北师大版七年级下册第一章整式的乘除乘法公式学案Word格式文档下载.docx
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③对于三项的可以把其中的两项看做一项后,也可以用完全平方公式.
4.完全平方公式的几何背景
(1)运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程,通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释.
(2)常见验证完全平方公式的几何图形
(a+b)2=a2+2ab+b2.(用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a,b的长方形的面积和作为相等关系)
5.完全平方式
完全平方式的定义:
对于一个具有若干个简单变元的整式A,如果存在另一个实系数整式B,使A=B2,则称A是完全平方式.
a2±
2ab+b2=(a±
b)2
完全平方式分两种,一种是完全平方和公式,就是两个整式的和括号外的平方.另一种是完全平方差公式,就是两个整式的差括号外的平方.算时有一个口诀“首末两项算平方,首末项乘积的2倍中间放,符号随中央.(就是把两项的乘方分别算出来,再算出两项的乘积,再乘以2,然后把这个数放在两数的乘方的中间,这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号,完全平方和公式就用+,完全平方差公式就用﹣,后边的符号都用+)”
例题精讲:
例1.下列运算正确的是( )
A.a2•a3=a6B.(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2
C.(a3)4=a7D.a3+a5=a8
【解答】解:
∵a2•a3=a5,
∴选项A不正确;
∵(﹣a+b)(a+b)=b2﹣a2,
∴选项B正确;
∵(a3)4=a12,
∴选项C不正确;
∵a3+a5≠a8
∴选项D不正确.
故选:
B.
例2.将图(甲)中阴影部分的小长方形变换到图(乙)位置,根据两个图形的面积关系得到的数学公式是( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)D.(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2
甲图形的面积为a2﹣b2,乙图形的面积为(a+b)(a﹣b),
根据两个图形的面积相等知,a2﹣b2=(a+b)(a﹣b),
C.
【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点,求出两个图形的面积相等是解答本题的关键.
例3.已知a+b=3,ab=2,则a2+b2的值为( )
A.3B.4C.5D.6
∵a+b=3,ab=2,
∴a2+b2
=(a+b)2﹣2ab
=32﹣2×
2
=5,
故选C
【点评】本题考查了完全平方公式的应用,注意:
a2+b2=(a+b)2﹣2ab.
例4.已知a+
=4,则a2+
的值是( )
A.4B.16C.14D.15
将a+
=4两边平方得,a2++
=16﹣2=14,
故选C.
【点评】此题考查完全平方公式问题,关键是把原式两边完全平方后整体代入解答.
例5.如图,根据计算正方形ABCD的面积,可以说明下列哪个等式成立( )
A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2D.a(a﹣b)=a2﹣ab
选:
A.
【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景,解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释.
例6.如果x2﹣(m+1)x+1是完全平方式,则m的值为( )
A.﹣1B.1C.1或﹣1D.1或﹣3
选D.
【点评】本题主要考查完全平方公式,根据两平方项确定出这两个数,再根据乘积二倍项求解.
例7.已知a+b=3,a﹣b=﹣1,则a2﹣b2的值为 ﹣3 .
例8.已知(x﹣1)2=ax2+bx+c,则a+b+c的值为 0 .
例9.用乘法公式计算
(1)998×
1002;
(2)(3a+2b﹣1)(3a﹣2b+1)
(1)原式=(1000﹣2)(1000+2)
=10002﹣22
=1000000﹣4
=999996
(2)(3a)2﹣(2b﹣1)2
=9a2﹣4b2+4b﹣1.
【点评】本题考查了平方差公式,解决本题的关键是熟记平方差公式.
例10.阅读下面的计算过程:
(2+1)(22+1)(24+1)
=(2﹣1)(2+1)(22+1)(24+1)
=(22﹣1)(22+1)(24+1)
=(24﹣1)(24+1)
=(28﹣1).
根据上式的计算方法,请计算
(1)(1+
)(1+
)…(1+
)
(2)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣
.
(1)原式=2(1﹣
)(1+
=2(1﹣
=
;
(2)原式=
(3﹣1)(3+1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣
(32﹣1)(32+1)(34+1)…(332+1)﹣
(364﹣1)﹣
=﹣
【点评】此题考查了平方差公式,熟练掌握平方差公式是解本题的关键.
例11.如图
(1)是一个长为2m,宽为2n的长方形,沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形,然后按图
(2)形状拼成一个正方形.
(1)你认为图
(2)中的阴影部分的正方形边长是多少?
