版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编 D单元 数列文科和答案.docx

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版高考复习一轮人教版数学历高考真题与模拟题汇编D单元数列文科和答案

数学

D单元　数列

D1数列的概念与简单表示法

D2等差数列及等差数列前n项和

8．D2[2016·浙江卷]如图12，点列{An}，{Bn}分别在某锐角的两边上，且|AnAn＋1|＝|An＋1An＋2|，An≠An＋2，n∈N*，|BnBn＋1|＝|Bn＋1Bn＋2|，Bn≠Bn＋2，n∈N*.（P≠Q表示点P与Q不重合）

若dn＝|AnBn|，Sn为△AnBnBn＋1的面积，则（　　）

图12

A．{Sn}是等差数列B．{S}是等差数列

C．{dn}是等差数列D．{d}是等差数列

8．A　[解析]由题意得，An是线段An－1An＋1（n≥2）的中点，Bn是线段Bn－1Bn＋1（n≥2）的中点，且线段AnAn＋1的长度都相等，线段BnBn＋1的长度都相等．过点An作高线hn，由A1作高线h2的垂线A1C1，由A2作高线h3的垂线A2C2，则h2－h1＝|A1A2|sin∠A2A1C1，h3－h2＝|A2A3|sin∠A3A2C2.而|A1A2|＝|A2A3|，∠A2A1C1＝∠A3A2C2，故h1，h2，h3成等差数列，故△AnBnBn＋1的面积构成的数列{Sn}是等差数列．

8．D2[2016·江苏卷]已知{an}是等差数列，Sn是其前n项和．若a1＋a＝－3，S5＝10，则a9的值是________．

8．20　[解析]因为S5＝5a3＝10，所以a3＝2，设其公差为d，

则a1＋a＝2－2d＋（2－d）2＝d2－6d＋6＝－3，解得d＝3，所以a9＝a3＋6d＝2＋18＝20.

15．D2，D3，D4[2016·北京卷]已知{an}是等差数列，{bn}是等比数列，且b2＝3，b3＝9，a1＝b1，a14＝b4.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设cn＝an＋bn，求数列{cn}的前n项和．

15．解：

（1）等比数列{bn}的公比q＝＝＝3，

所以b1＝＝1，b4＝b3q＝27.

设等差数列{an}的公差为d.

因为a1＝b1＝1，a14＝b4＝27，

所以1＋13d＝27，即d＝2，

所以an＝2n－1（n＝1，2，3，…）．

（2）由

（1）知，an＝2n－1，bn＝3n－1，

因此cn＝an＋bn＝2n－1＋3n－1，

从而数列{cn}的前n项和

Sn＝1＋3＋…＋（2n－1）＋1＋3＋…＋3n－1

＝＋

＝n2＋.

17．D2，D3[2016·全国卷Ⅰ]已知{an}是公差为3的等差数列，数列{bn}满足b1＝1，b2＝，anbn＋1＋bn＋1＝nbn.

（1）求{an}的通项公式；

（2）求{bn}的前n项和．

17．解：

（1）由已知，a1b2＋b2＝b1，b1＝1，b2＝，得a1＝2，

所以数列{an}是首项为2，公差为3的等差数列，其通项公式为an＝3n－1.

（2）由

（1）和anbn＋1＋bn＋1＝nbn得bn＋1＝，因此{bn}是首项为1，公比为的等比数列．记{bn}的前n项和为Sn，则

Sn＝＝－.

19．D2，D4，H6[2016·四川卷]已知数列{an}的首项为1，Sn为数列{an}的前n项和，Sn＋1＝qSn＋1，其中q>0，n∈N*.

（1）若a2，a3，a2＋a3成等差数列，求数列{an}的通项公式；

（2）设双曲线x2－＝1的离心率为en，且e2＝2，求e＋e＋…＋e.

