北师大版七年级下册第一章整式的乘除乘法公式学案Word格式文档下载.docx

1、对于三项的可以把其中的两项看做一项后，也可以用完全平方公式4完全平方公式的几何背景（1）运用几何直观理解、解决完全平方公式的推导过程，通过几何图形之间的数量关系对完全平方公式做出几何解释（2）常见验证完全平方公式的几何图形（a+b）2=a2+2ab+b2（用大正方形的面积等于边长为a和边长为b的两个正方形与两个长宽分别是a，b的长方形的面积和作为相等关系）5完全平方式完全平方式的定义：对于一个具有若干个简单变元的整式A，如果存在另一个实系数整式B，使A=B2，则称A是完全平方式a22ab+b2=（ab）2完全平方式分两种，一种是完全平方和公式，就是两个整式的和括号外的平方另一种是完全平方差公式

2、，就是两个整式的差括号外的平方算时有一个口诀“首末两项算平方，首末项乘积的2倍中间放，符号随中央（就是把两项的乘方分别算出来，再算出两项的乘积，再乘以2，然后把这个数放在两数的乘方的中间，这个数以前一个数间的符号随原式中间的符号，完全平方和公式就用+，完全平方差公式就用，后边的符号都用+）”例题精讲：例1下列运算正确的是（）Aa2a3=a6 B（a+b）（a+b）=b2a2C（a3）4=a7 Da3+a5=a8【解答】解：a2a3=a5，选项A不正确；（a+b）（a+b）=b2a2，选项B正确；（a3）4=a12，选项C不正确；a3+a5a8选项D不正确故选：B例2将图（甲）中阴影部分的小长方

3、形变换到图（乙）位置，根据两个图形的面积关系得到的数学公式是（）A（a+b）2=a2+2ab+b2 B（ab）2=a22ab+b2Ca2b2=（a+b）（ab） D（a+2b）（ab）=a2+ab2b2甲图形的面积为a2b2，乙图形的面积为（a+b）（ab），根据两个图形的面积相等知，a2b2=（a+b）（ab），C【点评】本题主要考查平方差的几何背景的知识点，求出两个图形的面积相等是解答本题的关键例3已知a+b=3，ab=2，则a2+b2的值为（）A3 B4 C5 D6a+b=3，ab=2，a2+b2=（a+b）22ab=3222=5，故选C【点评】本题考查了完全平方公式的应用，注意：a2+

4、b2=（a+b）22ab例4已知a+=4，则a2+的值是（）A4 B16 C14 D15将a+=4两边平方得，a2+=162=14，故选C【点评】此题考查完全平方公式问题，关键是把原式两边完全平方后整体代入解答例5如图，根据计算正方形ABCD的面积，可以说明下列哪个等式成立（）A（a+b）2=a2+2ab+b2 B（ab）2=a22ab+b2C（a+b）（ab）=a2b2 Da（ab）=a2ab选：A【点评】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题的关键是通过几何图形之间的数量关系对公式做出几何解释例6如果x2（m+1）x+1是完全平方式，则m的值为（）A1 B1 C1或1 D1或3选D【点

5、评】本题主要考查完全平方公式，根据两平方项确定出这两个数，再根据乘积二倍项求解例7已知a+b=3，ab=1，则a2b2的值为3例8已知（x1）2=ax2+bx+c，则a+b+c的值为0例9用乘法公式计算（1）9981002； （2）（3a+2b1）（3a2b+1）（1）原式=（10002）（1000+2）=1000222=10000004=999996（2）（3a）2（2b1）2=9a24b2+4b1【点评】本题考查了平方差公式，解决本题的关键是熟记平方差公式例10阅读下面的计算过程：（2+1）（22+1）（24+1）=（21）（2+1）（22+1）（24+1）=（221）（22+1）（24+

