北师大版七年级下册第一章整式的乘除乘法公式学案Word格式文档下载.docx
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③对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式．
4．完全平方公式的几何背景
（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释．
（2）常见验证完全平方公式的几何图形
（a+b）2=a2+2ab+b2．（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）
5．完全平方式
完全平方式的定义：
对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式．
a2±
2ab+b2=（a±
b）2
完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方．另一种是完全平方差公式，就是两个整式的差括号外的平方．算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央．（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用﹣，后边的符号都用+）”
例题精讲：
例1．下列运算正确的是（ ）
A．a2•a3=a6B．（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2
C．（a3）4=a7D．a3+a5=a8
【解答】解：
∵a2•a3=a5，
∴选项A不正确；
∵（﹣a+b）（a+b）=b2﹣a2，
∴选项B正确；
∵（a3）4=a12，
∴选项C不正确；
∵a3+a5≠a8
∴选项D不正确．
故选：
B．
例2．将图（甲）中阴影部分的小长方形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）D．（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2
甲图形的面积为a2﹣b2，乙图形的面积为（a+b）（a﹣b），
根据两个图形的面积相等知，a2﹣b2=（a+b）（a﹣b），
C．
【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键．
例3．已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（ ）
A．3B．4C．5D．6
∵a+b=3，ab=2，
∴a2+b2
=（a+b）2﹣2ab
=32﹣2×
2
=5，
故选C
【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：
a2+b2=（a+b）2﹣2ab．
例4．已知a+
=4，则a2+
的值是（ ）
A．4B．16C．14D．15
将a+
=4两边平方得，a2++
=16﹣2=14，
故选C．
【点评】此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答．
例5．如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（ ）
A．（a+b）2=a2+2ab+b2B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2D．a（a﹣b）=a2﹣ab
选：
A．
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释．
例6．如果x2﹣（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（ ）
A．﹣1B．1C．1或﹣1D．1或﹣3
选D．
【点评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解．
例7．已知a+b=3，a﹣b=﹣1，则a2﹣b2的值为 ﹣3 ．
例8．已知（x﹣1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为 0 ．
例9．用乘法公式计算
（1）998×
1002；
（2）（3a+2b﹣1）（3a﹣2b+1）
（1）原式=（1000﹣2）（1000+2）
=10002﹣22
=1000000﹣4
=999996
（2）（3a）2﹣（2b﹣1）2
=9a2﹣4b2+4b﹣1．
【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式．
例10．阅读下面的计算过程：
（2+1）（22+1）（24+1）
=（2﹣1）（2+1）（22+1）（24+1）
=（22﹣1）（22+1）（24+1）
=（24﹣1）（24+1）
=（28﹣1）．
根据上式的计算方法，请计算
（1）（1+
）（1+
）…（1+
）
（2）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
．
（1）原式=2（1﹣
）（1+
=2（1﹣
=
；
（2）原式=
（3﹣1）（3+1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
（32﹣1）（32+1）（34+1）…（332+1）﹣
（364﹣1）﹣
=﹣
【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．
例11．如图
（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图
（2）形状拼成一个正方形．
（1）你认为图
（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？
（2）请用两种不同的方法求图
（2）阴影部分的面积；
（3）观察图
（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？
三个代数式：
（m+n）2，（m﹣n）2，mn．
（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：
若a+b=7，ab=5，求（a﹣b）2的值．
（1）阴影部分的正方形边长是m﹣n．
（2）阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积，
方法1：
边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣4mn；
方法2：
即（m﹣n）2=（m+n）2﹣2m•2n=（m+n）2﹣4mn；
（3）（m+n）2=（m﹣n）2+4mn．
（4）（a﹣b）2=（a+b）2﹣4ab=49﹣4×
5=29．
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键．
1．已知a+b=4，a﹣b=3，则a2﹣b2=（ ）
A．4B．3C．12D．1
选C
2．能说明图中阴影部分面积的式子是（ ）
A．（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2D．（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab
如图原来图中阴影部分面积=（a+b）（a﹣b），
右图中把S1移动到S2处，右图中阴影部分面积=a2﹣b2
∵原来阴影部分面积=右图中阴影部分面积
∴（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
3．在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（ ）
A．xB．3xC．6xD．9x
4．整式A与m2+2mn+n2的和是（m﹣n）2，则A= ﹣4mn ．
5．图1可以用来解释：
（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：
（a+b）2=a2+2ab+b2 ．
6．用乘法公式计算：
（1）（2﹣3x）2﹣（3x+2）2
（2）（2x+y+z）（2x﹣y﹣z）
（1）原式=4﹣12x+9x2﹣9x2﹣12x﹣4
=﹣24x．
（2）原式=[2x+（y+z）][2x﹣（y+z）]
=（2x）2﹣（y+z）2
=4x2﹣y2﹣z2﹣2yz．
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟记平方差公式、完全平方公式．
