数学建模液滴高度问题Word下载.docx
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得到比较完整的求解模型。
关键词：
液体表面张力极限高度Young方程椭圆拟合接触角
二、问题重述
在物理实验中发现一个有趣的现象如下：
测量放在一种固体材料的水平平面上具有不同体积的液滴在静态时的高度时，发现当该液滴与固体的接触角二0不变的情况下，随着液滴体积的递增，液滴的高度递增，直到液滴体积达到某个（在此称之为）饱和体积时，液滴高度达到最大值（在此称之为饱和高度）。
当液滴体积从饱和体积开始递增时，液滴的高度递减，而且随着体积的增大高度递减量越来越小，液滴高度似乎趋于一（在此称之为）极限高度。
我们要建立一个针对不同材料表面，液滴的接触角度不同的情况下，求解液滴饱和高度、极限高度、饱和体积及极限高度与饱和高度的比值的模型。
二、问题假设
1材料表面是理想光滑的并且绝对水平。
2、重力加速度取值为9.78m/s。
3、温度为室温20摄氏度。
4、实验在无风条件下进行，即接触角不会发生动态变化，并且液滴保持静止。
5、在标准大气压下进行试验。
6、液体纯净不含杂质。
7、试验台与海平面保持一致。
8、不同界面间只存在界面张力。
9、液滴体积较小时为球缺，体积较大时液滴边缘为椭圆状。
四、符号说明
S:
固体表面张力
ls
:
液固表面张力
1:
液体表面张力
d:
水平固体表面液滴与水平面的接触角
hmax:
饱和高度
hmin:
极限高度
P:
溶液密度
铺展系数
P:
表面压力
R:
饱和高度下液滴近似球体半径
g:
重力加速度
V:
饱和条件下液滴体积
a:
饱和高度下液滴近似椭球体长轴半径
b:
饱和高度下液滴近似椭球体短轴半径
c:
饱和高度下液滴近似椭球体z轴半径
五、模型建立
考虑液滴置于理想的固体表面上，在光滑且均匀的固体表面上滴一滴液体，通过固、液、气三乡交界点A,沿液滴面引一切线，切线和固体表面的夹角为接触角厂从热力学观点看，液体落在固体表面时润湿情况，由Young'
s方程：
slsls
cos^=（-）/，其中有固体表面张力,它倾向于是液滴铺展开来。
液固
lsI
表面张力，它倾向于使液滴收缩。
以及液体表面张力，
如图所示，液滴的体积不变，固液气三相的接触线在固体表面上的曲率半径分别为：
、、「、：
「，液滴分别处于状态a、b、c，对应的接触角为二、二1、
121
二2，考虑线张力的影响，由力学平衡可以得到：
cos二=cos-—丄
s丫1P
其中二是线张力的合力，在液滴体积不发生变化的条件下，三相接触线曲率半径的变化引起接触角的变化，从而使得接触角不再是唯一的，可以在某一范围内变化。
当曲率半径趋于无穷大是，该方程就可以转化为Young方程，当液体可以完全润湿固体表面时，接触角是唯一确定的。
以下我们就针对特殊情况时来讨论。
通过对液滴与固体表面接触分析得知，液滴最终能达到静态平衡并具有一定
s
V
的外形，主要受到使液滴铺展开来的固体表面张力，使液体收缩的液固表面
Is
张力，以及液体表面张力。
经过分析查证可知润湿有三种类型，即沾湿、浸
湿与铺展，又有润湿角的影响以及能量分析得出结论：
9=180。
完全不润湿
9>
90。
不润湿
9v90o润湿
9=0。
完全润湿
9v0o三力失去平衡，润湿方程不适用润湿情况下具体受力图如下
不润湿情况下，接触角大于90度
在此情况之前该液体高度可能一直增加，直至达到饱和高度，且认为在饱和高度处受力平衡，为球缺状态。
此时体积为饱和体积，如果体积再度增加，高度反而下降，下降规律使其存在极限高度。
对整个过程建立数学模型时，体积是重要影响因素，形态是重点研究对象。
通过实际液滴图像发现，小体积液滴边缘为圆形，随着液滴提及的增加边缘更接近于椭圆。
于是便采用圆或椭圆方程的拟合算法更能获得精确的数据，而且计算简单，容易理解，能方便、快速、有效地处理相对位置和偏转。
通过研究，考虑液滴体积较小时水珠边缘为圆形可使用基于
圆拟合的算法，在体积较小的情况下有较高的精确度，但对液滴体积较大时该算法误差相对较大。
当液滴中体积增加时液滴边缘近似为椭圆，欲采用直接拟合法获得椭圆参数，用以提高计算精度。
通过仿真拟合得知椭圆不能满足题目的需求,并且液滴体积较小（<
5uL），水珠图像边缘接近于圆，因此该题用圆拟合。
slslsIs
液滴处于理想状态，有young方程=+*cos0得cos0=（-）
I
/
立体关系画出平面图
和体积，高度必然下降，S<
0b直至达到某一最小高度
一-■一11T勵息■“■平衢g
应用热力学知识，采用功能关系式得到结合数学知识得到R=（R--hmin”C0S&
化简后有R=hmin/（1-C0S9
再结合压力方程P=；
J（1-C0S9/hmin
液滴底层受到重力作用与hmin有关，最终整理得
gin]l-COSR/F
则
R=hmin/（1-cos9）=.dcosR/巾/（1-cos9
又由资料得知
2l
COS91-（Pghmax/^）
得饱和高度
hmax-2X—COSfg
计算饱和体积
由球缺的面积积分可知
222dV=xdy=二（R-y）dy
角度
高度比
半径
饱和体积
极限咼度
10:
1.414E+000
3.130E-002
2.213E-008
P3.363E-004
4.756E-004
20
1.571E-002
4.343E-008
6.700E-004
9.475E-004
30
1.054E-002
6.310E-008
9.986E-004
1.412E-003
40:
7.977E-003
8.048E-008
P1.320E-003
1.866E-003
50
6.456E-003