19．解：

（1）由已知，Sn＋1＝qSn＋1，Sn＋2＝qSn＋1＋1，两式相减得到an＋2＝qan＋1，n≥1.

又由S2＝qS1＋1得到a2＝qa1，

故an＋1＝qan对所有n≥1都成立．

所以数列{an}是首项为1，公比为q的等比数列，

从而an＝qn－1.

由a2，a3，a2＋a3成等差数列，可得2a3＝a2＋a2＋a3，所以a3＝2a2，故q＝2，

所以an＝2n－1（n∈N*）．

（2）由

（1）可知，an＝qn－1，

所以双曲线x2－＝1的离心率en＝＝.

由e2＝＝2，解得q＝，

所以e＋e＋…＋e＝（1＋1）＋（1＋q2）＋…＋[1＋q2（n－1）]＝n＋[1＋q2＋…＋q2（n－1）]＝n＋＝n＋（3n－1）．

17．D2[2016·全国卷Ⅱ]等差数列{an}中，a3＋a4＝4，a5＋a7＝6.

（1）求{an}的通项公式；

（2）设bn＝[an]，求数列{bn}的前10项和，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.

17．解：

（1）设数列{an}的公差为d，由题意有2a1＋5d＝4，a1＋5d＝3，解得a1＝1，d＝.

所以{an}的通项公式为an＝.

（2）由

（1）知，bn＝[].

当n＝1，2，3时，1≤<2，bn＝1；

当n＝4，5时，2<<3，bn＝2；

当n＝6，7，8时，3≤<4，bn＝3；

当n＝9，10时，4<<5，bn＝4.

所以数列{bn}的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.

19．D2、D4[2016·山东卷]已知数列{an}的前n项和Sn＝3n2＋8n，{bn}是等差数列，且an＝bn＋bn＋1.

（1）求数列{bn}的通项公式；

（2）令cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn.

19．解：

（1）由题意知，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝6n＋5.

当n＝1时，a1＝S1＝11，符合上式．

所以an＝6n＋5.

设数列{bn}的公差为d.

由即

解得

所以bn＝3n＋1.

（2）由

（1）知cn＝＝3（n＋1）·2n＋1.

由Tn＝c1＋c2＋…＋cn，

得Tn＝3×[2×22＋3×23＋…＋（n＋1）×2n＋1]，

2Tn＝3×[2×23＋3×24＋…＋（n＋1）×2n＋2]，

两式作差，得

－Tn＝3×[2×22＋23＋24＋…＋2n＋1－（n＋1）×2n＋2]＝3×[4＋－（n＋1）×2n＋2]＝－3n·2n＋2，

所以Tn＝3n·2n＋2.

18．D2、D3[2016·天津卷]已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且－＝，S6＝63.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{（－1）nb}的前2n项和．

18．解：

（1）设数列{an}的公比为q，由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.

又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1，所以an＝2n－1.

（2）由题意，得bn＝（log2an＋log2an＋1）＝（log22n－1＋log22n）＝n－，

即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．

设数列{（－1）nb}的前n项和为Tn，则

T2n＝（－b＋b）＋（－b＋b）＋…＋（－b＋b）

＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝

＝2n2.

17．D2、D3[2016·浙江卷]设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．

17．解：

（1）由题意得则

又当n≥2时，由an＋1－an＝（2Sn＋1）－（2Sn－1＋1）＝2an，得an＋1＝3an，

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.

（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.

当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，

所以bn＝3n－1－n－2，n≥3.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.

当n≥3时，Tn＝3＋－＝，n＝2也适合此式，

所以Tn＝

D3　等比数列及等比数列前n项和

7．D3[2016·四川卷]某公司为激励创新，计划逐年加大研发资金投入．若该公司2015年全年投入研发资金130万元，在此基础上，每年投入的研发资金比上一年增长12%，则该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是（　　）

（参考数据：

lg1.12≈0.05，lg1.3≈0.11，lg2≈0.30）

A．2018年B．2019年

C．2020年D．2021年

7．B　[解析]设x年后该公司全年投入的研发资金为200万元．由题可知，130（1＋12%）x＝200，

解得x＝log1.12＝≈3.80.

