级为A；订正后，能理解原因，评价等级为B；否则评价等级为C.

设计意图：

通过两个问题培养学生灵活利用理论知识和一题多解的能力.

四、课时小结，提炼升华

1.本节课你学到了哪些知识？

2.在运用数学知识进行实践的过程中，你是否想到最优的方法？

3.在与同伴合作交流中，你对自己的表现满意吗？

学生畅谈自己的收获！

设计意图：

课堂总结是知识沉淀的过程，使学生对本节课所学进行梳理，养成反思与总结的习惯，培养自我反馈，自主发展的意识．

五、达标检测，反馈提高

1．（2020•天水）如图所示，某校数学兴趣小组利用标杆BE测量建筑物的高度，已知标杆BE高1.5m，测得AB＝1.2m，BC＝12.8m，则建筑物CD的高是（　　）

第1题第2题

A．17.5mB．17mC．16.5mD．18m

2．（2020•吉林二模）如图，一位同学通过调整自己的位置，设法使三角板DEF的斜边DF保持水平，并且边DE与点B在同一直线上，已知两条边DE＝0.4m，EF＝0.2m，测得边DF离地面的高度AC＝1.5m，CD＝8m，则树高AB为　　m．

3.（2020•安徽模拟）《九章算术》中记载：

“今有邑方不知大小，各开中门，出北门四十步有木，出西门八百一十步见木，问：

邑方几何？

”译文：

如图，一座正方形城池北、西边正中A,C处各开一道门，从点A往正北方向走40步刚好有一棵树位于点B处，若从点C往正西方向走810步到达点D处时正好看到此树，则正方形城池的边长为多少？

处理方式：

学生做完后，教师出示答案，指导学生校对，并统计学生答题情况．学生根据答案进行纠错．（同时多媒体出示答案）

设计意图：

学以致用，当堂检测及时获知学生对所学知识掌握情况，并最大限度地调动全体学生学习数学的积极性，使每个学生都能有所收益、有所提高，明确哪些学生需要在课后加强辅导，达到全面提高的目的．

六、布置作业，课后反馈

1.必做：

助学109页--112页

2.选做：

组成合作小组，测量一个顶端不可到达的物体的高度并写出报告.

结束语

同学们，这堂课我们学习了有关测量的知识.希望大家在课后再好好理解，学会运用，能够真正将学到的知识运用起来.

4.6利用相似三角形测高---学生评价表

环节

活动设计

评价标准

评价

课堂

预学

评价任务1：

复习相似三角形的基本性质和判定

能正确回答，评价等级为A；在听大家回答后可以达成，评价等级为B.

①

课堂

互学

--

测高方法

利用阳光下的影子：

一名学生直立于旗杆影子的顶端处,测出该同学的影长和此时旗杆的影长．

问题1：

说出题中的相似三角形?

问题2：

你能证明吗？

并用AM，AN，EM

表示CN.

问题3：

如图：

AB=1.67m,BE=2.3m,BD=20m

求CD的长

知识锦囊1：

评价任务2：

1.能找出图形中的相似三角形.

2.能证明三角形相似并用已知线段表示旗杆的高度.

3.能够利用所给数据求出旗杆的高度..

能列式独立完成评价等级为A；在小组成员的帮助下完成并且正确，评价等级为B.否则为C.

②

评价任务3：

想一想：

你还有哪些测量旗杆高度的方法？

画出示意图

能列式独立完成方案设计评价等级为A；在小组成员的帮助下完成并且正确，