9.501E-008
1.631E-003
2.306E-003
60
5.457E-003
1.063E-007
1.929E-003
2.728E-003
701
4.757E-003
1.143E-007
P2.213E-003
3.130E-003
80
4.245E-003
1.189E-007
2.480E-003
3.507E-003
90
3.858E-003
1.203E-007
100
3.562E-003
1.190E-007
P2.956E-003
4.180E-003
110|
3.331E-003
1.155E-007
3.161E-003
4.470E-003
RR2R22
V缺=R十dV=R★二xdy「卄（R-y）dy
maxmaxmax
213
=Rhmax-3hmax
则题目第一问极限高度的表达式为hmin=1（1-COS，）/-g
六、模型求解
利用上述模型，分别计算了水在不同的材料表面上，利用C++计算得出接触
角为10、20、30•••180度的情况下的各个数据如下：
120
3.150E-003
1.105E-007
3.342E-003
4.726E-003
130J
3.010E-003
1.046E-007
3.497E-003
4.945E-003
140
2.903E-003
9.864E-008
3.626E-003
5.128E-003
150J
2.825E-003
9.318E-008
P3.727E-003
5.271E-003
160
2.770E-003
8.883E-008
3.800E-003
5.374E-003
170J
2.739E-003
8.603E-008
3.844E-003
5.436E-003
180|
8.507E-008
将上述数据与结论进行对比分析可知，液体饱和直径随着接触角变化有一定的规律。
于是将上述表格用SPSS拟合图形得出饱和半径于接触角的变化曲线如下：
Og.L
0.030-
0020-
O.OIO-o.ooo-
102030405060708Q90100110120130140150160170180
同时可以归纳出极限高度与接触角的变化曲线，结果如下：
4OODE-S-
3OOOb-3-
2.0D0BS-
1.0OD&
3-
O.OCQBO^
—\I-IIIIII\I-f~IIII
1020304C506G70BQ901001W1201301401»
1fi01701B0
以上均是浸润情况下，在完全不浸润即接触角为180度时，液滴为球形:
其实由于重力等因素的存在，液滴的实际存在状态为椭球形:
七、误差分析
在该模型的建立过程中，我们较好的讨论了模型的普通形式和其特殊形式，例如液滴的椭圆模型和圆模型，因为接触角在35度以上适合用椭圆模型，35度以上适合用圆模型，但因椭圆模型涉及较为复杂的运算，故只是较为详细的讨论了圆模型，这样势必就会引起一些误差，也就是不足之处，另外一个较好之处是运用了单一变量法，通过不同的液体，简单的测出所需数据，建立模型，进而求解模型。
当然，在该模型中还存在一些缺点，比如说在刚才提到过所使用的圆模型，
不可避免的会引起误差，还有Young定理也是在理性情况下，没有使用普通公式。
另外，接触角的测量肯定也存在系统误差，最后，在计算液滴体积时，存在着绝对误差。
影响液体表面张力系数的因素有温度，材料，粗糙度，液体浓度，液体纯度以及液体的浸润性等。
八、参考文献
1、关于线张力对液滴——固体接触角的影响问题——应用基础与工程科学学报——2009年第四期（6）
2、严应政李国华杨氏方程推导应用中的几个疑点及其他西北建筑工程学院学报
3、朱海邓若鹏陈元杰利用一套新的控温装置对液体表面张力系数与温度关系的研究复旦大学物理系
4、朱海邓若鹏陈元杰设置控温装置研究液体表面张力系数与温度的关系复旦大学物理系
5、液体表面张力系数与温度的关系的实验研究谭兴文西南大学物理科学与技术学院
6赵修建多孔Ti02薄膜自洁净玻璃的亲水性和光催化活性高等学校化
学学报
7、卿涛邵天敏温诗铸相对湿度对材料表面粘附力影响的研究摩擦学学报2006
九、附录
运算时采用c++6.0，运算程序如下：
#include<
stdio.h>
math.h>
#definepi3.1415926
voidmain（）
{
intangle=10;
doublehmax[18];
doublehmin[18];
doubleh;
doubleR[18];
doubleV[18];
inti;
printf（"
hmax:
\n"
）;
for（i=0;
i<
18;
i++）
hmax[i]=sqrt（2.0*0.0728*（1-cos（angle*pi/180））/9780.0）;
printf（"
%0.3e\n"
hmax[i]）;
angle=angle+10;
}printf（"
\n\nhmin:
for（i=0;
hmin[i]=hmax[i]/sqrt
（2）;
hmin[i]）;
}
angle=10;
\n\nh:
for（i=0;
{h=hmax[i]/hmin[i];
h）;
\n\nR:
R[i]=hmax[i]/（1-cos（angle*pi/180））;
R[i]）;
\n\nV:
i<
V[i]=pi*hmax[i]*hmax[i]*（R[i]-hmax[i]/3.0）;
V[i]）;
关系分析时采用图形拟合，使用软件SPSSStatistics需要导入C++结果制
成的excel表格，运行过程及产生文件见附件。
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