数值分析上机作业Word格式文档下载.docx
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t（分）
0510152025303540455055
y（×
10-4）
二、要求
1、用最小二乘法进行曲线拟合；
2、近似解析表达式为
；
3、打印出拟合函数
，并打印出
与
的误差，
4、另外选取一个近似表达式，尝试拟合效果的比较；
5、*绘制出曲线拟合图*。
三、目的和意义
1、掌握曲线拟合的最小二乘法；
2、最小二乘法亦可用于解超定线代数方程组；
3、探索拟合函数的选择与拟合精度间的关系。
四、计算公式
对于给定的测量数据（xi,fi）（i=1,2,…，n），设函数分布为
特别的，取
为多项式
（j=0,1,…，m）
则根据最小二乘法原理，可以构造泛函
令
（k=0,1,…，m）
则可以得到法方程
求该解方程组，则可以得到解
，因此可得到数据的最小二乘解
曲线拟合：
实际工作中，变量间未必都有线性关系，如服药后血药浓度与时间的关系；
疾病疗效与疗程长短的关系；
毒物剂量与致死率的关系等常呈曲线关系。
曲线拟合是指选择适当的曲线类型来拟合观测数据，并用拟合的曲线方程分析两变量间的关系。
五、结构程序设计
在程序结构方面主要是按照顺序结构进行设计，在进行曲线的拟合时，为了进行比较，在程序设计中，直接调用了最小二乘法的拟合函数polyfit，并且依次调用了plot、figure、holdon函数进行图象的绘制，最后调用了一个绝对值函数abs用于计算拟合函数与原有数据的误差，进行拟合效果的比较。
进行拟合
计算解析表达式系数：
a1,a2,a3
t=[0510152025303540455055];
y=[01.272.162.863.443.874.154.374.514.584.024.64];
>
n=length（xi）;
f=0.34364.*10.^（-4）*x.^3-5.2156.*10.^（-3）*x.^2+0.26340.*x+0.017839;
x=0:
0.01:
55;
F=0.34364.*10.^（-4）*x.^3-5.2156.*10.^（-3）*x.^2+0.26340.*x+0.017839;
fy=abs（f-y）;
fy2=fy.^2;
Ew=max（fy）,E1=sum（fy）/n,E2=sqrt（（sum（fy2））/n）
plot（xi,y,'
t*'
）,holdon,plot（t,F,'
b-'
）,holdoff
所得函数为
运行后屏幕显示数据
与拟合函数f的最大误差Ew，平均误差E1和均方根误差E2及其数据点
和拟合曲线y=f（x）的图形如图.
Ew
图一元三次多项式拟合曲线误差图
进行拟合：
计算多项式系数：
a1,a2,a3,a4
xi=[0510152025303540455055];
n=length（xi）;
x=0:
f=0.6026.*10.^（-6）*x.^4-0.31918.*10.^（-4）*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;
F=0.6026.*10.^（-6）*x.^4-0.31918.*10.^（-4）*x.^3-0.0029323.*x.^2+0.23807.*x+0.060449;
r*'
）,holdon,plot（x,F,'
和拟合曲线y=f（x）的图形如图5.2。
、
图一元四次多项式拟合曲线误差图
用一元二次多项式
a1,a2,a3
输入程序：
symsa1a2a3
x=[0510152025303540455055];
fi=a1.*x.^2+a2.*x+a3
运行后屏幕显示关于a1,a2和a3的线性方程组：
fi=[a3,25*a1+5*a2+a3,100*a1+10*a2+a3,225*a1+15*a2+a3,400*a1+20*a2+a3,625*a1+25*a2+a3,900*a1+30*a2+a3,1225*a1+35*a2+a3,1600*a1+40*a2+a3,2025*a1+45*a2+a3,2500*a1+50*a2+a3,3025*a1+55*a2+a3]
编写构造误差平方和的MATLAB程序：
fi=[a3,25*a1+5*a2+a3,100*a1+10*a2+a3,225*a1+15*a2+a3,400*a1+20*a2+a3,625*a1+25*a2+a3,900*a1+30*a2+a3,1225*a1+35*a2+a3,1600*a1+40*a2+a3,2025*a1+45*a2+a3,2500*a1+50*a2+a3,3025*a1+55*a2+a3];