(2)请用两种不同的方法求图
(2)阴影部分的面积;
(3)观察图
(2),你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗?
三个代数式:
(m+n)2,(m﹣n)2,mn.
(4)根据(3)题中的等量关系,解决下列问题:
若a+b=7,ab=5,求(a﹣b)2的值.
(1)阴影部分的正方形边长是m﹣n.
(2)阴影部分的面积就等于边长为m﹣n的小正方形的面积,
方法1:
边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m,宽为2n的长方形面积,
即(m﹣n)2=(m+n)2﹣4mn;
方法2:
即(m﹣n)2=(m+n)2﹣2m•2n=(m+n)2﹣4mn;
(3)(m+n)2=(m﹣n)2+4mn.
(4)(a﹣b)2=(a+b)2﹣4ab=49﹣4×
5=29.
【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义,认真观察图形以及掌握正方形、长方形的面积公式计算是关键.
1.已知a+b=4,a﹣b=3,则a2﹣b2=( )
A.4B.3C.12D.1
选C
2.能说明图中阴影部分面积的式子是( )
A.(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2D.(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab
如图原来图中阴影部分面积=(a+b)(a﹣b),
右图中把S1移动到S2处,右图中阴影部分面积=a2﹣b2
∵原来阴影部分面积=右图中阴影部分面积
∴(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
3.在多项式x2+9中添加一个单项式,使其成为一个完全平方式,则添加的单项式可以是( )
A.xB.3xC.6xD.9x
4.整式A与m2+2mn+n2的和是(m﹣n)2,则A= ﹣4mn .
5.图1可以用来解释:
(2a)2=4a2,则图2可以用来解释:
(a+b)2=a2+2ab+b2 .
6.用乘法公式计算:
(1)(2﹣3x)2﹣(3x+2)2
(2)(2x+y+z)(2x﹣y﹣z)
(1)原式=4﹣12x+9x2﹣9x2﹣12x﹣4
=﹣24x.
(2)原式=[2x+(y+z)][2x﹣(y+z)]
=(2x)2﹣(y+z)2
=4x2﹣y2﹣z2﹣2yz.
【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式,解决本题的关键是熟记平方差公式、完全平方公式.
7.
(1)分解下列因式,将结果直接写在横线上:
x2﹣6x+9= (x﹣3)2 ,25x2+10x+1= (5x+1)2 ,4x2+12x+9= (2x+3)2 .
(2)观察上述三个多项式的系数,有(﹣6)2=4×
1×
9,102=4×
25×
1,122=4×
4×
9,于是小明猜测:
若多项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式,那么系数a、b、c之间一定存在某种关系.请你用数学式子表示小明的猜想. b2=4ac (说明:
如果你没能猜出结果,就请你再写出一个与
(1)中不同的完全平方式,并写出这个式中个系数之间的关系.)
(3)若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式,利用
(2)中的规律求ac的值.
(1)x2﹣6x+9=(x﹣3)2,25x2+10x+1=(5x+1)2,4x2+12x+9=(2x+3)2;
(2)观察得:
若多项式ax2+bx+c(a>0)是完全平方式,那么系数a、b、c之间关系为b2=4ac;
(3)∵多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式,
∴a2﹣4c=c2﹣4a=0,即a2﹣c2+4(a﹣c)=0,
分解因式得:
(a﹣c)(a+c+4)=0,
由a+c+4≠0,可得a﹣c=0,即a=c,
可得a2﹣4a=0,即a(a﹣4)=0,
解得:
a=0或a=4,即c=0或c=4,
则ac=0或16.
故答案为:
(1)(x﹣3)2;
(5x+1)2;
(2x+3)2;
(2)b2=4ac
【巩固练习】
1.在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形(a>b).把余下的部分剪成两个直角梯形后,再拼成一个等腰梯形(如图),通过计算阴影部分的面积,验证了一个等式,这个等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a+b)2=a2+2ab+b2
C.(a﹣b)2=a2﹣2ab﹣b2D.a2﹣ab=a(a﹣b)
【点评】本题考查了平方差公式的几何背景,解决本题的关键是求出两图的面积,而两图面积相等,从而推导出了平方差的公式.
2.下列运算正确的是( )
A.a3+a3=a6B.2(a+1)=2a+1C.(a﹣b)2=a2﹣b2D.a6÷
a3=a3
【点评】此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法,熟练掌握运算法则是解本题的关键.