又资金需超过200万元，所以x的值取4，即该公司全年投入的研发资金开始超过200万元的年份是2019年．

18．D2、D3[2016·天津卷]已知{an}是等比数列，前n项和为Sn（n∈N*），且－＝，S6＝63.

（1）求{an}的通项公式；

（2）若对任意的n∈N*，bn是log2an和log2an＋1的等差中项，求数列{（－1）nb}的前2n项和．

18．解：

（1）设数列{an}的公比为q，由已知，有－＝，解得q＝2或q＝－1.

又由S6＝a1·＝63，知q≠－1，所以a1·＝63，得a1＝1，所以an＝2n－1.

（2）由题意，得bn＝（log2an＋log2an＋1）＝（log22n－1＋log22n）＝n－，

即{bn}是首项为，公差为1的等差数列．

设数列{（－1）nb}的前n项和为Tn，则

T2n＝（－b＋b）＋（－b＋b）＋…＋（－b＋b）

＝b1＋b2＋b3＋b4＋…＋b2n－1＋b2n

＝

＝2n2.

17．D2、D3[2016·浙江卷]设数列{an}的前n项和为Sn.已知S2＝4，an＋1＝2Sn＋1，n∈N*.

（1）求通项公式an；

（2）求数列{|an－n－2|}的前n项和．

17．解：

（1）由题意得则

又当n≥2时，由an＋1－an＝（2Sn＋1）－（2Sn－1＋1）＝2an，得an＋1＝3an，

所以数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.

（2）设bn＝|3n－1－n－2|，n∈N*，则b1＝2，b2＝1.

当n≥3时，由于3n－1＞n＋2，

所以bn＝3n－1－n－2，n≥3.

设数列{bn}的前n项和为Tn，则T1＝2，T2＝3.

当n≥3时，Tn＝3＋－＝，n＝2也适合此式，

所以Tn＝

20．A1、D3、D5[2016·江苏卷]记U＝{1，2，…，100}．对数列{an}（n∈N*）和U的子集T，若T＝∅，定义ST＝0；若T＝{t1，t2，…，tk}，定义ST＝at1＋at2＋…＋atk.例如：

T＝{1，3，66}时，ST＝a1＋a3＋a66.现设{an}（n∈N*）是公比为3的等比数列，且当T＝{2，4}时，ST＝30.

（1）求数列{an}的通项公式；

（2）对任意正整数k（1≤k≤100），若T⊆{1，2，…，k}，求证：

ST

（3）设C⊆U，D⊆U，SC≥SD，求证：

SC＋SC∩D≥2SD.

20．解：

（1）由已知得an＝a1·3n－1，n∈N*.

于是当T＝{2，4}时，ST＝a2＋a4＝3a1＋27a1＝30a1.

又ST＝30，所以30a1＝30，即a1＝1，

故数列{an}的通项公式为an＝3n－1，n∈N*.

（2）证明：

因为T⊆{1，2，…，k}，an＝3n－1>0，n∈N*，

所以ST≤a1＋a2＋…＋ak＝1＋3＋…＋3k－1＝（3k－1）<3k.

因此，ST

（3）证明：

下面分三种情况证明．

①若D是C的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SD≥SD＋SD＝2SD.

②若C是D的子集，则SC＋SC∩D＝SC＋SC＝2SC≥2SD.

③若D不是C的子集，且C不是D的子集．

令E＝C∩（∁UD），F＝D∩（∁UC），则E≠∅，F≠∅，E∩F＝∅.

于是SC＝SE＋SC∩D，SD＝SF＋SC∩D，进而由SC≥SD，得SE≥SF.

设k是E中最大的数，l为F中最大的数，则k≥1，l≥1，k≠l.