7．
（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：
x2﹣6x+9= （x﹣3）2 ，25x2+10x+1= （5x+1）2 ，4x2+12x+9= （2x+3）2 ．
（2）观察上述三个多项式的系数，有（﹣6）2=4×
1×
9，102=4×
25×
1，122=4×
4×
9，于是小明猜测：
若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系．请你用数学式子表示小明的猜想． b2=4ac （说明：
如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与
（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系．）
（3）若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用
（2）中的规律求ac的值．
（1）x2﹣6x+9=（x﹣3）2，25x2+10x+1=（5x+1）2，4x2+12x+9=（2x+3）2；
（2）观察得：
若多项式ax2+bx+c（a＞0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2=4ac；
（3）∵多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，
∴a2﹣4c=c2﹣4a=0，即a2﹣c2+4（a﹣c）=0，
分解因式得：
（a﹣c）（a+c+4）=0，
由a+c+4≠0，可得a﹣c=0，即a=c，
可得a2﹣4a=0，即a（a﹣4）=0，
解得：
a=0或a=4，即c=0或c=4，
则ac=0或16．
故答案为：
（1）（x﹣3）2；
（5x+1）2；
（2x+3）2；
（2）b2=4ac
【巩固练习】
1．在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（a＞b）．把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a+b）2=a2+2ab+b2
C．（a﹣b）2=a2﹣2ab﹣b2D．a2﹣ab=a（a﹣b）
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式．
2．下列运算正确的是（ ）
A．a3+a3=a6B．2（a+1）=2a+1C．（a﹣b）2=a2﹣b2D．a6÷
a3=a3
【点评】此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
3．我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式．例如图
（1）可以用来解释（a+b）2﹣（a﹣b）2=4ab．那么通过图
（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（ ）
A．a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）B．（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
C．（a+b）2=a2+2ab+b2D．（a﹣b）（a+2b）=a2+ab﹣b2
【点评】关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可．
【点评】本题考查了完全平方式，考虑x2为乘积二倍项和平方项两种情况，加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错．
4．已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（ ）
A．8B．±
8C．16D．±
16
D．
【点评】本题利用了完全平方公式求解：
2ab+b2．注意k的值有两个，并且互为相反数．
5．在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（a＞b）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ③ （填写序号）．
①（a+b）2=a2+2ab+b2②（a﹣b）2=a2﹣2ab+b2
③a2﹣b2=（a+b）（a﹣b）④（a+2b）（a﹣b）=a2+ab﹣2b2．
6．填空：
x2+10x+ 25 =（x+ 5 ）2．
7．化简：
（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2．
【考点】平方差公式；
完全平方公式．
【分析】运用平方差公式和完全平方公式即可解答．
（a﹣1）（a+1）﹣（a﹣1）2
=a2﹣1﹣a2+2a﹣1
=2a﹣2．
8．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 （写成两数平方差的形式）；
（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是 a﹣b ，长是 a+b ，面积是 （a+b）（a﹣b） ．（写成多项式乘法的形式）
（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．（用式子表达）
（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：
①10.3×
9.7
②（2m+n﹣p）（2m﹣n+p）
（1）利用正方形的面积公式可知：
阴影部分的面积=a2﹣b2；
a2﹣b2；
（2）由图可知矩形的宽是a﹣b，长是a+b，所以面积是（a+b）（a﹣b）；
a﹣b，a+b，（a+b）（a﹣b）；
（3）（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2（等式两边交换位置也可）；
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2；
（4）①解：
原式=（10+0.3）×
（10﹣0.3）
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91；
②解：
原式=[2m+（n﹣p）]•[2m﹣（n﹣p）]
=（2m）2﹣（n﹣p）2
=4m2﹣n2+2np﹣p2．
9．乘法公式的探究及应用．
（1）如图1，若大长方形的边长为a，小长方形的边长为b，则阴影部分的面积是 a2﹣b2 ．若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是 （a+b）（a﹣b） ．
（2）有
（1）可以得到乘法公式 （a+b）（a﹣b）=a2﹣b2 ．
（3）若a=18，b=12，则请你求出阴影部分的面积．
（1）图①阴影部分的面积为：
a2﹣b2，图②长方形的长为a+b，宽为a﹣b，所以面积为：
（a+b）（a﹣b），
a2﹣b2，（a+b）（a﹣b）；
（2）由
（1）可得：
（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2，
（3）将a=18，b=12，代入得：
（18+12）（18﹣12）=180，
所以阴影部分的面积为：
180．
10．化简：
（x+1）2﹣（x+2）（x﹣2）．
原式=x2+2x+1﹣x2+4
=2x+5．
【点评】本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：
完全平方公式有：
2ab+b2，平方差公式有（a+b）（a﹣b）=a2﹣b2．
11．已知：
x+y=3，xy=﹣8，求：
（1）x2+y2
（2）（x2﹣1）（y2﹣1）．
（1）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=（x+y）2﹣2xy=9+16=25；
（2）∵x+y=3，xy=﹣8，
∴原式=x2y2﹣（x2+y2）+1=64﹣25+1=40．
12．一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）
①加5，则x2﹣6x+4+5=（x﹣3）2；
②加10x，则x2﹣6x+4+10x=（x+2）2；
③加2x，则x2﹣6x+4+2x=（x﹣2）2．
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