3.我们已经接触了很多代数恒等式,知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式.例如图
(1)可以用来解释(a+b)2﹣(a﹣b)2=4ab.那么通过图
(2)面积的计算,验证了一个恒等式,此等式是( )
A.a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)B.(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
C.(a+b)2=a2+2ab+b2D.(a﹣b)(a+2b)=a2+ab﹣b2
【点评】关键是找出阴影部分面积的两种表达式,化简即可.
【点评】本题考查了完全平方式,考虑x2为乘积二倍项和平方项两种情况,加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错.
4.已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式,则k的值是( )
A.8B.±
8C.16D.±
16
D.
【点评】本题利用了完全平方公式求解:
2ab+b2.注意k的值有两个,并且互为相反数.
5.在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a>b)(如图甲),把余下的部分拼成一个矩形(如图乙),根据两个图形中阴影部分的面积相等,可以验证 ③ (填写序号).
①(a+b)2=a2+2ab+b2②(a﹣b)2=a2﹣2ab+b2
③a2﹣b2=(a+b)(a﹣b)④(a+2b)(a﹣b)=a2+ab﹣2b2.
6.填空:
x2+10x+ 25 =(x+ 5 )2.
7.化简:
(a﹣1)(a+1)﹣(a﹣1)2.
【考点】平方差公式;
完全平方公式.
【分析】运用平方差公式和完全平方公式即可解答.
(a﹣1)(a+1)﹣(a﹣1)2
=a2﹣1﹣a2+2a﹣1
=2a﹣2.
8.乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,可以求出阴影部分的面积是 a2﹣b2 (写成两数平方差的形式);
(2)如图2,若将阴影部分裁剪下来,重新拼成一个长方形,它的宽是 a﹣b ,长是 a+b ,面积是 (a+b)(a﹣b) .(写成多项式乘法的形式)
(3)比较左、右两图的阴影部分面积,可以得到乘法公式 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 .(用式子表达)
(4)运用你所得到的公式,计算下列各题:
①10.3×
9.7
②(2m+n﹣p)(2m﹣n+p)
(1)利用正方形的面积公式可知:
阴影部分的面积=a2﹣b2;
a2﹣b2;
(2)由图可知矩形的宽是a﹣b,长是a+b,所以面积是(a+b)(a﹣b);
a﹣b,a+b,(a+b)(a﹣b);
(3)(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2(等式两边交换位置也可);
(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2;
(4)①解:
原式=(10+0.3)×
(10﹣0.3)
=102﹣0.32
=100﹣0.09
=99.91;
②解:
原式=[2m+(n﹣p)]•[2m﹣(n﹣p)]
=(2m)2﹣(n﹣p)2
=4m2﹣n2+2np﹣p2.
9.乘法公式的探究及应用.
(1)如图1,若大长方形的边长为a,小长方形的边长为b,则阴影部分的面积是 a2﹣b2 .若将图1中的阴影部分裁剪下来,重新拼成如图2的一个矩形,则它的面积是 (a+b)(a﹣b) .
(2)有
(1)可以得到乘法公式 (a+b)(a﹣b)=a2﹣b2 .
(3)若a=18,b=12,则请你求出阴影部分的面积.
(1)图①阴影部分的面积为:
a2﹣b2,图②长方形的长为a+b,宽为a﹣b,所以面积为:
(a+b)(a﹣b),
a2﹣b2,(a+b)(a﹣b);
(2)由
(1)可得:
(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2,
(3)将a=18,b=12,代入得:
(18+12)(18﹣12)=180,
所以阴影部分的面积为:
180.
10.化简:
(x+1)2﹣(x+2)(x﹣2).
原式=x2+2x+1﹣x2+4
=2x+5.
【点评】本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用,注意:
完全平方公式有:
2ab+b2,平方差公式有(a+b)(a﹣b)=a2﹣b2.
11.已知:
x+y=3,xy=﹣8,求:
(1)x2+y2
(2)(x2﹣1)(y2﹣1).
(1)∵x+y=3,xy=﹣8,
∴原式=(x+y)2﹣2xy=9+16=25;
(2)∵x+y=3,xy=﹣8,
∴原式=x2y2﹣(x2+y2)+1=64﹣25+1=40.
12.一个单项式加上多项式x2﹣6x+4后等于一个整式的平方,试求这样的单项式并写出相应的等式(请写3个)
①加5,则x2﹣6x+4+5=(x﹣3)2;
②加10x,则x2﹣6x+4+10x=(x+2)2;
③加2x,则x2﹣6x+4+2x=(x﹣2)2.