fy=fi-y;
J=sum（fy.^2）
运行后屏幕显示误差平方和如下：
J=（100*a1+10*a2+a3-54/25）^2+（25*a1+5*a2+a3-127/100）^2+（225*a1+15*a2+a3-143/50）^2+（400*a1+20*a2+a3-86/25）^2+（900*a1+30*a2+a3-83/20）^2+（625*a1+25*a2+a3-387/100）^2+（1225*a1+35*a2+a3-437/100）^2+（1600*a1+40*a2+a3-451/100）^2+（2025*a1+45*a2+a3-229/50）^2+（2500*a1+50*a2+a3-201/50）^2+（3025*a1+55*a2+a3-116/25）^2+a3^2
为求
使
达到最小，只需利用极值的必要条件
，得到关于
的线性方程组，这可以由下面的MATLAB程序完成，即输入程序：
J=（100*a1+10*a2+a3-54/25）^2+（25*a1+5*a2+a3-127/100）^2+（225*a1+15*a2+a3-143/50）^2+（400*a1+20*a2+a3-86/25）^2+（900*a1+30*a2+a3-83/20）^2+（625*a1+25*a2+a3-387/100）^2+（1225*a1+35*a2+a3-437/100）^2+（1600*a1+40*a2+a3-451/100）^2+（2025*a1+45*a2+a3-229/50）^2+（2500*a1+50*a2+a3-201/50）^2+（3025*a1+55*a2+a3-116/25）^2+a3^2;
Ja1=diff（J,a1）;
Ja2=diff（J,a2）;
Ja3=diff（J,a3）;
Ja11=simple（Ja1）,Ja21=simple（Ja2）,Ja31=simple（Ja3）,
运行后屏幕显示J分别对a1,a2,a3的偏导数如下：
Ja11=49967500*a1+1089000*a2+25300*a3-217403/2
Ja21=1089000*a1+25300*a2+660*a3-27131/10
Ja31=25300*a1+660*a2+24*a3-3987/50
解线性方程组Ja11=0，Ja21=0，Ja31=0输入下列程序：
A=[49967500,1089000,25300;
1089000,25300,660;
25300,660,24];
B=[217403/2,27131/10,3987/50];
C=B/A,F=poly2sym（C）
运行后屏幕显示拟合函数f及其系数C如下：
故所求的拟合曲线为：
编写下面的MATLAB程序估计其误差，并作出拟合曲线和数据的图形。
xi=[0510152025303540455055];
f=-0.0023805.*x.^2+0.20369.*x+0.23047;
F=-0.0023805.*x.^2+0.20369.*x+0.23047;
legend（'
数据点（xi,yi）'
'
拟合曲线y=f（x）'
）,xlabel（'
x'
）,ylabel（'
y'
）,title（'
数据点（xi,yi）和拟合曲线y=f（x）的图形'
）
和拟合曲线y=f（x）的图形如图所示：
。
图5.3一元二次多项式拟合曲线误差图
六、结果讨论和分析：
由以上结果可知，拟合方程的选取至关重要，它决定了最大误差、平均误差以及均方根误差的大小，即拟合曲线的接近程度。
本次实验，最初所选取的拟合解析方程
获得较好的拟合，选用解析方程为
的曲线拟合时，精确度有所下降。
由此，拟合函数的选择和拟合精度致密相关，最小二乘法如果想将曲线拟合的比较完美，必须应用适当的模拟曲线，如果模拟曲线选择不够适当，那么用最小二乘法计算完后，会发现拟合曲线误差比较大，均方误差也比较大，而如果拟合曲线选择适当，那么效果较好，且根据本次结果可见，当采用更高次的多项式拟合数据，其结果的误差会更小。
因此，需要对已知点根据分布规律选取多个可能的近似拟合曲线，算出后比较误差与均方误差，得到最佳拟合曲线。
但是如果已知点分布非常不规律，无法观察或是无法正确观察出其近似曲线，那么根本无法使用最小二乘法进行曲线拟合，我们只能使用其它方法进行逼近。
通过这次实验，我学习并实践了最小二乘法进行的曲线拟合的知识，认识到数值分析这一分析方法在实际应用中的重要作用。
而且通过在实际操作发现了各种问题，并寻找到解决问题的方法，使我获益良多。
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