6、1）=（241）（24+1）=（281）根据上式的计算方法，请计算（1）（1+） （1+）（1+）（2）（3+1）（32+1）（34+1）（332+1）（1）原式=2（1）（1+=2（1=；（2）原式=（31）（3+1）（32+1）（34+1）（332+1）（321）（32+1）（34+1）（332+1）（3641）=【点评】此题考查了平方差公式，熟练掌握平方差公式是解本题的关键例11如图（1）是一个长为2m，宽为2n的长方形，沿图中的虚线剪开均分成四个小长方形，然后按图（2）形状拼成一个正方形（1）你认为图（2）中的阴影部分的正方形边长是多少？（2）请用两种不同的方法求图（2）阴影部分的面积

7、；（3）观察图（2），你能写出下列三个代数式之间的等量关系吗？三个代数式：（m+n）2，（mn）2，mn（4）根据（3）题中的等量关系，解决下列问题：若a+b=7，ab=5，求（ab）2的值（1）阴影部分的正方形边长是mn（2）阴影部分的面积就等于边长为mn的小正方形的面积，方法1：边长为m+n的大正方形的面积减去长为2m，宽为2n的长方形面积，即（mn）2=（m+n）24mn；方法2：即（mn）2=（m+n）22m2n=（m+n）24mn；（3）（m+n）2=（mn）2+4mn（4）（ab）2=（a+b）24ab=4945=29【点评】本题考查了完全平方公式的几何意义，认真观察图形以及掌握正

8、方形、长方形的面积公式计算是关键1已知a+b=4，ab=3，则a2b2=（）A4 B3 C12 D1选C2能说明图中阴影部分面积的式子是（）A（a+b）（ab）=a2b2 B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22ab+b2 D（a+b）2（ab）2=4ab如图原来图中阴影部分面积=（a+b）（ab），右图中把S1移动到S2处，右图中阴影部分面积=a2b2原来阴影部分面积=右图中阴影部分面积（a+b）（ab）=a2b23在多项式x2+9中添加一个单项式，使其成为一个完全平方式，则添加的单项式可以是（）Ax B3x C6x D9x4整式A与m2+2mn+n2的和是（mn）2，则A=4

9、mn5图1可以用来解释：（2a）2=4a2，则图2可以用来解释：（a+b）2=a2+2ab+b26用乘法公式计算：（1）（23x）2（3x+2）2（2）（2x+y+z）（2xyz）（1）原式=412x+9x29x212x4=24x（2）原式=2x+（y+z）2x（y+z）=（2x）2（y+z）2=4x2y2z22yz【点评】本题考查了平方差公式和完全平方公式，解决本题的关键是熟记平方差公式、完全平方公式7（1）分解下列因式，将结果直接写在横线上：x26x+9=（x3）2，25x2+10x+1=（5x+1）2，4x2+12x+9=（2x+3）2（2）观察上述三个多项式的系数，有（6）2=419，

10、102=4251，122=449，于是小明猜测：若多项式ax2+bx+c（a0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间一定存在某种关系请你用数学式子表示小明的猜想b2=4ac（说明：如果你没能猜出结果，就请你再写出一个与（1）中不同的完全平方式，并写出这个式中个系数之间的关系）（3）若多项式x2+ax+c和x2+cx+a都是完全平方式，利用（2）中的规律求ac的值（1）x26x+9=（x3）2，25x2+10x+1=（5x+1）2，4x2+12x+9=（2x+3）2；（2）观察得：若多项式ax2+bx+c（a0）是完全平方式，那么系数a、b、c之间关系为b2=4ac；（3）多项式x2+ax+c和

11、x2+cx+a都是完全平方式，a24c=c24a=0，即a2c2+4（ac）=0，分解因式得：（ac）（a+c+4）=0，由a+c+40，可得ac=0，即a=c，可得a24a=0，即a（a4）=0，解得：a=0或a=4，即c=0或c=4，则ac=0或16故答案为：（1）（x3）2；（5x+1）2；（2x+3）2；（2）b2=4ac【巩固练习】1在边长为a的正方形中挖掉一个边长为b的小正方形（ab）把余下的部分剪成两个直角梯形后，再拼成一个等腰梯形（如图），通过计算阴影部分的面积，验证了一个等式，这个等式是（）Aa2b2=（a+b）（ab） B（a+b）2=a2+2ab+b2C（ab）2=a22

12、abb2 Da2ab=a（ab）【点评】本题考查了平方差公式的几何背景，解决本题的关键是求出两图的面积，而两图面积相等，从而推导出了平方差的公式2下列运算正确的是（）Aa3+a3=a6 B2（a+1）=2a+1 C（ab）2=a2b2 Da6a3=a3【点评】此题考查同类项合并、多项式乘法、完全平方公式和同底数幂的除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键3我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释一些代数恒等式例如图（1）可以用来解释（a+b）2（ab）2=4ab那么通过图（2）面积的计算，验证了一个恒等式，此等式是（）Aa2b2=（a+b）（ab） B（ab）2=a2

13、2ab+b2C（a+b）2=a2+2ab+b2 D（ab）（a+2b）=a2+abb2【点评】关键是找出阴影部分面积的两种表达式，化简即可【点评】本题考查了完全平方式，考虑x2为乘积二倍项和平方项两种情况，加上后是单项式的平方的情况同学们容易漏掉而导致出错4已知x2+kxy+64y2是一个完全平方式，则k的值是（）A8 B8 C16 D16D【点评】本题利用了完全平方公式求解：2ab+b2注意k的值有两个，并且互为相反数5在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形（ab）（如图甲），把余下的部分拼成一个矩形（如图乙），根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证（填写序号）（a+b）2=a2

14、+2ab+b2 （ab）2=a22ab+b2a2b2=（a+b）（ab） （a+2b）（ab）=a2+ab2b26填空：x2+10x+25=（x+5）27化简：（a1）（a+1）（a1）2【考点】平方差公式；完全平方公式 【分析】运用平方差公式和完全平方公式即可解答（a1）（a+1）（a1）2=a21a2+2a1=2a28乘法公式的探究及应用（1）如图1，可以求出阴影部分的面积是a2b2（写成两数平方差的形式）；（2）如图2，若将阴影部分裁剪下来，重新拼成一个长方形，它的宽是ab，长是a+b，面积是（a+b）（ab）（写成多项式乘法的形式）（3）比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到乘法公式（

15、a+b）（ab）=a2b2（用式子表达）（4）运用你所得到的公式，计算下列各题：10.39.7（2m+np）（2mn+p）（1）利用正方形的面积公式可知：阴影部分的面积=a2b2；a2b2；（2）由图可知矩形的宽是ab，长是a+b，所以面积是（a+b）（ab）；ab，a+b，（a+b）（ab）；（3）（a+b）（ab）=a2b2（等式两边交换位置也可）；（a+b）（ab）=a2b2；（4）解：原式=（10+0.3）（100.3）=1020.32=1000.09=99.91；解：原式=2m+（np）2m（np）=（2m）2（np）2=4m2n2+2npp29乘法公式的探究及应用（1）如图1，若大

16、长方形的边长为a，小长方形的边长为b，则阴影部分的面积是a2b2若将图1中的阴影部分裁剪下来，重新拼成如图2的一个矩形，则它的面积是（a+b）（ab）（2）有（1）可以得到乘法公式（a+b）（ab）=a2b2（3）若a=18，b=12，则请你求出阴影部分的面积（1）图阴影部分的面积为：a2b2，图长方形的长为a+b，宽为ab，所以面积为：（a+b）（ab），a2b2，（a+b）（ab）；（2）由（1）可得：（a+b）（ab）=a2b2，（3）将a=18，b=12，代入得：（18+12）（1812）=180，所以阴影部分的面积为：18010化简：（x+1）2（x+2）（x2）原式=x2+2x+1

17、x2+4=2x+5【点评】本题考查了对完全平方公式和平方差公式的应用，注意：完全平方公式有：2ab+b2，平方差公式有（a+b）（ab）=a2b211已知：x+y=3，xy=8，求：（1）x2+y2（2）（x21）（y21）（1）x+y=3，xy=8，原式=（x+y）22xy=9+16=25；（2）x+y=3，xy=8，原式=x2y2（x2+y2）+1=6425+1=4012一个单项式加上多项式x26x+4后等于一个整式的平方，试求这样的单项式并写出相应的等式（请写3个）加5，则x26x+4+5=（x3）2；加10x，则x26x+4+10x=（x+2）2；加2x，则x26x+4+2x=（x2）2